semaine 2

continuité/dérivabilité

2002

Soit \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) telle que \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, f(x+y)=f(x)+f(y)\).

(a) Déterminer \(f(0)\) puis, pour \(x \in \mathbb{R}\) et \(\lambda \in \mathbb{Q}\), exprimer \(f(\lambda x)\) en fonction de \(f(x)\).

(b) Montrer que si \(f\) est continue en 0 , alors \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Déterminer \(f\) dans ce cas.

(c) Même question en supposant cette fois \(f\) bornée au voisinage de 0 .

2004

Déterminer les \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) continues telles que \(\forall x \in \mathbb{R}, f(2 x)-f(x)=x\).

2020

Déterminer les \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dérivables en zéro et telles que \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, f(x+y)=e^x f(y)+e^y f(x)\).

1912

Si \(n \in \mathbb{N}^*\), soit \(f_n: x \mapsto x+\frac{n}{2} \ln x-n\). Montrer que l'équation \(f_n(x)=0\) admet une unique solution \(a_n \in\left[1, e^2\right]\). Étudier la limite de \(\left(a_n\right)\).

110

Soient \(\left(a_0, \ldots, a_{n-1}\right) \in \mathbb{C}^n\) et \(P=a_0+a_1 X+\cdots+a_{n-1} X^{n-1}+X^n\). Montrer que les racines complexes de \(P\) ont un module majoré par \(\max \left\{1,\left|a_0\right|+\left|a_1\right|+\cdots+\left|a_{n-1}\right|\right\}\).

121

Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) scindé à racines simples. Montrer que \(\forall x \in \mathbb{R}, P(x) P^{\prime \prime}(x) \leqslant P^{\prime}(x)^2\).

1948

Soit \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dérivable et telle que \(f^{\prime}(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Montrer que \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

2210*

Soient \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}), a \in \mathbb{R}\). On suppose que \(f \leqslant g\) et \(f(a)=g(a)\). Montrer que les tangentes à \(C_f\) et \(C_g\) au point d'abscisse \(a\) sont égales.

2305*

Déterminer les fonctions \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) vérifiant, pour tous \(x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=e^{2 x} f(y)+e^y f(x)\).

Intégration

2048

Soit \(f \in \mathscr{C}^0([0,1], \mathbb{R})\). Montrer qu'il existe \(c \in[0,1]\) tel que \(f(c)=3 \int_0^1 f(t) t^2 \mathrm{~d} t\).

2111

(a) Exprimer \(\cos ^2 u\) et \(\sin ^2 u\) en fonction de \(\cos (2 u)\).

(b) Montrer que \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, x-\frac{x^2}{2} \leqslant \ln (1+x) \leqslant x\).

(c) Calculer \(I=\int_0^1 \sqrt{x(1-x)} \mathrm{d} x\).

Ind. Poser \(x=(1-t) / 2\).

(d) À l'aide de sommes de Riemann, calculer la limite de \(u_n=\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{k(n-k)}\).

(e) Déterminer la limite de \(v_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{n} \sqrt{k(n-k)}\right)^{1 / n}\).

2298*

Trouver les \(f \in \mathscr{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) telles que \(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)+\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t=1\).

2354*

Soit, pour \(f \in \mathscr{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \Phi(f): x \in \mathbb{R}^* \mapsto \frac{1}{2 x} \int_{-x}^x f\).
(a) Soit \(f \in \mathscr{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\). Montrer que \(\Phi(f)\) se prolonge par continuité en 0 . On note toujours \(\Phi(f)\) la fonction ainsi prolongée.
(b) Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(\mathscr{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
(c) Soit \(f \in \mathscr{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\). Étudier la parité de \(\Phi(f)\).
(d) Déterminer les valeurs propres de \(\Phi\) ainsi que les espaces propres associés aux valeurs propres non nulles.

convexité

1995

Soit \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) continue sur \([a, b]\) et \(\mathscr{C}^2\) sur \(] a, b\left[\right.\), telle que \(f^{\prime \prime} \geqslant 0\). Soit \(\left(x_1, x_2, x_3\right)\) dans \(\mathbb{R}^3\) tel que \(a \leqslant x_1<x_2<x_3 \leqslant b\). Montrer: \(\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} \leqslant \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_1\right)}{x_3-x_1}\).