semaine 1
47
Calculer \(\arctan \left(\frac{1}{2}\right)+\arctan \left(\frac{1}{5}\right)+\arctan \left(\frac{1}{8}\right)\).
48
Déterminer les \(z \in \mathbb{C}\) tels que les points d'affixe \(1, z\) et \(1+z^2\) sont alignés.
111*
(a) Résoudre sur \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^n=1\).
(b) On note, pour tout \(k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, \omega_k=e^{2 i k \pi / n}\). Calculer \(P=\prod_{k=1}^{n-1} \frac{1-\omega_k}{1+\omega_k}\).
(c) Exprimer \(P\) en fonction de \(\prod_{k=1}^{n-1} \tan \frac{k \pi}{n}\).
77*
Définissons, pour tout \(z \in \mathbb{C}, \operatorname{ch}(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{2}, \operatorname{sh}(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\) et \(\operatorname{th}(z)=\frac{\operatorname{sh}(z)}{\operatorname{ch}(z)}\).
(a) Déterminer le domaine de définition de th.
(b) Résoudre \(\operatorname{th}(z)=0\).
(c) Résoudre le système \(|\operatorname{Im}(z)|<\frac{\pi}{2}\) et \(|\operatorname{th}(z)|<1\).
94
Trouver les racines de \(X^2-2 X+i\).
39
Déterminer le nombre de diviseurs de 36000000000 .
--
Résoudre dans \(\mathbb N^2\) \(\left\{\begin{aligned} x+y & =100 \\ \operatorname{pgcd}(x, y) & =10\end{aligned}\right.\)
système
Résoudre les systèmes linéaires suivants:
système
Résoudre les systèmes suivants :
inverse
Calculer l'inverse des matrices carrées suivantes: \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)\)
1061
Soit \(\varphi \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^3\right)\) dont la matrice dans la base canonique est
(a) Montrer que \(\mathbb{R}^3=\operatorname{Ker}\left(\varphi^2\right) \oplus \operatorname{Ker}(\varphi-2 \mathrm{id})\). (b) Déterminer une base dans laquelle la matrice de \(\varphi\) est
(c) Soit \(g \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^3\right)\) tel que \(g^2=\varphi\). Montrer que \(\operatorname{Ker}\left(\varphi^2\right)\) est stable par \(g\). En déduire qu'un tel \(g\) n'existe pas.
338
Pour tout \(P \in E=\mathbb{R}_n[X]\), on note \(\varphi(P)(X)=P(X+1)\).
(a) Déterminer la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique.
(b) Déterminer \(\varphi^{-1}\) ainsi que la matrice de \(\varphi^{-1}\) dans la base canonique.
680
Soit \(f: A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C}) \mapsto A^{\top} \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C})\). Calculer la trace de \(f\).
689
Soient \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C})\) et \(\Phi: M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C}) \mapsto M A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C})\).
(a) Déterminer le rang de \(\Phi\), la trace de \(\Phi\).
(b) Déterminer les éléments propres de \(\Phi\).
275*
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels de dimension finie. Soient \(f \in \mathscr{L}(E, F)\) et \(g \in \mathscr{L}(F, E)\) tels que \(f \circ g \circ f=f\) et \(g \circ f \circ g=g\).
(a) Montrer que \(\operatorname{Im} g\) et \(\operatorname{Ker} f\) sont supplémentaires dans \(E\).
(b) Soient \(A, B\) et \(C\) trois \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels de dimension finie, \(u \in \mathscr{L}(A, B)\) et \(v \in \mathscr{L}(B, C)\). Montrer que \(\operatorname{rg}(v \circ u) \leqslant \operatorname{rg}(v)\) et \(\operatorname{rg}(v \circ u) \leqslant \operatorname{rg}(u)\).
(c) Comparer \(\operatorname{rg}(f)\) et \(\operatorname{rg}(g)\).
(d) On suppose que \(\operatorname{dim} E=\operatorname{dim} F=\operatorname{rg} f=n\). Montrer que \(g \circ f=\mathrm{id}\). Que peut-on en déduire?
282
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(K_n=\operatorname{Ker} f^n\) et \(I_n=\operatorname{Im} f^n\). Soient \(K=\cup_{n \in \mathbb{N}} K_n\) et \(I=\cap_{n \in \mathbb{N}} I_n\).
(a) Montrer que \(K\) et \(I\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).
(b) On suppose qu'il existe \(q \in \mathbb{N}\) tel que \(I_q=I_{q+1}\). Montrer que \(\forall n \geqslant q, I_n=I_q\). Montrer un résultat analogue pour les \(K_n\).
(c) On suppose que \(E\) est de dimension finie. Montrer que \(E=K \oplus I\).
302
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(f \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^n\right)\).
(a) Montrer que \(\mathbb{R}^n=\operatorname{Im}(f) \oplus \operatorname{Ker}(f)\) si et seulement si \(\operatorname{rg}(f)=\operatorname{rg}\left(f^2\right)\).
(b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\operatorname{Im}(f)=\operatorname{Ker}(f)\).
305
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f+f^4=0\). Montrer que \(\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{Ker} f=E\).
311
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de \(E\). Montrer que \(|\operatorname{rg}(u)-\operatorname{rg}(v)| \leqslant \operatorname{rg}(u+v) \leqslant\) \(\operatorname{rg}(u)+\operatorname{rg}(v)\).
243
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(A=\left\{P \in \mathbb{R}_n[X], \sum_{k=0}^n P^{(k)}(1)=0\right\}\).
(a) Montrer que \(A\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_n[X]\). Déterminer sa dimension.
(b) Déterminer \(A \cap \operatorname{Vect}\left(1,(X-1)^k\right)\) pour \(k \in\{1, \ldots, n\}\).
(c) Donner une base de \(A\).
850
Soient \(A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ll}A & 2 A \\ A & 2 A\end{array}\right)\).
(a) La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
(b) Montrer que 0 est valeur propre de \(B\). Déterminer la dimension de \(\operatorname{Ker} B\).
(c) La matrice \(B\) est-elle diagonalisable?
1027
Soit
Déterminer la dimension de \(\left\{B \in \mathscr{M}_3(\mathbb{R}), A B=B A\right\}\).
259*
Soient \(x \in \mathbb{R}^n \backslash\{0\}\) et \(V=\left\{M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R}), \exists \lambda \in \mathbb{R}, M x=\lambda x\right\}\). Montrer que \(V\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\). Préciser sa dimension.
86
Montrer que le polynôme \(P_n=\sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k !}\) n'a que des racines simples.
85*
Soit \(P_n=X^{4 n}+X^{3 n}+X^{2 n}+X^n+1\).
(a) Trouver les racines de \(P_1\).
(b) Trouver les entiers \(n\) tels que \(P_1\) divise \(P_n\).
106*
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On pose \(P=1+2 X+3 X^2+\cdots+(n-1) X^{n-2}+n X^{n-1}+(n-1) X^n+\cdots+2 X^{2 n-3}+X^{2 n-2}\). Trouver les racines de \(P\) et le factoriser dans \(\mathbb{C}[X]\).
97
Montrer que \(\prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}\).