Semaine intro

1 (BEOS 8472)

(Un peu limite en début d'année avec la trace)

1) Montrer que \(\displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{R})=\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\).

2) Montrer que \(\displaystyle \mathcal{S}_n(\mathbb{R})=\left(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\right)^{\perp}\).

3) Soit \(\displaystyle M=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)\). Quelle est la distance de \(\displaystyle M\) à \(\displaystyle \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) ?

1) Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n\), on pose \(S= \frac 12(M+M^\top)\) et \(A = \frac 12(M-M^\top)\). On remarque que \(M=S+A\) et que \(S\in\mathcal S_n\) et \(A\in\mathcal A_n\). Donc \(\mathcal M_n=\mathcal S_n+\mathcal A_n\). Par ailleurs si \(M\in\mathcal S_n\cap\mathcal A_n\), alors \(M=M^\top\) et \(M=-M^\top\). On en déduit \(M^\top=-M^\top\) d'où \(M=0\). On en déduit que \(\mathcal M_n=\mathcal S_n\oplus\mathcal A_n\) : les deux espaces sont supplémentaires dans \(\mathcal M_n\).
2) On considère le produit scalaire canonique : Soit \(S\in\mathcal S_n\) et \(A\in\mathcal A_n\), \(<S,A>=\mathrm{tr}(S^\top A)=\mathrm{tr}(SA)=\mathrm{tr}(-SA^\top)=-\mathrm{tr}(A^\top S)=-\mathrm{tr}\left((A^\top S)^\top\right)=-\mathrm{tr}(S^\top A)=-<S,A>\). Ainsi, \(<S,A>=0\) et on obtient le résultat d'orthogonalité. 3) On sait que la distance est atteinte au projeté orthogonal. On pose \(S=\frac 12(M+M^\top)\) qui est, d'après les questions précédentes, le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal S_n\) et donc \(A=M-S=\frac12(M-M^\top)\). On a alors \(d=||M-S||=||A||=\sqrt{\mathrm{tr}(AA^\top)}\). On calcule alors : \(A=\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&-1\\2&1&0\end{pmatrix}\) et \(||A||^2=1+4+2+4+1=12\) donc \(d=\sqrt{12}=2\sqrt3\).

2 (BEOS 8461)

Soit \(\displaystyle \varphi:\left\{\begin{array}{lll}\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \rightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \\ A & \mapsto & -A+\operatorname{tr}(A) I_n\end{array}\right.\).

1) Montrer que \(\displaystyle \varphi\) est un endomorphisme de \(\displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

2) Montrer que \(\displaystyle \operatorname{ker}(\operatorname{tr})\) est un hyperplan de \(\displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

3) Existe-t'il une base dans laquelle la matrice de \(\displaystyle \varphi\) est diagonale ?

1) Tout découle des propriétés de la trace

2) La trace est une forme linéaire donc son noyau est un hyperplan

3) Dans ces cas là, on prend une base adaptée à cet hyperplan. On complète avec la matrice identité. En effet, si \(M\in\ker\mathrm{tr}\), \(\varphi(M)=-M\) et \(\varphi(I_n)=(n-1)I_n\). Dans cette base, la matrice est diagonale, composée de \(n^2-1\) valeurs \(-1\) et une valeur \((n-1)\).

3 (BEOS 8461)

Soit \(\displaystyle n\) un entier naturel, on dispose initialement d'une urne constituée d'une boule blanche, et d'une pièce de monnaie équilibrée. On effectue des lancers de la pièce selon la règle suivante :

  • si on obtient "Face" on ajoute une boule noire dans l'urne ;

  • si on obtient "Pile" ou si on a atteint le \(\displaystyle n\)-ème tour, on tire une boule dans l'urne et on arrête l'expérience.

Soit \(\displaystyle X\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers de la pièce.
1) Quelle est la loi de \(\displaystyle X\) ?
2) Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche à la fin de l'expérience (on donnera une forme avec un symbole de somme) ?

On a \(X\in\{1,2,\dots,n\}\). On note \(F_i\) l'évènement «obtenir face au rang \(i\)». Si \(k<n\), alors \(P(X=k)=P(F_1 \cap F_2\cap \dots\cap F_{k-1}\cap\bar{F_k})\) et les tirages étant indépendants, \(P(X=k)=P(F_1)P(F_2)\dots P(F_{k-1})(1-P(F_k))=\frac 1{2^k}\). Par ailleurs \(P(X=n)=P((F_1\cap\dots\cap F_{n-1}\cap\bar{F_n})\cup (F_1\cap\dots\cap F_{n-1}\cap F_n)\) (le cas où on obtient pile et le cas où on est juste arrivé à la fin du jeu sans jamais faire pile. On trouve \(P(X=n)=\frac 1{2^{n-1}}\).

On note \(B\) l'évènement «obtenir une boule blanche». On peut appliquer la formule des probabilités totales : \(P(B)=\sum_{k=1}^n P(B|X=k)P(X=k)=\sum_{k=1}^{n}\frac 1k\times \frac 1{2^k}+\frac 1{2^n}\times\frac 1{n+1}\).

4 (BEOS 8445)

Soit \(\displaystyle n \in \mathbb{N}^*\). Une urne contient \(\displaystyle n\) boules blanches numérotées de 1 à \(\displaystyle n\) et deux boules noires numérotées 1 et 2 . On effectue le tirage une à une, sans remise, de toutes les boules de l'urne. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. On note \(\displaystyle X\) la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule blanche. On note \(\displaystyle Y\) la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule numérotée 1.
1) Déterminer la loi de \(\displaystyle X\).
2) DéTerminer la loi de \(\displaystyle Y\).

5 (BEOS 8444)

Une urne contient des boules numérotées de 1 à \(\displaystyle n\). On effectue des tirages avec remise. Soit \(\displaystyle X\) le numéro de la première boule et \(\displaystyle Y\) le numéro de la deuxième boule. On note \(\displaystyle U=\min (X, Y)\) et \(\displaystyle V=\max (X, Y)\).
1) Déterminer les lois de \(\displaystyle U\) et \(\displaystyle V\).
2) Déterminer \(\displaystyle E(U)\) et \(\displaystyle E(V)\).
3) Donner une relation entre \(\displaystyle X, Y, U+V\).
4) Calculer \(\displaystyle P(X+Y=k)\).

6 (BEOS 8455)

Soit \(\displaystyle P \in \mathbb{C}[X]\).
1) Déterminer le reste de la division euclidienne de \(\displaystyle P \operatorname{par}(X-a)(X-b)\) (on pourra traiter séparément les cas \(\displaystyle a=b\) et \(\displaystyle a \neq b\) ).
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de \(\displaystyle (X+1)^{2 n+1}-X^{2 n}\) par \(\displaystyle X^2+X+1\).

7 (BEOS 8325)

Déterminer les solutions sur \(\displaystyle ] 0,1[\) et \(\displaystyle ] 1,+\infty[\) de l'équation différentielle :

\[ y^{\prime} x \ln x=y(3 \ln x+1) \]

puis par recollement les solutions sur \(\displaystyle ] 0,+\infty[\).

8 (BEOS 8285)

Soit \(\displaystyle F=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x+y+z+t=x-y-z+t=0\right\}\).
1. Montrer que \(\displaystyle F\) est un plan de \(\displaystyle \mathbb{R}^4\) et en déterminer une base.
2. Donner la matrice dans la base canonique de \(\displaystyle \mathbb{R}^4\), de la projection orthogonale sur \(\displaystyle F\) (pour le produit scalaire usuel).
3. Soit \(\displaystyle u=(1,1,1,1)\). Déterminer \(\displaystyle d\left(u, F^{\perp}\right)\).

9 (BEOS 8203)

Soit \(\displaystyle p \in \mathbb{N}\) fixé.

  1. Montrer que \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \frac{n^p}{2^n}\) converge.

  2. On pose \(\displaystyle S_p=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^p}{2^n}\)

a) Exprimer \(\displaystyle S_p\) en fonction de \(\displaystyle S_0, \ldots, S_{p-1}\) en faisant apparaitre le développement de \(\displaystyle (n+1)^p\).

b) Montrer que \(\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}, S_p \in \mathbb{N}\).

10 (BEOS 8089)

Soit \(\displaystyle n>1\) entier. On considère le polynôme \(\displaystyle P\) tel que :

\[ \forall z \in \mathbb{C}, P(z)=\sum_{k=0}^{n-1} z^k \]

  1. Déterminer les racines de \(\displaystyle P\).

  2. Montrer que : \(\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} 1-\mathrm{e}^{2 i \frac{k \pi}{n}}=n\).

  3. En déduire que : \(\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k \pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}\).