semaine 4

Suite et série de fonctions

1724

Soit \(\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}\) définie par \(\left.u_0 \in\right] 0,1\left[\right.\) et \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+u_n^2\right)\).
(a) Déterminer un équivalent de \(u_n\).
(b) Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2414

Soit \(f_0: x \in \mathbb{R} \mapsto \sin (x)\) et, pour \(n \in \mathbb{N}, f_{n+1}: x \in \mathbb{R} \mapsto \sin \left(f_n(x)\right)\). Étudier la convergence simple et uniforme de \(\left(f_n\right)\).

Régularité des séries de fonctions

2433

Soit \(u_n(x)=\frac{1}{n\left(n x^2+1\right)}\).
(a) Trouver le domaine de définition de \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)\).
(b) Montrer que \(f\) est continue sur \(] 0,+\infty[\), et déterminer \(\lim f\) en 0 et en \(+\infty\).
(c) Montrer que \(f\) est intégrable sur \(] 0,+\infty[\).

2522

Soient \(\zeta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}\) et \(\zeta_2: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}\).
(a) Déterminer le domaine de définition de \(\zeta\) et celui de \(\zeta_2\). Montrer que ces fonctions sont continues.
(b) Déterminer la valeur de \(\zeta_2(1)\).
(c) Si \(s>1\), exprimer \(\zeta_2(s)\) en fonction de \(\zeta(s)\).

2796*

Soit \(f: x \mapsto \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^n}{x+n}\).
(a) Montrer que \(f\) est définie sur \(]-1,1[\).
(b) Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^{\infty}\) sur \(]-1,1[\).
(c) La fonction \(f\) est-elle intégrable sur l'intervalle \(]-1,0[\) ?
(d) Montrer que \(f\) est développable en série entière sur \(]-1,1[\).

2806*

Soit \(f: x \mapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^x \ln n}\). (a) Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité de \(f\). (b) Déterminer un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine.

Intégration terme à terme

2623

Soit, pour \((k, n) \in \mathbb{N}^2, u_{k, n}=\int_0^1|\ln t|^k t^{n-1 / 2} \mathrm{~d} t\).
(a) Justifier la définition de \(u_{k, n}\).
(b) Déterminer la limite de la suite de terme général \(u_{100, n}\).
(c) Montrer que la série de terme général \(u_{100, n}\) est convergente et donner une expression de sa somme.

3019

(a) Donner le développement en série entière au voisinage de l'origine de la fonction \(t \mapsto \frac{1}{1-t}\).
(b) On pose \(I=\int_0^1 \frac{(\ln t)^2}{t-1} \mathrm{~d} t\). Justifier la convergence de \(I\). Exprimer \(I\) en fonction de \(\zeta(3)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}\).

3043*

Soit \(f: x \mapsto \frac{\sin x}{e^x-1}\).
(a) Montrer que \(f\) est intégrable sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
(b) Montrer que \(\int_0^{+\infty} f=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1+n^2}\).

Série entière

3230*

Soit \(f: x \mapsto \sum_{n \geqslant 1} \tan \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) x^n\).
(a) Calculer le rayon de convergence \(R\) de la série entière définissant \(f\) puis étudier la convergence en \(\pm R\).
(b) Déterminer la limite en 1 de \(x \mapsto(1-x) f(x)\).

2671

Soit \(\sum_{n \geqslant 0} a_n z^n\) une série entière de rayon de convergence infini et de somme \(f\).
(a) Montrer que pour \(p \in \mathbb{N}\) et \(r \in \mathbb{R}_{+}\), on a \(\int_0^{2 \pi} f\left(r e^{i t}\right) e^{-i p t} \mathrm{~d} t=2 \pi a_p r^p\).
(b) On suppose \(f\) bornée sur \(\mathbb{C}\). Montrer qu'il existe \(M>0\) tel que \(\forall r \in \mathbb{R}_{+}^*\left|a_p\right| \leqslant \frac{M}{r^p}\). En déduire que \(f\) est une fonction constante.
(c) On suppose qu'il existe des réels \(a>0\) et \(b>0\), et un entier naturel non nul \(q\) tels que : \(\forall z \in \mathbb{C},|f(z)| \leqslant a|z|^q+b\). Montrer que \(f\) est une fonction polynomiale.
(d) On suppose que \(\forall z \in \mathbb{C},|f(z)| \leqslant \exp (\operatorname{Re} z)\). Montrer qu'il existe \(K \in \mathbb{C}\) tel que \(\forall z \in \mathbb{C}, f(z)=K \exp (z)\).

2799

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(a_n=\int_0^1\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^n \mathrm{~d} t\).
(a) Calculer \(a_0\) et \(a_1\). Déterminer la limite de \(\left(a_n\right)\).
(b) i. Étudier la monotonie de la suite \(\left(a_n\right)\). En déduire la nature de la série de terme général \((-1)^n a_n\).
ii. Montrer que \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n=2 \int_0^1 \frac{\mathrm{d} t}{3+t^2}\). En déduire la valeur de cette somme.
(c) Soit \(f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\).
i. Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, a_n \geqslant \frac{1}{2 n+1}\). En déduire le rayon de convergence \(R\) de la série entière \(\sum a_n x^n\).
ii. Montrer que \(f\) est solution d'une équation différentielle que l'on déterminera.

2838

On pose \(f: x \mapsto \int_0^\pi \sqrt{|1+x \cos t|} \mathrm{d} t\).
(a) Déterminer le domaine de définition de \(f\).
(b) Montrer que \(f\) est continue et paire sur ce domaine.
(c) Montrer que \(f\) est développable en série entière.