Centrale Python

BEOS 8360

Soit une urne contenant \(n\) boules numérotés de 1 à \(n\). On tire \(n\) boules successivement, avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de boules distinctes piochées au bout des \(n\) tirages.

1)
- a) Ecrire une fonction Python, prenant en argument un entier \(n\), qui simule la variable \(X\).
- b) En déduire 2 fonctions Python, d'argument d'entrée \(n\), une donnant la loi de \(X\) (i.e le vecteur des probalités) et l'autre donnant l'espérance de \(X\). Faites tourner le programme pour \(n=3\).

2) Par la théorie, calculer l'espérance de \(X\) pour \(n=3\).

3) On revient au cas général où \(n\) boules sont tirées.
- a) Exprimer \(P(X=1)\) et \(P(X=n)\).
- b) Exprimer \(P(X=2)\) et \(P(X=n-1)\).

4) Soit \(A_i\) l'évènement : " la boule numéro \(i\) a été pioché au cours des \(n\) tirages" et \(X_i\) l'indicatrice de \(A_i\). A l'aide des \(X_i\), exprimer \(\mathrm{E}(\mathrm{X})\) puis donner un équivalent lorsque \(n\) tend vers l'infini

BEOS 8843

Pour tout \(n \geqslant 1\), on pose:

\[ u_n=\sum_{k=1}^n \arctan \frac{k}{n^2} \]

1. Python

a) Écrire en Python une fonction \(\mathbf{u}(\mathrm{n})\) prenant en entrée un entier \(n \geqslant 1\) et retournant la valeur de \(u_n\).

b) Représenter la suite ( \(u_n\) ) et émettre une conjecture quant à sa convergence. \(f\) désigne la fonction arctan.

1. Étudier les variations de \(f^{\prime \prime}\) et déterminer la valeur de \(M_2=\max _{\mathbb{R}}\left|f^{\prime \prime}\right|\).
2. Montrer que: \(\forall t \geqslant 0,\left|f^{\prime}(t)-1\right| \leqslant M_2 t\).
3. En déduire que

\[ \forall n \geqslant 1, \quad u_n-\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2 n}+\frac{(n+1)(2 n+1) M_2}{12 n^3} . \]

1. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.

RMS2022-1116

On munit l'espace \(E\) des fonctions \(f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\) continues et bornées de la norme \(\|\;\|_{\infty}\). Pour \(f\in E\), on pose \(\Phi(f):x\mapsto \int_0^{+\infty}\arctan(xt)\frac{f(t)}{1+t^2}\mathrm d t\).

• a) Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\).
• b) Soit \(g\) l'image par \(\Phi\) de la fonction constante égale à \(1\). Avec Python, tracer \(g\) sur le segment \([0,5]\) et émettre une conjecture sur la limite de \(g\).
• c) Calculer la limite de \(g\) en \(+\infty\).
• d) Étudier la dérivabilité de \(g\) et calculer sa dérivée.
• e) Calculer \(g(x)+g(1/x)\). On pourra utiliser Python pour intuiter le résultat.

RMS2017-1045

Soient les matrices de \(\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R}): M_n=\left(\begin{array}{lllll}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ n & 0 & 2 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & n \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0\end{array}\right), \quad A_{n}=\) \(\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & 2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & n \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\end{array}\right), B_{n}=\left(\begin{array}{ccccc}0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ n & 0 & & & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\)
- Créer une fonction \(M(n)\) qui renvoie \(M_{n} .\)
- Utiliser python pour trouver les valeurs propres de \(M_{i}\) avec \(2 \leq i \leq 4 .\) Conjecturer celles de \(M_{n}\).

On note \(g\) et \(f\) les endomorphismes de \(\mathbb{R}_{n}[X]\) canoniquement associés respectivement à \(B_{n}\) et \(M_{n}\). - Calculer \(g(P)\) pour \(P \in \mathbb{R}_{n}[X]\).
- Trouver des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(: \forall t \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\}, ; \frac{n t-\lambda}{t^{2}-1}=\) \(\frac{\alpha}{1-t}+\frac{\beta}{1+t}\).
- Résoudre, sur \(] - 1,1[\), l'équation différentielle : \((n t-\lambda) y(t)+\left(1-t^{2}\right) y^{\prime}(t)=0\).
- Donner une base de vecteurs propres de \(f\).
- Trouver une matrice \(U_{n}\), à coefficients entiers, inversible, telle que \(U_{n}^{-1} M_{n} U_{n}\) soit diagonale
- Programmer la matrice \(U_{n}\) et vérifier le résultat de la question précédente avec python.

RMS2021 - 975

On pose \(f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{x+t} \mathrm{~d} t\) et l'on considère l'équation différentielle \((E): y^{\prime \prime}+y=\) \(1 / x\). - a) Déterminer les ensembles de définition de \(f\) et \(g\).

• b) Avec PYTHON .

• i) Tracer la courbe de \(f\).

• ii) Tracer la courbe de \(g\) en expliquant pourquoi la méthode naïve ne convient pas. Faire une conjecture concernant \(f\) et \(g\).

• iii) Soient \(\phi\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur un intervalle \(I\) ouvert et \(x_{0} \in I\). À l'aide du développement limité de \(\phi\), exprimer \(\phi^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\) comme limite d'une expression faisant intervenir \(\phi\left(x_{0}+h\right)\) et \(\phi\left(x_{0}-h\right)\).

• iv) En admettant que \(f\) soit de classe \(\mathcal{C}^{2}\), montrer numériquement qu'elle vérifie \((E)\).

• c) i) Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

• ii) Montrer que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

• iii) Montrer que \(g\) est continue en 0 .

• iv) Montrer que \(f\) et \(g\) vérifient \((E)\) puis que \(f=g\) et enfin calculer \(I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\).

RMS2021-1035

On dispose de \(n\) urnes \(U_1,\dots , U_n\) et \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\), que l'on place indépendamment dans les urnes, chaque boule ayant la probabilité \(\tfrac1n\) d'être placée dans l'urne \(U_i\) pour chaque \(i\in[\![1,n]\!]\). On note \(X_n\) le nombre d'urnes vides après le placement des \(n\) boules.

• a) Écrire une fonction Python different qui prend une liste \(l\) et qui renvoie le nombre d'éléments distincts de \(l\). Par exemple, different([1,2,3,1,2]) renvoie \(3\).

• b) Écrire une fonction Python simulX qui prend un entier \(n\) et renvoie une simulation de \(X_n\).

• c) Pour tout \(i\in[\![1,n]\!]\), on note \(Y_i\) la variable aléatoire valant \(1\) si l'urne \(U_i\) est vide, \(0\) sinon. Déterminer la loi de \(Y_i\), son espérance et sa variance.

• d) Montrer que \(X_n=Y_1+\cdots + Y_n\). Est-ce que la loi de \(X_n\) est binomiale?

• e) Calculer l'espérance de \(X_n\).

• f) Écrire une fonction Python esperanceX qui prend en entrée un entier \(n\) et renvoie une valeur approchée de \(\mathbb E(X_n)\).

• g) Calculer la covariance de \(Y_i\) et \(Y_j\) pour \(i\neq j\). En déduire la variance de \(X_n\).

RMS2021-1063

Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), soit \(\left(E_{n}\right)\) l'équation : \(x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x^{2}+x-1=0\).

• a) Rappeler la formule de Stirling.

• b) Montrer que l'équation \(\left(E_{n}\right)\) admet une unique solution dans \(\left[0,+\infty\right[\), que l'on note \(u_{n}\).

• c) Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n} \in] 0,1[\). Étudier les variations de la suite \(\left(u_{n}\right)\) et en déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge. On note \(\ell\) sa limite.

• d) À l'aide de l'outil informatique, écrire une fonction \(u(n)\) qui retourne \(u_{n}\) pour tout \(n \geqslant 1\). Conjecturer la valeur de \(\ell\). On pose \(v_{n}=2^{n}\left(u_{n}-\ell\right)\). Conjecturer le comportement asymptotique de la suite \(\left(v_{n}\right)\).

• e) Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(u_{n}^{n+1}-2 u_{n}+1=0\). Démontrer la conjecture faite sur \(\ell\).

• f) Montrer que \(n\left(u_{n}-\ell\right) \longrightarrow 0\). En déduire la limite de la suite \(\left(v_{n}\right)\).

RMS2022-1033

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0\in[0,\pi]\) et, pour \(n\in\mathbb N\), \(u_{n+1}=\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{u_k}{n+1}\right)\).

a) Écrire un programme Python qui prend un entier \(n\) et qui renvoie les \(n\) premières valeurs de cette suite. Discuter sa complexité en temps et en mémoire.

b) Montrer que, pour \(x\in[0,\pi]\), \(x-\frac{x^3}{6}\leq \sin x\leq x\).

c) On considère \(v_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nu_k\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

i) Montrer que \(u_n\in[0,\pi]\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

ii) Montrer que \(v_n-\frac{\pi^3}{6(n+1)^2}\leq u_{n+1}\leq v_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\). En déduire que \(-\frac{\pi^3}{6(n+1)^3}\leq v_{n+1}-v_n\leq 0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

iii) En déduire la convergence de \((u_n)\).

RMS2022-1179

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb R)\).

On dit que \(A\) est à diagonale propre lorsque \(\chi_A=\prod_{k=1}^n (X-a_{k,k})\).

a) Montrer que si \(A\) est triangulaire alors elle est à diagonale propre.

b) Une matrice à diagonale propre est-elle nécessairement diagonale ? triangulaire supérieure ?

c) Déterminer les matrices de \(\mathcal{M}_2(\mathbb R)\) à diagonale propre.

d) Écrire un programme Python testant si une matrice de \(\mathcal{M}_3(\mathbb R)\) est à diagonale propre (avec un seuil à \(10^{-5}\) pour tester les égalités de réels).

e) Soit \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbb R)\). Exprimer \(\mathrm{tr}(A^TA)\) de deux façons différentes, dont une à l'aide des valeurs propres de \(A\). En déduire que \(A\) est à diagonale propre si et seulement si elle est diagonale.

f) Soit \(A \in \mathcal{A}_n(\mathbb R)\) à diagonale propre. Déterminer le spectre de \(A\). En considérant \(A^2\), montrer que \(A=0\).