TD S6 (Compléments d'algèbre linéaire)
1 BEOS 1724
Soit \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On définit \(M \in \mathcal{M}_{3 n}(\mathbb{K})\) :
1) Calculer le rang de \(M\)
2) Calculer \(M^{-1}\) lorsqu'elle existe, en fonction de \(A^{-1}\) et de \((B-A)^{-1}\)
2 BEOS 8321
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). On définit :
- Montrer que \(u\) est linéaire.
- Montrer que \(u\) est injective si et seulement si \(\operatorname{tr}(A) \neq 1\).
- En déduire une condition pour que \(u\) ne soit pas bijective.
- Discuter selon \(A\) et \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) de l'existence de solutions de l'équation \(u(X)=B\).
3 BEOS-6901
Soient \(A, B \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\) telles que \(A B-B A=A\).
Soit \(f\) telle que : \(\forall X \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}), f(X)=X B-B X\).
1) Montrer que \(f\) est un endomorphisme.
2) Quelle est la trace de \(A\) ? Celle de \(A^k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\) ?
3) Montrer que : \(\forall k \in \mathbb{N}, f\left(A^k\right)=k A^k\).
4) En déduire que \(A\) est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe \(k_0 \in \mathbb{N}\) tel que \(A^{k_0}=0\).
4 BEOS 6927
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces de dimension finie et \(u, v \in \mathcal{L}(E, F)\).
Montrer que \(\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(u+v) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(u) \cap \operatorname{ker}(v))+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(u) \cap \operatorname{Im}(v))\).
5 BEOS 5479
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie. Soit \(W\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On pose \(\mathcal{A}=\{u \in \mathcal{L}(E, F) / W \subset \operatorname{Ker} u\}\).
1. Montrer que \(\mathcal{A}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{L}(E, F)\).
2. Exprimer la dimension de \(\mathcal{A}\) en fonction des dimensions de \(E, F, W\).
6 BEOS 2509
Soient \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de \(E\) qui commutent. On suppose que \(\operatorname{Ker} u \cap \operatorname{Ker} v=\{0\}\).
1. Pour \((a, b) \in \mathbb{K}^2\) tel que \(a \neq b\), montrer que \(\operatorname{Ker}(u-a v) \cap \operatorname{Ker}(u-b v)=\{0\}\).
2. Plus généralement, si \(a_1, \ldots, a_n\) sont des scalaires distincts, montrer que la somme des sous-espaces vectoriels \(\operatorname{Ker}\left(u-a_k v\right)\) pour \(k \in\{1, \ldots, n\}\) est directe.
7 RMS2023 928
Soit \(M=\left(\begin{array}{l|l}A & A \\ \hline A & B\end{array}\right)\) avec \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(A\) et \(B\) pour que \(M\) soit inversible. Calculer alors \(M^{-1}\).
8 RMS2023 1003
Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Quelle est la trace de l'endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) défini par \(\varphi: M \mapsto A M B\) ?
9 RMS2023 1619
Soit \(U\) le vecteur de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) dont toutes les composantes valent 1. On pose \(\varphi:(X, Y) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})^2 \mapsto X U^T+U Y^T\).
a) Donner les dimensions de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})^2\) et montrer que \(\varphi\) est linéaire.
b) Donner le rang de \(\varphi\).
10 RMS2023 1319
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).
a) Pour \(k \in \mathbb{N}\), montrer que \(\operatorname{Ker}\left(M^k\right) \subset \operatorname{Ker}\left(M^{k+1}\right)\) puis montrer qu'il existe \(k_0 \in \mathbb{N}^*\) tel que \(\operatorname{Ker}\left(M^{k_0}\right) \neq \operatorname{Ker}\left(M^{k_0-1}\right)\) et, pour tout \(p \geqslant k_0, \operatorname{Ker}\left(M^p\right)=\operatorname{Ker}\left(M^{k_0}\right)\).
b) On suppose qu'il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) tel que \(M^{p-1} \neq 0\) et \(M^p=0\). Montrer que \(M\) est semblable à une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle.
c) Montrer que le noyau de la trace est égal au sous-espace vectoriel engendré par les matrices \(M\) pour lesquelles il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) tel que \(M^p=0\).