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TD 10 Probas de spé 2

1 - BEOS4773

\(X\) est une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p, Y\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\). \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. On pose \(Z=X Y\).
a) Déterminer la loi de \(Z\).
b) Déterminer \(G_Z(t)\).
c) Déterminer espérance et variance de \(Z\).

2 - BEOS4776

\(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes, de même loi. \(Z=X+Y+1\). On suppose que \(Z \hookrightarrow \mathscr{G}(p)\) où \(p \in] 0,1[\).
a) Montrer que \(X\) admet une espérance et une variance et les calculer.
b) Trouver \(G_X: t \mapsto \mathbb{E}\left(t^X\right)\).
c) En déduire la loi de \(X\).

3 - BEOS8322

On effectue des lancers successifs d'une pièce équilibrée. On convient qu'on gagne 1 point à lissue d'un lancer si celui-ci est différent du précédent, 0 point, sinon. Soit \(n \in \mathbb{N}^{\star}\). On note \(X_n\) la variable aléatoire correspondant au gain total au bout de \(n\) lancers.

  1. Déterminer \(E\left(X_2\right)\) et \(E\left(X_3\right)\).
  2. Pour \(n \geq 2\), déterminer \(\mathbb{P}\left(X_n=0\right)\) et \(\mathbb{P}\left(X_n=n-1\right)\).
  3. Pour \(k \in \mathbb{N}\) convenable, exprimer \(\mathbb{P}\left(X_{n+1}=k\right)\) en fonctions de \(\mathbb{P}\left(X_n=k\right)\) et \(\mathbb{P}\left(X_n=k-1\right)\).
  4. Pour \(x \in \mathbb{R}\), on note \(Q_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \mathbb{P}\left(X_n=k\right) x^k\). Montrer que \(Q_{n+1}(x)=\left(\frac{1+x}{2}\right) Q_n(x)\).
  5. En déduire une expression de \(Q_n(x)\), puis la loi de \(X_n\).

4 - BEOS8505

On dispose d'une urne contenant \(n\) boules blanches et \(n\) boules rouges. On effectue des tirages selon la règle suivante : - si l'on pioche une boule rouge, on la remet dans l'urne ; - si l'on pioche une boule blanche, on la met de côté et on rajoute une boule rouge dans l'urne.

On note la variable aléatoire \(X_p\) qui désigne le nombre de boules blanches dans l'urne au \(p\)-ième tirage, pour tout \(p\) entier naturel non nul.
1. Donner la loi de \(X_1\) et \(X_2\).
2. Pour tout \(k\) entier naturel, calculer \(P\left(X_n=k\right)\).
3. Donner une relation entre \(P\left(X_{p+1}=k\right), P\left(X_p=k+1\right), P\left(X_p=k\right)\).
4. Justifier que la fonction génératrice \(G_p\) est polynomiale.
5. On admet la relation \(G_{p+1}(t)=G_p(t)+\frac{1-t}{2 n} G_p^{\prime}(t)\).

Donner une relation entre \(E\left(X_{p+1}\right)\) et \(E\left(X_p\right)\). Calculer \(E\left(X_p\right)\). Calculer sa limite lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\). Interpréter.

5 - BEOS7517

Soit \(n \in \mathbb{N}^*, X\) suit une loi géométrique de paramètre \(1 / n\). Montrer que :

\[ P\left(X \geqslant n^2\right) \leqslant 1 / n ; P(|X-n| \geqslant n) \leqslant 1-1 / n ; P(X \geqslant 2 n) \leqslant 1-1 / n \]

6 - RMS23-984

Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \(\mathcal{P}(\lambda)\).
a) Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, \mathbf{P}(X \leqslant n)=\frac{1}{n!} \int_\lambda^{+\infty} t^n e^{-t} \mathrm{~d} t\).
b) Donner un équivalent de \(\int_\lambda^{+\infty} t^n e^{-t} \mathrm{~d} t\) quand \(n \rightarrow \infty\).
c) Grâce à la fonction génératrice, calculer la probabilité que \(X\) soit pair.
d) Soit \(Y\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(\{1,2\}\), indépendante de \(X\). Calculer la probabilité que \(X Y\) soit paire.

7 - RMS23-1208

Soit \(\alpha>0\). a) Montrer l'existence d'une variable aléatoire \(X\) valeurs dans \(\mathbb{N}\) de fonction génératrice

\[ G_X(t)=\frac{1}{(2-t)^\alpha} \]

b) Donner un équivalent de \(\mathbf{P}(X=n)\) quand \(n \rightarrow+\infty\). c) Pour \(\lambda>0\), montrer que \(\mathbf{P}(X \geqslant \lambda+\alpha) \leqslant \frac{2 \alpha}{\lambda^2}\).

8 - RMS23-1607

Soit \(X\) suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
a) Expliciter \(G_X(t)\).
b) Montrer que, pour \(t \geqslant 1, \mathbf{P}(X \geqslant 2 \lambda) \leqslant \frac{G_X(t)}{t^{2 \lambda}}\).
c) Montrer que \(\mathbf{P}(X \geqslant 2 \lambda) \leqslant\left(\frac{e}{4}\right)^\lambda\).
d) Comparer avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

9 - RMS23-886

  1. On considère une urne qui contient une proportion \(p \in] 0,1[\) de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit \(X_n\) la variable donnant le nombre de tirages successifs nécessaires pour obtenir \(n\) boules blanches. Donner la loi de \(X_1\) ainsi que sa fonction génératrice \(\mathcal{G}_{X_1}\). En déduire \(\mathcal{G}_{X_n}\). Loi et espérance de \(X_n\) ?

10 - RMS23-1603

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On considère un graphe aléatoire non orienté à \(n\) sommets notés \(A_1, \ldots, A_n\). La probabilité que les sommets \(A_i\) et \(A_j\), pour \(i \neq j\), soient reliés est égale à \(\left.p_n \in\right] 0,1\left[\right.\), et cela de façon indépendante. On note \(X_i\) la variable aléatoire égale à 1 si le sommet \(A_i\) est isolé, c'est-à-dire s'il n'est relié à aucun autre sommet. On pose \(S_n=\) \(X_1+\cdots+X_n\).
a) Donner la loi de \(X_1\). En déduire \(\mathbf{E}\left(S_n\right)\).
b) Donner une majoration de la probabilité d'avoir au moins un sommet isolé.
c) On suppose que, pour \(n \geqslant 2, p_n=C \frac{\ln (n)}{n}\) avec \(C>1\). Montrer : \(\mathbf{P}\left(S_n=0\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 1\).