TD S3 (séries entières)
1 (BEOS 7755)
- Définir le rayon de convergence d'une série entière à coefficients complexes.
- Soit \(\left(a_n\right)\) une suite bornée telle que \(\sum a_n\) diverge. Déterminer le rayon de convergence de \(\sum a_n z^n\).
- Déterminer le rayon de convergence de :
2 (BEOS 7634)
Soit \(\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite complexe telle que la série entière \(\sum a_n z^n\) soit de rayon infini. On note \(f\) sa somme.
1. Soit \(r>0\) et \(p \in \mathbb{N}\). Montrer que :
- On suppose \(f\) bornée sur \(\mathbb{C}\).
a) Montrer qu'il existe \(M \geqslant 0\) tel que :
b) Montrer que \(a_p=0\) pour tout \(p \in \mathbb{N}^*\).
En déduire que \(f\) est constante.
3. On suppose maintenant qu'il existe \(q \in \mathbb{N}^*\) et \((\alpha, \beta) \in\left(\mathbb{R}_{+}^*\right)^2\) tels que :
Montrer que \(f\) est une fonction polynôme.
3 (BEOS 6860)
Soit la fonction \(f(x)=\arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2}\)
1. Montrer que cette fonction est \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle que l'on précisera et donner sa dérivée.
2. Trouver des polynômes non nuls \(a, b, c\) tels que \(f\) soit solution de l'équation différentielle du premier ordre : \(a(x) y^{\prime}+b(x) y=c(x)\).
3. Montrer que l'unique solution de cette équation qui s'annule en 0 , est une fonction impaire développable en série entière au voisinage de 0.
4. En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.
5. Donner ce développement en série entière.
4 (BEOS 6944)
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(a_n=\frac{n^2-3 n+1}{n!}\).
Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{n \geqslant 0} a_n x^n\) et calculer sa somme.
5 (BEOS 6911)
On considère le problème de Cauchy suivant, noté \((S)\)
Soit \(\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle. On suppose que le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{n \geqslant 0} a_n x^n\), noté \(R\), est strictement positif.
On définit alors la fonction \(f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) de \(]-R, R[\) dans \(\mathbb{R}\).
1. On suppose que \(f\) est solution du problème \((S)\) sur \(]-R, R[\).
Trouver alors une relation de récurrence sur les coefficients \(a_n\).
2. Exprimer \(f(0)\) et \(f^{\prime}(0)\) à l'aide de certains coefficients \(a_k\).
3. Sous la même hypothèse qu'à la question 1 , trouver une expression des coefficients \(a_n\) et en déduire une expression de \(f\) à l'aide des fonctions usuelles.
4. (Question extrapolée par le transcripteur) Effectuer la réciproque.
6 (RMS23 965)
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Calculer \(w_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2 k}{k}\binom{2 n-2 k}{n-k}\). Ind. Utiliser une série entière.)
7 (RMS23 966)
a) Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière
b) Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sum_{k=0}^n k^2}\).
8 (RMS23 967)
On définit la suite \(\left(u_n\right)\) par : \(u_0=1\) et, pour \(n \in \mathbb{N}^*, u_n=\sqrt{n+u_{n-1}}\).
a) Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a : \(\sqrt{n} \leqslant u_n \leqslant 2 \sqrt{n+1}\).
b) Montrer que \(u_n \sim \sqrt{n}\) et déterminer la limite de \(\left(u_n-\sqrt{n}\right)\).
c) Donner le rayon de convergence \(R\) de la série entière \(\sum u_n x^n\).
d) Calculer \(\lim _{x \rightarrow R^{-}} \sum_{n \geqslant 0} u_n x^n\).
a) Cela se montre par récurrence.
b) D'après la question précédente, \(u_n=O(\sqrt(n))\) et donc d'après la relation de récurrence, \(u_n=\sqr{n+O(\sqrt n)}=\sqrt n(1+O(\frac 1{\sqrt n}))\sim \sqrt n\). On a alors \(u_n=\sqrt{n+\sqrt n+o(\sqrt n)}=\sqrt n\left(1+\frac 1{\sqrt n}+o(\frac 1{\sqrt n})\right)=\sqrt n\left(1+\frac 1{2\sqrt n}+o(\frac 1{\sqrt n})\right)=\sqrt n+\frac12+o(1)\) et donc \(u_n-\sqrt n\xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac 12\).
c) On a \(u_n\sim \sqrt n\) donc le rayon de convergence de \(\sum u_nx^n\) est le même que celui de \(\sum \sqrt n x^n\) c'est à dire \(1\) par le critère de d'Alembert.
d) Soit \(x\in ]0,1[\), on remarque que \(u_n\ge 1\). D'où \(\sum_{n\ge 0}u_nx^n\ge \sum_{n\ge 0}x^n=\frac 1{1-x}\). On en déduit par minoration que \(\lim_{x\to 1}\sum u_nx^n=+\infty\).
9 (RMS23 1304)
Soit \(f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \cos \left(n^2 x\right) e^{-n}\).
a) Montrer que \(f\) est de classe \(C^{\infty}\). Exprimer \(f^{(4 p)}(0)\) sous forme de somme.
b) Montrer : \(\forall p \in \mathbb{N}^*, \int_0^{8 p} t^{8 p} e^{-t} \mathrm{~d} t \leqslant \sum_{n=0}^{8 p} n^{8 p} e^{-n}\) et \(\int_{8 p}^{+\infty} t^{8 p} e^{-t} \mathrm{~d} t \leqslant \sum_{n=8 p}^{+\infty} n^{8 p} e^{-n}\).
c) Montrer que, pour tout \(r>0\), la série \(\sum \frac{f^{(4 p)(0)}}{(4 p)!} r^{4 p}\) diverge.
d) Montrer que \(f\) n'est pas développable en série entière en 0.
10 (BEOS 7741)
On pose, pour \(p \in \mathbb{N}^*, f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\binom{n+p}{p} x^n\).
1. Préciser le rayon de convergence de \(f\).
2. Montrer que \(f\) est solution de
sur son intervalle ouvert de convergence.
3. Donner une expression de \(f\).
11 (BEOS 8453)
On pose: \(\forall n \in \mathbb{N}^*, a_n=(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\).
1. Montrer que la série \(\sum a_n\) converge et calculer sa somme.
2. Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n\).
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(]-1,1\) ], puis déterminer un équivalent de \(f\) en \((-1)^{+}\).