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TD S2

1 (BEOS 8441)

Soit \(r \in]-1,1\). On définit \(f_n: x \mapsto r^n \cos n x\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
1) Montrer que \(\sum_{n \geqslant 0} f_n\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\).
2) Soit \(x \in \mathbb{R}\). Déterminer la fonction \(S\) définie par

\[ S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \]

3) En déduire que :

\[ \forall x \in \mathbb{R}, \frac{1-r^2}{1+r^2-2 r \cos x}=1+2 \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x) \]

4) Soit \((k, n) \in \mathbb{N}^2\). Calculer \(\int_0^{2 \pi} \cos k x \cos n x \mathrm{~d} x\).
5) En déduire, pour \(k\) dans \(\mathbb{N}\), l'expression de

\[ I_k=\int_0^{2 \pi} \frac{\cos k x}{1+r^2-2 r \cos x} \mathrm{~d} x \]

2 (BEOS 8124)

On pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \cos ^n x \sin n x\).
1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(] 0, \frac{\pi}{2}[\).
2. Expliciter \(f(x)\) sans utiliser le symbole \(\sum\).

3 (BEOS 8113)

On définit, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*, f_n: x \mapsto \frac{2 x}{x^2+n^2}\). On pose \(S=\sum_{n=1}^{+\infty} f_n\).
1. Étudier la converge simple de la série de fonctions \(\sum f_n\).
2. Étudier la continuité de \(S\) sur son ensemble de définition.
3. Déterminer les limites de \(S\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).

4 (BEOS 7849)

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(v_n(x)=n^x \mathrm{e}^{-n x}\). Soit \(S: x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} v_n(x)\).
1) Donner l'ensemble de définition de \(S\).
2) Montrer que \(S\) est continue sur son ensemble de définition.
3) Donner la limite de \(S\) en \(+\infty\) par le théorème de la double limite.
4) \(\sum_{n \geqslant 0} v_n\) converge-t-elle uniformément sur \(] 0,+\infty[\) ?
5) \(S\) est-elle dérivable sur \(] 0,+\infty[\) ?

5 (BEOS 7006)

Pour \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^{\star}\), on pose \(u_n(x)=(-1)^n \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}\). On note \(f\) la somme de cette série de fonctions.
1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}_{+}\).
2. Montrer la convergence uniforme de \(\sum u_n\) sur \(\mathbb{R}_{+}\)et en déduire que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}\).
3. Y a-t-il convergence normale sur \(\mathbb{R}_{+}\) ?
4. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{\star}\) et en déduire, pour \(x>0\), une expression explicite de \(f^{\prime}(x)\).
5. Déterminer \(f\) puis en déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}\).

6 (BEOS 6777)

Soit \(f : x \longmapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos (n x)}{x^2+n^2}\)
1) Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\)
2) Montrer que \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) (probable erreur d'énoncé. On peut montrer \(\mathcal C^1\) sur \(]0,2\pi[\)).

7 (BEOS 7806)

Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on définit de \(\mathbb R^+\) dans \(\mathbb R^+\) par

\[ u_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}\left(1+n x^2\right)} \]
  1. Montrer que \(\sum u_n\) converge simplement sur \(\mathbb{R}_{+}\).
  2. On pose \(S=\sum_{n=1}^{+\infty} u_n\).
  3. a) La convergence est-elle normale sur \(\mathbb{R}_{+}\) ?
    b) Montrer que, pour tout \(a>0\), la série converge normalement sur \([a,+\infty[\). En déduire que \(S\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
  4. a) Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}^*, R_n(x)-R_{2 n}(x) \geqslant \frac{\sqrt{n} x}{\sqrt{2}\left(1+2 n x^2\right)}\).
    b) En déduire que \(\sum u_n\) ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R}_{+}\).
  5. On admet \((\varepsilon)\) : $$ \forall x>0 \quad 2 \arctan \frac{1}{x} \leqslant S(x) \leqslant 2 \arctan \frac{1}{x}+\frac{x}{1+x^2} $$ Montrer que \(S\) n'est pas continue en 0.
  6. Démontrer \((\varepsilon)\).

8 (BEOS 7633)

On définit la suite \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) par \(u_0=\frac{\pi}{2}\) et \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sin \left(u_n\right)\).
1. Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) converge vers 0.
2. Montrer que \(\sum \ln \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) et \(\sum u_n^2\) sont de même nature. En déduire la nature de la série \(\sum u_n^2\).
3. Montrer que \(\sum\left(u_{n+1}-u_n\right)\) et \(\sum u_n^3\) sont de même nature. En déduire la nature de la série \(\sum u_n^3\).
4. En déduire la nature de la série \(\sum u_n^k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\).

9 (RMS23 1139)

Soit \(f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+n^2 x^2}\).
a) Déterminer le domaine de définition et de continuité de \(f\).
b) Déterminer la limite de \(f\) et un équivalent en \(+\infty\).
c) Déterminer la limite de \(f\) et un équivalent en 0 .

10 (RMS23 1142)

Soit \(a>0\).
a) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(1+\frac{a^2}{n^2 x^2}\right)\).
b) Étudier la dérivabilité de \(f\).
c) Donner la limite puis un équivalent de \(f(x)\) quand \(x \rightarrow+\infty\).
d) Donner la limite puis un équivalent de \(f(x)\) quand \(x \rightarrow 0^{+}\).

11 (BEOS 8881)

Pour tout \(x>0\), on pose \(\quad f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!(n+x)}\).
1. Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
2. Déterminer \((a, b) \in \mathbb{R}^2\) vérifiant \(\quad f(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{=} \frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\).

12 (BEOS 8536)

Soit \(f: t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-n t}}{1+n^2}\).
1. Déterminer l'ensemble \(E\) de définition de \(f\).
2. \(f\) est-elle continue sur \(E\) ?
3. \(f\) est-elle dérivable sur \(] 0,+\infty[\) ?
4. \(f\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(] 0,+\infty[\) ?