Fil rouge

Nombres complexes

Exercice 1 : RMS25-963

On pose $f: z \in \mathbb{C} \backslash\{i\} \mapsto \frac{1}{z-i}$.
a) Montrer que l'image de toute droite du plan complexe ne passant pas par $i$ est un cercle privé de l'origine.
b) Peut-on généraliser à $f: z \in \mathbb{C} \backslash\{b\} \mapsto \frac{z-a}{z-b}$, avec $(a, b) \in \mathbb{C}^{2}$ et $a \neq b$ ?

Exercice 2 : RMS25-264

On pose $\alpha=\frac{12+5 i}{13}$.
a) Montrer que $\alpha$ n'est pas une racine de l'unité.
b) Le nombre $\alpha$ est-il racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb{Q}$ ? dans $\mathbb{Z}$ ?
c) Soit $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que $\alpha$ soit racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers dont toutes les racines complexes sont de module 1 . Montrer que $\alpha$ est racine de l'unité.

Exercice 3 : RMS25-196

Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, calculer le module de $\sum_{k=0}^{n-1} \exp \left(\frac{2 i \pi k^{2}}{n}\right)$.

Exercice 4 : RMS25-962

Pour $z \in \mathbb{C}$, on pose $f(z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}$ et $\varphi(z)=|f(z)|^{2}$.
a) La fonction $\varphi$ est-elle bornée sur $\mathbb{C}$ ?
b) Montrer que $\varphi$ est bornée sur $D=\{z \in \mathbb{C},|z| \leqslant 1\}$ et déterminer son maximum sur $D$.

Exercice 5 : RMS25-961

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. Soient $A, B, C$ trois points du plans complexe d'affixes $a, b$ et $c$. On suppose que le triangle $A B C$ n'est pas aplati et que $a, b, c \in \mathbb{U}_{n}$.
a) Combien y a-t-il de tels triangles?
b) Combien d'entre eux sont rectangles?

Exercice 6 : RMS25-1607

[CCINP] Soit $P=(X+1)^{7}-X^{7}-1$.

Montrer que $j$ est racine de $P$ et déterminer sa multiplicité. Factoriser $P$ dans $\mathbb{C}[X]$.

Algèbre linéaire de sup

Exercice 7 : RMS25-1453

[CCINP] Soit $A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.

Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $A(x)=\left(a_{i, j}+x\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$. On note $D(x)=\operatorname{det}(A(x))$.
a) On donne $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\ -3 & 2\end{array}\right)$. Calculer $D(x)$.
b) Montrer que $D(x)$ est un polynôme en $x$ de degré au plus 1 .
c) Dans le cas où $a_{i, i}=a, a_{i, j}=b$ pour $i>j$ et $c$ pour $i<j$, calculer $\operatorname{det}(A)$.

Exercice 8 : RMS25-1250

a) Montrer que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), \operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A)$.
b) Soit $f \in \mathcal{L}\left(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), \mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})\right)$ telle que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), f(A B)=f(A) f(B)$. Soit $\phi: M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) \mapsto \operatorname{Tr}(f(M))$. Montrer : $\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), \phi(A B)=\phi(B A)$
c) En déduire qu'il existe $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que : $\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), \operatorname{Tr}(f(M))=\alpha \operatorname{Tr}(M)$.

Exercice 9 : RMS25-997

Soient $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^{2}=-\mathrm{id}$.
a) Montrer que $n$ est pair.
b) Soit $x \in E$. Montrer que Vect $(x, f(x))$ est stable par $f$.
c) On suppose $n=2 p$. Montrer qu'il existe une famille ( $e_{1}, \ldots, e_{p}$ ) de $E^{p}$ telle que $\left(e_{1}, u\left(e_{1}\right), \ldots, e_{p}, u\left(e_{p}\right)\right)$ soit une base de $E$. Préciser la matrice de $f$ dans cette base.

Exercice 10 : RMS25-989

Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telles que $B A B=A$ et $A B A=B$.

Montrer que $A^{2}=B^{2}$. Montrer que $A$ et $B$ ont le même noyau et la même image.

Exercice 11 : RMS25-1249

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f, g \in \mathcal{L}(E)$ tels que $f^{2}=g^{2}=$ id et $f \circ g+g \circ f=0$. On note $A_{f}=\operatorname{Ker}(f-\mathrm{id}), B_{f}=\operatorname{Ker}(f+\mathrm{id}), A_{g}=\operatorname{Ker}(g-\mathrm{id})$, $B_{g}=\operatorname{Ker}(g+\mathrm{id})$.
a) Démontrer que $g\left(A_{f}\right)=B_{f}$ et $g\left(B_{f}\right)=A_{f}$.
b) En déduire que la dimension de $E$ est paire.
c) Montrer qu'il existe une base $\mathcal{E}$ de $E$ telle que $\operatorname{Mat}_{\mathcal{E}}(f)=\left(\begin{array}{cc}I_{n} & 0 \\ 0 & -I_{n}\end{array}\right)$, $\operatorname{Mat}_{\mathcal{E}}(g)= \left(\begin{array}{cc}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0\end{array}\right)$.

Exercice 12 : RMS25-977

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$. Montrer que $p-q$ est un projecteur si et seulement si $q \circ p=p \circ q=q$.

Polynômes

Exercice 13 : RMS25-854

Soient $I_{0}, \ldots, I_{n}$ des segments de $\mathbb{R}$ non réduits à des points. Existe-t-il $P \in \mathbb{R}_{n+1}[X]$ tel que $\forall k \in\{0, \ldots, n\}, \int_{I_{k}} P(t) \mathrm{d} t=0$ ? Même question avec $P \in \mathbb{R}_{n}[X]$.

Exercice 14 : RMS25-964

On dit que $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n \geqslant 0$ est un polynôme réciproque si $P=X^{n} P\left(\frac{1}{X}\right)$. Soit $P$ un polynôme réciproque.
a) Soit $z$ une racine complexe de $P$. Montrer que $z \neq 0$. Montrer que $1 / z$ est une racine de $P$ de même multiplicité que $z$.
b) On note $\alpha, \beta$ les multiplicités (éventuellement nulle) de 1 et -1 comme racines de $P$. Montrer qu'il existe $q$ un $\mathbb{N}$ et $Q \in \mathbb{R}[X]$ de degré $q$ tels que :
$P=(X-1)^{\alpha}(X+1)^{\beta} X^{q} Q\left(X+\frac{1}{X}\right)$.
c) Factoriser $X^{7}-\frac{5}{2} X^{6}+\frac{3}{2} X^{5}+\frac{3}{2} X^{2}-\frac{5}{2} X+1$.

Exercice 15 : RMS25-967

Soit $\phi: P \in \mathbb{R}[X] \mapsto P-P^{\prime}$.
a) Pour $n \in \mathbb{N}$, montrer que la restriction de $\phi$ à $\mathbb{R}_{n}[X]$ induit une bijection sur $\mathbb{R}_{n}[X]$.
b) Pour $Q \in \mathbb{R}[X]$, montrer qu'il existe un unique $R \in \mathbb{R}[X]$ tel que $Q=R-R^{\prime}$.
c) Avec les notations précédentes, on suppose $\forall x \in \mathbb{R}, Q(x) \geqslant 0$.

En considérant $f: x \mapsto e^{-x} R(x)$, montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}, R(x) \geqslant 0$.
d) On suppose $R$ scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples. Montrer que $Q$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples.

Exercice 16 : RMS25-361

Soit $P(X)=X^{11}-14 X^{2}-5 X+1$. Montrer que $P$ admet au moins une racine complexe de module strictement inférieur à 1 .

Exercice 17 : RMS25-1295

Soient $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ et $E=\{P(M), P \in \mathbb{C}[X]\}$. On note $p$ le nombre de valeurs propres distinctes de $M$.
a) Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et que $p \leqslant \operatorname{dim} E \leqslant n$.
b) Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $\operatorname{dim} E=p$.

Exercice 18 : RMS25-972

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n \in \mathbb{N}^{*}$. On suppose que $P$ est minoré sur $\mathbb{R}$.

On pose $Q=P+P^{\prime}+\cdots+P^{(n)}$. Montrer que $Q$ est minoré sur $\mathbb{R}$.

Continuité/Dérivabilité

Exercice 19 : RMS25-910

Résoudre dans $\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ l'équation fonctionnelle : $f(2 x)=4 f(x)+3 x+1$.

Exercice 20 : RMS25-1079

Déterminer les $f \in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telles que : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=1+2 \int_{0}^{x} f(t) \cos (x-t) \mathrm{d} t$.

Exercice 21 : RMS25-1073

Soit $f \in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que : $\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \quad f(x+y) f(x-y)=(f(x) f(y))^{2}(*)$.
a) Quelles sont les valeurs possibles de $f(0)$ ?
b) Montrer que, si $f\left(x_{0}\right)=0$, alors $f\left(\frac{x_{0}}{2^{n}}\right)=0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
c) Montrer que, si $f$ s'annule, alors est nulle.
d) Déterminer les fonctions qui vérifient (*).

Exercice 22 : RMS25-911

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f(x)=\frac{e^{x}-1}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=1$.
a) Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
b) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.
c) Donner le développement limité à l'ordre 5 de $f^{-1}$ au voisinage de 1 .

Exercice 23 : RMS25-912

Pour $f \in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on note $(\star)$ la propriété :
$\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y) f(x-y)=f(x)^{2}-f(y)^{2}$.
a) Montrer que si $f$ vérifie ( $\star$ ) alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ et qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel $f^{\prime \prime}=\lambda f$.
b) Déterminer toutes les solutions de ( $\star$ ).

Exercice 24 : RMS25-1074

Soit $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ continue et surjective.
a) Montrer que $f$ a une infinité de zéros.
b) Montrer que tout réel a une infinité d'antécédents par $f$.

Suites

Exercice 25 : RMS25-1524

[IMT] Pour $n \geqslant 2$, soit $f_{n}: x \mapsto n x^{3}+n^{2} x-2$.
a) Pour $n \geqslant 2$, montrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ possède une unique solution dans $] 0,1[$. On la note $u_{n}$.
b) Déterminer les variations de $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite $\ell$ et la déterminer.
c) Déterminer un équivalent de $u_{n}-\ell$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 26 : RMS25-905

On pose $F$ : $x \mapsto \int_{x}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$.
a) Trouver un équivalent de $F$ en $+\infty$.
b) Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que : $a_{0}=1$ et, pour $n \in \mathbb{N}, a_{n+1}=a_{n}+\int_{a_{n}}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$. Trouver un équivalent de $a_{n}$.

Exercice 27 : RMS25-1268

Soit $g: x \in \mathbb{R} \mapsto x-x^{2}$.
a) Déterminer le plus grand intervalle $I$ contenant 0 tel que $\left.g\right|_{I}$ soit injective.
b) On pose $J=g(I)$ et $f$ la réciproque de $\left.g\right|_{I}$. Déterminer l'expression de $f$.
c) Montrer que $f$ admet un développement en série entière au voisinage de 0 et l'expliciter.

Exercice 28 : RMS25-1065

Soit $a>0$. Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=a$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\arctan \left(u_{n}\right)$.
a) Montrer que $u_{n} \xrightarrow[n \rightarrow+\infty]{ } 0$.
b) Donner un équivalent de $u_{n}$.
c) Quelle est la nature de la série $\sum u_{n}$ ?

Exercice 29 : RMS25-1062

Soit $\left(x_{n}\right) \in\left(\mathbb{R}^{+*}\right)^{\mathbb{N}}$ telle que : $x_{n} \rightarrow 0$ et $\frac{\ln \left(x_{n}\right)}{x_{1}+\cdots+x_{n}} \rightarrow a<0$. Déterminer la limite de $\left(\frac{\ln \left(x_{n}\right)}{\ln n}\right)$.

Exercice 30 : RMS25-903

Soit $a \in \mathbb{R}^{+*}$.
a) Si $n \in \mathbb{N}$, montrer que l'équation $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{x-k}=a$ admet une unique solution dans $] n,+\infty$ [, que l'on notera $x_{n}$.
b) Étudier la monotonie de la suite ( $x_{n}$ ).
c) Trouver un équivalent simple de $x_{n}$.

Séries numériques

Exercice 31 : RMS25-908

Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, on pose $f_{n}: x \in \mathbb{R}^{+} \mapsto \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$ et on note $\left(E_{n}\right)$ l'équation $f_{n}(x)=2$.
a) Montrer que ( $E_{n}$ ) admet une unique solution dans $\mathbb{R}^{+}$; on notera $x_{n}$ cette solution.
b) Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ converge.
c) Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(x_{n}\right)$.
d) La série $\sum\left(x_{n}-\ell\right)$ est-elle convergente?

Exercice 32 : RMS25-1067

Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Déterminer la nature de $\sum_{n \geqslant 1} \frac{e^{i n \theta}}{n}$ et calculer sa somme en cas de convergence.

Exercice 33 : RMS25-909

Nature de la série de terme général $e^{u_{n}}-2$ avec $u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1}$.

Exercice 34 : RMS25-1535

[CCINP] a) Énoncer le critère spécial des séries alternées.
b) Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, on pose $u_{n}=\cos \left(\pi n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$.

Montrer que $u_{n}=\frac{(-1)^{n} \pi}{3 n}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$.
c) En déduire la nature de la série $\sum u_{n}$.

Exercice 35 : RMS25-1531

[IMT] Étudier la nature de la série de terme général $u_{n}=e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$.

Exercice 36 : RMS25-1530

[IMT] Étudier la nature de la série de terme général $u_{n}=\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$.

Suites et séries de fonctions

Exercice 37 : RMS25-1548

[CCINP] Soient $a>0$ et $\varphi$ une fonction continue sur $I=[-a, a]$. On suppose qu'il existe un réel $c \geqslant 0$ tel que $\forall x \in I,|\varphi(x)| \leqslant c|x|$. On cherche l'ensemble des fonctions $f$ continues sur $I$ telles que $f(0)=0$ et $\forall x \in I, f(x)-f(x / 2)=\varphi(x)$.
a) Montrer que $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi\left(x / 2^{n}\right)$ est définie et continue sur $I$.
b) Montrer que $S$ est l'unique solution du problème.
c) On suppose que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$. Montrer que $S$ est dérivable sur $I$.

Exercice 38 : RMS25-1544

[CCINP] Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, soit $f_{n}: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh}(n x)}$.
a) Donner le domaine de définition de $f=\sum_{n=1}^{+\infty} f_{n}$.
b) Donner le domaine de continuité de $f$.
c) Déterminer les variations de $f$.
d) Démontrer l'existence de $x_{0}>0$, tel que : $\forall x \geqslant x_{0}, \forall n \geqslant 2, f_{n}(x) \leqslant 3 e^{-n x}$.
e) Montrer que $f(x) \sim \frac{1}{\operatorname{sh}(x)}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Exercice 39 : RMS25-1098

Soit $f: x \mapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \ln n}{1+n^{2} x}$.
a) Donner le domaine de définition de $f$.
b) Étudier la continuité de $f$.
c) Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $+\infty$.
d) Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $0^{+}$.

Exercice 40 : RMS25-1542

[ENSEA] Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, soit $f_{n}: x \in[0,1] \mapsto \frac{n^{2} x^{2}}{1+n^{3} x^{3}}$.
a) Étudier la convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite $\left(f_{n}\right)$.
b) Étudier la convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de $\left(f_{n}^{\prime}\right)$.

Exercice 41 : RMS25-1099

On considère $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$, où $u_{n}(x)=\frac{1}{n+n^{2} x^{2}}$.
a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^{*}$, paire.
b) Montrer que $\sum u_{n}$ ne converge pas normalement.
c) Montrer que $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$ et donner son intégrale sous la forme de la somme d'une série numérique.
d) Montrer que $f$ est monotone sur $\mathbb{R}^{+*}$.
e) Donner la limite, puis un équivalent en $+\infty$.
f) Donner la limite, puis un équivalent en 0 .

Exercice 42 : RMS25-929

Soit, pour $n \in \mathbb{N}, U_{n}=\int_{0}^{1} \frac{t^{n+1}}{\ln (1-t)} \mathrm{d} t$.
a) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}, U_{n}$ est bien définie.
b) Trouver un équivalent de $U_{n}$.

Séries entières

Exercice 43 : RMS25-924

$\boldsymbol{a}$ ) Déterminer le rayon de convergence de $\sum \frac{(n+1)(n+2)}{2^{n}} x^{n}$.
b) Calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2^{n}}$.

Exercice 44 : RMS25-1552

[CCINP] Soit, pour $n \in \mathbb{N}, a_{n}=\int_{0}^{1}\left(\frac{1+t^{2}}{2}\right)^{n}$. Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}$.
a) Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente et déterminer sa limite
b) Montrer que $\sum(-1)^{n} a_{n}$ converge
c) Montrer que, pour tout $n, a_{n} \geqslant \frac{1}{2 n+1}$.
d) En déduire le rayon de convergence $R$ de $f$.
e) Montrer que, pour tout $n,(2 n+2) a_{n+1}=1+(n+1) a_{n}$.
f) Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle que l'on déterminera.

Exercice 45 : RMS25-1107

On donne $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$. Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, on pose $u_{n}=\sum_{\substack{(i, j) \in \mathbb{N}^{* 2} \\ i+j=n}} \frac{1}{i^{2} j^{2}}$.
a) Donner un équivalent de $u_{n}$ lorsque $n \rightarrow+\infty$.
b) Donner le rayon de convergence de $\sum u_{n} z^{n}$.

Exercice 46 : RMS25-1326

Soit $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ définie par $a_{0}=1$ et, pour $n \in \mathbb{N}^{*}, a_{n}=\frac{1}{n!} \int_{0}^{1} t(t-1) \ldots(t-n+1) \mathrm{d} t$. Rayon de convergence et somme de $x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}$.

Exercice 47 : RMS25-1549

[IMT] Pour $n \in \mathbb{N}$ on note $z_{n}=(1+i)^{n}$.
a) Calculer le module et un argument de $z_{n}$.
b) Montrer que la fonction $x \mapsto e^{x} \cos (x)$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
c) En notant $e^{x} \cos (x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{n}}{n!} x^{n}$, montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}, a_{n} \in \mathbb{N}$.

Exercice 48 : RMS25-1553

[CCINP] Soit $\left(a_{n}\right)$ définie par $a_{0}=a_{1}=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n}}{n+2}$.
a) Montrer que ( $a_{n}$ ) est strictement positive.
b) Étudier sa monotonie.
c) Montrer que la série $\sum\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ diverge. Quelle est la limite de $\left(a_{n}\right)$ ?
d) Quel est le rayon de convergence de la série entière $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}$ ?
e) Montrer que $S$ est solution de $(x-1) y^{\prime}+(x+1) y=0$. En déduire $S$.
f) Montrer que $a_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}(n-k+1)$.
g) Déterminer un équivalent de $a_{n}$ en $+\infty$.

Réduction

Exercice 49 : RMS25-878

On se place dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$. On pose $\Phi: M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \mapsto \operatorname{tr}(M) I_{2}-M$.
a) Calculer $\Phi(M)$.
b) Montrer que $\Phi$ est un automorphisme et déterminer sa matrice dans la base canonique.
c) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $\Phi$.
d) Montrer que $M$ et $\Phi(M)$ ont le même polynôme caractéristique.
e) Montrer qu'il existe $P \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ tel que $\forall M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}), \Phi(M)=P M^{T} P^{-1}$.

Exercice 50 : RMS25-869

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & z & z \\ 1 & 0 & z \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ avec $z \in \mathbb{C}$.
a) Si $z=1$, justifier que $A$ est diagonalisable.
b) Pour quels $z \in \mathbb{C}$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable?

Exercice 51 : RMS25-1495

[CCINP] Soient $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ et $M=\left(\begin{array}{cc}A & A \\ 0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 n}(\mathbb{R})$.
a) Soient $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ deux matrices semblables et $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que $P(A)$ et $P(B)$ sont semblables.
b) Calculer $M^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}^{*}$.
c) Exprimer $P(M)$ en fonction de $A, P(A), P^{\prime}(A)$.
d) En déduire que si $M$ est diagonalisable alors $A$ l'est aussi.
e) Démontrer que si $M$ est diagonalisable alors $A$ est nulle.

Exercice 52 : RMS25-1478

[CCINP] Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On considère $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telles que $A B=B A$ et on pose $M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & A\end{array}\right)$.
a) Si $U, V \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ sont semblables et si $R \in \mathbb{C}[X]$, montrer que $R(U)$ et $R(V)$ sont semblables.
b) Soit $P \in \mathbb{C}[X]$. Exprimer $P(M)$ en fonction de $P(A), P^{\prime}(A)$ et $B$.
c) On suppose $B$ nulle et $A$ diagonalisable. Montrer que $M$ est diagonalisable.
d) Si $\lambda \in \mathbb{C}$ n'est pas valeur propre de $A$, justifier que $A-\lambda I_{n}$ est inversible.
e) On suppose $M$ diagonalisable. Montrer que $B$ est nulle et $A$ diagonalisable.

Exercice 53 : RMS25-1004

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. Pour $j \in[0,2 n]$, on pose $f_{j}: t \mapsto \operatorname{sh}^{j}(t) \operatorname{ch}^{2 n-j}(t)$ définie sur $\mathbb{R}$.
a) On note $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ engendré par les $f_{j}$.

Montrer que $\mathcal{F}=\left(f_{0}, \ldots, f_{2 n}\right)$ est une base de $F$.
b) On note $D$ l'opérateur de dérivation sur $F$. Montrer que $D$ induit un endomorphisme. Donner ses éléments propres.

Exercice 54 : RMS25-1016

Soient $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n, f, g \in \mathcal{L}(E)$ tels que $f \circ g= f+g$.
a) Montrer que $\operatorname{Im} f=\operatorname{Im} g$ et $\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker} g$.
b) On suppose $f$ diagonalisable, montrer que $f \circ g$ est diagonalisable et que ses valeurs propres ne peuvent pas être dans $] 0,4[$.

Intégration de spé

Exercice 55 : RMS25-1084

Soit $p \in \mathbb{N}$. Montrer que $t \mapsto e^{-(t-p \pi)^{2}} \sin (t)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ et que son intégrale est nulle.

Exercice 56 : RMS25-1315

Soit $f: x \mapsto \int_{x}^{2 x} \frac{\cos (t)}{t} \mathrm{~d} t$. Déterminer les limites de $f$ en $0^{+}$, en $+\infty$ et en $-\infty$, puis les variations de $f$.

Exercice 57 : RMS25-1538

[CCINP] On pose $I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{3}(t)}{t^{2}} \mathrm{~d} t$.
a) Justifier la convergence de $I$.
b) Montrer $\forall t \in \mathbb{R}, \sin ^{3}(t)=\frac{3}{4} \sin (t)-\frac{1}{4} \sin (3 t)$.
c) Montrer que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{3}(t)}{t^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{3}{4} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{x}^{3 x} \frac{\sin (t)}{t^{2}} \mathrm{~d} t$.
d) Soit $g: t \in \mathbb{R}^{*} \mapsto \frac{\sin (t)-t}{t^{2}}$. Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0 .
e) Calculer $I$.

Exercice 58 : RMS25-1272

a) Existence et calcul de $F(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+x^{2}+t^{2}}$ pour $x \geqslant 0$.
b) Calculer $I_{n}=\int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} t}{1+(n \pi)^{\alpha} \sin ^{2}(t)}$. Ind. Poser $u=\frac{1}{\tan (t)}$.
c) Nature suivant $\alpha>0$ de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{\alpha} \sin ^{2} t}$ ?

Exercice 59 : RMS25-1537

[ENSEA] Étudier, en fonction des paramètres réels $\alpha$ et $\beta$, l'intégrabilité sur $[2,+\infty[$ de $x \mapsto \frac{e^{\beta x}}{x^{\alpha} \ln (x)}$.

Exercice 60 : RMS25-1536

[IMT] Déterminer la nature de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty}\left(e^{\frac{\sin x}{\sqrt{x}}}-1\right) \mathrm{d} x$.

Théorèmes d'intégration

Exercice 61 : RMS25-1570

[IMT] Soit $F: x \in]-1,+\infty\left[\mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(e^{-t}-e^{-2 t}\right) e^{-x t}}{t} \mathrm{~d} t\right.$.
a) Montrer que $F$ est bien définie sur $]-1,+\infty[$.
b) Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]-1,+\infty\left[\right.$ et calculer $F^{\prime}$.
c) Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la donner.
d) Calculer $F(x)$ pour tout $x>-1$.

Exercice 62 : RMS25-1571

[Saint-Cyr] Soit $f: x \mapsto \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{x}} \mathrm{~d} t$
a) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f$.
b) Montrer que $f$ est continue puis de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{D}_{f}$.
c) Conjecturer à l'aide de Python la valeur de $f(2)$. Prouver cette conjecture.
d) Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur son domaine.
e) Calculer les limites de $f$ en $1^{+}$et en $+\infty$.

Exercice 63 : RMS25-1121

On pose $S: t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(1+e^{-n t}\right)$.
a) La fonction $S$ est-elle intégrable sur $[1,+\infty[?] 0,1]$ ?
b) Convergence et calcul de $\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+u)}{u} \mathrm{~d} u$.

Exercice 64 : RMS25-1559

[Navale] Prouver la convergence de l'intégrale $I=\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{\operatorname{sh} t} \mathrm{~d} t$ et en donner une valeur explicite.

Exercice 65 : RMS25-1126

Pour $x>0$, on pose $s(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{e^{x t}-1} \mathrm{~d} t$.
a) Montrer que $s$ est continue sur $] 0,+\infty[$.
b) Écrire $s$ comme la somme d'une série de fonctions rationnelles.
c) Montrer que $s(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{\pi}{2 x}$.

Exercice 66 : RMS25-1128

On pose $f: x \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{3}+x^{3}}$.
a) Domaine de définition?
b) Montrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
c) Calculer $f(0)$.

Espaces euclidiens

Exercice 67 : RMS25-896

a) Rappeler la définition de $\mathcal{S}_{n}^{+}(R)$ et de $\mathcal{S}_{n}^{++}(R)$.
b) i) Pour $A, B \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$, on note $A \leqslant B$ si et seulement si $A-B \in \mathcal{S}_{n}^{+}(R)$. Montrer que c'est une relation d'ordre sur $\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$.
ii) Soit $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $C \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$ telle que $C^{2}=A$.
iii) Soient $M \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$ et $M^{\prime} \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$. Montrer que $M^{\prime} M M^{\prime}$ appartient à $\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})$.
c) i) Montrer que, si $M \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$, alors $M$ inversible et $M^{-1} \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$.
ii) Soit $f: M \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R}) \mapsto M^{-1} \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $f$ est décroissante, i.e. si $A \leqslant B$ alors $f(B) \leqslant f(A)$. Ind. Montrer que si $I_{n} \leqslant B$ alors $f(B) \leqslant f\left(I_{n}\right)$.

Exercice 68 : RMS25-1262

On identifie $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ et $\mathbb{R}^{2}$. On munit $\mathbb{R}^{2}$ de sa structure euclidienne canonique. On pose $\mathcal{C}=\left\{A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) ; \forall X \in \mathbb{R}^{2},\|A X\| \leqslant\|X\|\right\}$. On dit que $A \in \mathcal{C}$ est un point extrémal de $\mathcal{C}$ lorsque $\forall B_{1}, B_{2} \in \mathcal{C}, A=\frac{1}{2} B_{1}+\frac{1}{2} B_{2} \Rightarrow A=B_{1}=B_{2}$.
a) Montrer $\mathcal{O}_{2}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{C}$.
b) i) Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $R \in \mathrm{SO}_{2}(\mathbb{R})$ telle que $A R \in \mathcal{S}_{2}(\mathbb{R})$.
ii) En déduire qu'il existe $\Omega_{1}, \Omega_{2} \in \mathcal{O}_{2}(\mathbb{R})$ et $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ tels que $\Omega_{1} A \Omega_{2}=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right)$.
iii) On suppose $A \in \mathcal{C}$. Montrer que $a$ et $b$ appartiennent à $[-1,1]$.
c) Montrer que l'ensemble des points extrémaux de $\mathcal{C}$ est $\mathcal{O}_{2}(\mathbb{R})$.

Exercice 69 : RMS25-1307

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telles que $\chi_{A}=\prod_{i=1}^{n}\left(X-[A]_{i, i}\right)$.
a) Soit $A \in \mathcal{C}$. Calculer $\operatorname{tr}\left(A^{T} A\right)$.
b) Déterminer $\mathcal{C} \cap \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$.
c) Déterminer $\mathcal{C} \cap \mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})$.

Exercice 70 : RMS25-890

a) Soient $A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$. Comparer $\operatorname{Tr}(A)$ et $\operatorname{Tr}(A B)$.
b) Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. Montrer que la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^{k}}{k!}$ converge. On note sa limite $\exp (M)$.
c) On admet que, si $M, N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ commutent, alors $\exp (M+N)=\exp (M) \exp (N)$. Montrer que, si $B \in \mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})$, alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $\exp (x B) \in \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$.

Exercice 71 : RMS25-1305

Déterminer toutes les matrices $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telles que $A^{T} A^{2}=A$ et $\operatorname{Tr}(A)=n$.

Exercice 72 : RMS25-895

Soit $E=\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$.
a) Montrer que $\forall A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), \operatorname{tr}\left(A^{T} A\right)>0$.
b) Montrer que $\forall S \in E, \exists A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), S=A^{T} A$.
c) Montrer que $\forall\left(S, S^{\prime}\right) \in E^{2}, \operatorname{tr}\left(S S^{\prime}\right)>0$.

Espaces normés

Exercice 73 : RMS25-1520

[IMT] Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $F$ un sous-espace de $E$. On suppose que l'adhérence de $F$ est égale à $E$. Soient $v \in E \backslash F^{\perp}$ unitaire et $G=\{v\}^{\perp}$.
a) Soient $(x, y) \in F^{2}$ et $z=\langle x, v\rangle y-\langle y, v\rangle x$. Montrer que $z \in F \cap G$.
b) Montrer que tout élément de $G$ est limite d'une suite d'éléments de $F \cap G$.

Exercice 74 : RMS25-1049

Pour $q \in] 0,1\left[\right.$, on pose $N_{q}: P \in \mathbb{R}[X] \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty}|P(k)| q^{k}$.
a) Montrer que $N_{q}$ est une norme.
b) Existe-t-il un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$ dont $N_{q}$ soit la norme associée?
c) Soit $(p, q) \in] 0,1\left[^{2}\right.$ avec $p \neq q$. Les normes $N_{p}$ et $N_{q}$ sont-elles équivalentes?

Exercice 75 : RMS25-1310

Soit $E=\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. On définit la norme $N$ sur $E$ en posant $N(A)=\max _{1 \leqslant i, j \leqslant 2}\left|a_{i, j}\right|$ lorsque $A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant 2}$.
a) Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}^{+*}$ tel que : $\forall(A, B) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})^{2}, N(A B) \leqslant c N(A) N(B)$.
b) Montrer que la suite $\left(\sum_{k=0}^{n} \frac{A^{k}}{k!}\right)_{n \geqslant 0}$ est convergente pour tout $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. On note $\exp (A)$ la limite de la suite.
c) Pour $t \in \mathbb{R}$, on pose $A_{t}=\left(\begin{array}{ll}t & 1 \\ 0 & t\end{array}\right)$ et $B_{t}=\left(\begin{array}{cc}\cos (t) & -\sin (t) \\ \sin (t) & \cos (t)\end{array}\right)$. Calculer $\exp \left(A_{t}\right)$ et $\exp \left(B_{t}\right)$.

Exercice 76 : RMS25-900

a) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $\forall z \in \mathbb{C},|P(z)| \geqslant|\operatorname{Im} z|^{\operatorname{deg} P}$.
b) Montrer que l'ensemble des matrices trigonalisables de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ est un fermé de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
c) Montrer que l'adhérence des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ est égale à l'ensemble des matrices trigonalisables.

Exercice 77 : RMS25-1521

[IMT] Soit $(E,\langle,\rangle)$ un espace euclidien. On fixe k \in[0,1[$, et on considère l'ensemble : $F=\{f \in \mathcal{L}(E) ; \forall x \in E,\|f(x)\| \leqslant k\|x\|\}$.
a) Déterminer l'ensemble $F$ lorsque $k=0$.
b) Vérifier que l'application identité id n'appartient pas à $F$.
c) Montrer que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.
d) Montrer qu'il existe une norme sur $\mathcal{L}(E)$ telle que $F$ est une boule fermée pour cette norme.

Exercice 78 : RMS25-1519

[CCINP] Soit $E=\mathcal{C}^{2}([0,1], \mathbb{R})$. Si $f \in E$, on pose $N_{0}(f)=\int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t$,
$N_{1}(f)=\left|\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ et
$N_{2}(f)=\left|\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right|+\left|\int_{0}^{1} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right|+\left|\int_{0}^{1} f^{\prime \prime}(t) \mathrm{d} t\right|$.
a) Soit $f: x \mapsto \sin (2 \pi x)$. Calculer $N_{0}(f), N_{1}(f)$ et $N_{2}(f)$.
b) Montrer que $N_{1}$ est une norme. Est-ce que $N_{2}$ est une norme?
c) Montrer que, pour toute $f \in E$, il existe $c \in[0,1]$ tel que $f(c)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$.
d) Montrer que $\forall f \in E, N_{1}(f) \leqslant N_{0}(f)$. Existe-t-il une fonction $f$ non identiquement nulle telle que $N_{1}(f)=N_{0}(f)$ ?
e) Existe-t-il $C \geqslant 0$ tel que $\forall f \in E, N_{0}(f) \leqslant C N_{1}(f)$ ?

Probabilités

Exercice 79 : RMS25-1241

a) Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. Montrer : $\mathbf{E}(X)=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbf{P}(X \geqslant n)$.
b) Soit ( $X_{k}$ ) une suite i.i.d. de variables de Poisson de paramètre $\lambda>0$.

On pose $N=\inf \left\{k \in \mathbb{N}^{*}, X_{k}>X_{0}\right\} \in \llbracket 1,+\infty \rrbracket$. Montrer que $N$ est une variable aléatoire.
c) L'espérance de $N$ est-elle finie?

Exercice 80 : RMS25-1161

Soit $N \in \mathbb{N}^{*}$. Soit $\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,2, \ldots, N\}$. On note $\mu$ l'espérance de $U_{1}$ et $\sigma^{2}$ la variance de $U_{1}$.
Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^{*}$, on définit les variables $S_{n}=U_{1}+\cdots+U_{n}$ et $V_{n}=\frac{S_{n}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}}$.
Soit $t \in \mathbb{R}$. Montrer que $\mathbf{E}\left(e^{t V_{n}}\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} e^{t^{2} / 2}$.

Exercice 81 : RMS25-1245

a) Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, donner la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme $T^{n}-1$ dans $\mathbb{R}[T]$ puis $\mathbb{C}[T]$.
b) Soient $X, Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$. Rappeler pourquoi $G_{X+Y}=G_{X} G_{Y}$.
c) Soit un entier $p \geqslant 2$. Sous les hypothèses précédentes, montrer que $X+Y$ ne peut pas suivre la loi uniforme sur $\llbracket 2,2 p \rrbracket$ sachant que $X$ et $Y$ prennent toutes les valeurs dans $\llbracket 1, p \rrbracket$ avec probabilité non nulle.

Exercice 82 : RMS25-1591

[CCINP] On considère une urne contenant $b \geqslant 2$ boules rouges et $v \geqslant 2$ boules vertes. À chaque tirage, on prélève une boule avec remise, avec une probabilité de $p \in[0,1]$.
On effectue une suite infinie de tirages indépendants.
a) Soit $X_{1}$ le rang d'apparition de la première boule verte. Déterminer la loi de $X_{1}$ ainsi que son espérance.
b) Soit $X_{2}$ le rang d'apparition de la deuxième boule verte. Déterminer la loi de $X_{2}$ ainsi que son espérance.

Exercice 83 : RMS25-958

Soient $a>0, p \in] 0,1[$ et $X, Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $\forall(i, j) \in \mathbb{N}^{2}, \mathbf{P}(X=i, Y=j)=a p^{i+j}$.
a) Calculer $a$.
b) Déterminer la loi de $X$ et de $Y, \mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{V}(X)$.
c) Calculer la covariance de $X$ et $Y$.
d) Soit $U=\max (X, Y)$. Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer la loi de $U$ sachant $(X+Y=2 n+1)$.

Exercice 84 : RMS25-947

On considère un immeuble de trois étages avec un rez-de-chaussée). Cinq personnes prennent l'ascenseur. On considère que chacune va aller à un étage de manière équiprobable et indépendamment des quatre autres. L'ascenseur ne fait pas demi-tour, il ne fait qu'une montée pour déposer les personnes. On note $X_{i}$ le nombre de personnes qui descendent à l'étage $i$.
a) Donner la loi de $X_{1}, \mathbf{E}\left(X_{1}\right), \mathbf{V}\left(X_{1}\right)$.
b) Que dire de $X_{2}$ et $X_{3}$ ?

On considère $Y_{i}$ qui vaut 1 si l'ascenseur s'arrête au $i$-ème étage, 0 sinon.
$\boldsymbol{c}$ ) Déterminer $\mathbf{P}\left(Y_{i}=0\right)$ et $\mathbf{P}\left(Y_{i}=1\right)$.
d) En déduire $\mathbf{E}(Z)$ avec $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre d'arrêts de l'ascenseur.

Calcul diff

Exercice 85 : RMS25-1434

[IMT] Soient $K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, x, y \geqslant 0\right.$ et $\left.0 \leqslant x+y \leqslant 1\right\}$ et $f:(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mapsto x y(1-x-y)$. Montrer que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $K$ et les déterminer.

Exercice 86 : RMS25-1435

[CCINP] On munit $\mathbb{R}^{n}$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u \in \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ et $f, g$ définies sur $\mathbb{R}^{n}$ par: $\forall x \in \mathbb{R}^{n}, f(x)=\langle u(x), x\rangle$ et $g(x)=\|x\|^{2}-1$.
a) On pose $K=g^{-1}\{0\}$. Montrer que $K$ est compact.
b) Montrer que $f_{\mid K}$ admet un maximum en $a \in K$.
c) Montrer que $g$ est différentiable et calculer sa différentielle et son gradient en tout point.
d) Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle et son gradient en tout point.
e) Montrer que $a$ est un vecteur propre de $u$.

Exercice 87 : RMS25-941

Soit $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$. On pose $f(x, y)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n}}{1+y^{2 n}}$.
a) Déterminer le domaine de définition de $f$; le représenter graphiquement.
b) Étudier l'existence des dérivées partielles d'ordre 1 de $f$.

Exercice 88 : RMS25-1584

[IMT] Soit $T=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \geqslant 0, y \geqslant 0,1-x-y \geqslant 0\right\}$.

Soit $f:(x, y) \in T \mapsto x y \sqrt{1-x-y}$.
a) Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $T$.
b) Déterminer ces extrema.

Exercice 89 : RMS25-1143

Soit $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{2}$.
a) Pour tout $(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^{4}$ montrer: $f(b, d)-f(a, d)-f(b, c)+f(a, c)=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ où $g: x \mapsto \int_{c}^{d} \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(x, y) \mathrm{d} y$.
b) Montrer qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que :
$\forall(x, y) \in[-1,1]^{2},|f(x, y)-f(0, y)-f(x, 0)+f(0,0)| \leqslant M|x y|$.

Exercice 90 : RMS25-1583

[CCINP] Soit $f:(x, y) \mapsto x e^{y}+y e^{x}$.
a) Qu'est-ce qu'un point critique? Quel est le rapport entre point critique et extremum?
b) Montrer que, si ( $x, y$ ) est un point critique de $f$, alors $y+e^{y-\frac{1}{y}}=0$.
c) Prouver que $f$ admet un unique point critique $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{Z}^{2}$.
d) Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum.