semaine 6

2327

Soit \(f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+x)} \mathrm{d} t\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_{+}^*\). Étudier les variations de \(f\). Calculer \(f(1)\).

2330

Soit \(F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\arctan (x t)}{1+t^2} \mathrm{~d} t\)

(a) Déterminer le domaine de définition de \(F\).

(b) Étudier la dérivabilité de \(F\). Donner une expression de \(F^{\prime}\).

(c) Donner une expression simple de \(F\).

2348

Soit \(f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^3+x^3}\)

(a) Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}_{+}\).

(b) Calculer \(f(0)\).

(c) Montrer que \(f\) admet une limite en \(+\infty\) et la déterminer.

2356

Soit \(f: t \mapsto \int_1^{+\infty} \frac{x^t}{\operatorname{ch} x} \mathrm{~d} x\)

(a) Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\).

(b) Calculer \(f(0)\).

(c) Soit \(n \in \mathbb{N}\) avec \(n \geqslant 2\). Montrer que l'équation \(f(t)=n\) admet une unique solution \(t_n\).

(d) Déterminer la limite de \(\left(t_n\right)\) puis la limite de \(\left(\frac{t_n}{\ln n}\right)\).

2551

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n=\int_0^{+\infty} \frac{t^n}{t^{n+2}+1} \mathrm{~d} t\). Justifier l'existence de \(I_n\) et déterminer la limite de \(\left(I_n\right)\).

2572

Soit \(f \in \mathscr{C}^0\left(\mathbb{R}_{+}^*, \mathbb{R}\right)\) telle que \(t \mapsto e^{-t} f(t)\) soit intégrable sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).

(a) Montrer que la suite de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln (n)\) converge. On note \(\gamma\) sa limite.

(b) Montrer que \(\int_0^n\left(1-\frac{t}{n}\right)^n f(t) \mathrm{d} t\) tend vers \(\int_0^{+\infty} e^{-t} f(t) \mathrm{d} t\) quand \(n\) tend vers l'infini.

(c) En déduire que \(\int_0^{+\infty} e^{-t} \ln (t) \mathrm{d} t=-\gamma\).

2626 *

Soit \(f: x \mapsto \int_1^{+\infty} \frac{t^{-x}}{1+t} \mathrm{~d} t\). Déteminer l'ensemble de définition de \(f\). Déterminer les limites de \(f\) en \(0^{+}\)et en \(+\infty\).

2676 *

Soit \(f: x \mapsto \int_0^1 e^{-x \ln \left(1+t^2\right)} \mathrm{d} t\).
(a) Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
(b) Trouver une relation entre \(f(n+1)\) et \(f(n)\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\).
(c) Pour \(n \in \mathbb{N}\), exprimer \(f(-n)\) sous forme de somme.
(d) Étudier les variations de \(f\).
(e) Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x \rightarrow+\infty\) et quand \(x \rightarrow-\infty\).

2672 *

Calculer \(f: x \mapsto \int_0^1 \frac{1-t}{\ln t} t^x \mathrm{~d} t\).

2714 *

Soit \(F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2+x} \mathrm{~d} t\). Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(] 0,+\infty[\). Limites et équivalents aux bornes de \(F\) ?