semaine 7

1475

On munit \(E=\mathscr{C}^0([0,1], \mathbb{R})\) de la norme infinie \(\forall f \in E,\|f\|_{\infty}=\max _{[0,1]}|f|\). Soit \(T \in \mathscr{L}(E, \mathbb{R})\). On suppose que \(\forall f \in E, f \geqslant 0 \Rightarrow T(f) \geqslant 0\). Montrer que \(T\) est lipschitzien.

1460

Soit \(E=\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\). Pour \(f \in E\), on pose \(\|f\|_{\infty}=\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|\) et \(\|f\|_2=\sqrt{\int_0^1 f^2}\). Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(F\) un sous-espace de \(E\) tel que (*) \(\forall f \in F,\|f\|_{\infty} \leqslant n\|f\|_2\).

(a) Montrer que \(F \neq E\).

(b) Montrer que \(F\) est de dimension finie \(\leqslant n^2\).

(c) Donner un exemple de sous-espace \(F\) de dimension \(n\) vérifiant \((*)\).

1461

Soient \(E=\mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R})\) et, pour \(f \in E, N(f)=\left(f(0)^2+\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}\).

(a) Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\).

(b) La norme \(N\) et la norme préhilbertienne canonique sont-elles équivalentes sur \(E\) ?

1468

Soit \(E=\mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R})\). Si \(f \in E\), on pose \(\|f\|_2=\sqrt{\int_0^1 f^2}\) et \(\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in[0,1]}|f(t)|\).

(a) Montrer que ||\(_2\) est une norme sur \(E\). Soit \(\alpha \in[0,1]\) et \(\Phi: f \in E \mapsto f(\alpha) \in \mathbb{R}\). L'application \(\Phi\) est-elle continue pour la norme ||\(_2\) ?

(b) Existe-t-il \(C>0\) tel que \(\forall f \in E,\|f\|_{\infty} \leqslant C\|f\|_2\) ?

(c) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Existe-t-il \(C>0\) tel que \(\forall P \in \mathbb{R}_n[X],\|P\|_{\infty} \leqslant C\|P\|_2\) ?

1489

Soit \(n \geqslant 2\). Montrer qu'il n'existe pas de norme sur \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) invariante par similitude.

1498

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que la suite \(\left(A^p\right)_{p \geqslant 1}\) converge vers \(B\). Montrer que \(B\) est diagonalisable.

1509

Soit \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{Z})\) telle que \(4 A^3+2 A^2+A=0\).

(a) Montrer que pour tout \(P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\), l'application \(M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C}) \mapsto P^{-1} M P\) est continue.

(b) Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont de module \(\leqslant \frac{1}{2}\). En déduire que \(\lim _{k \rightarrow+\infty} A^k=0\).

(c) Montrer que toute suite d'entiers relatifs qui converge est stationnaire.

(d) Montrer que \(A\) est nilpotente. Que peut-on alors dire de \(A\) ?

1515

(a) Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Montrer que \(F\) est un fermé.

(b) Soit \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C})\). On note \(\exp _p(A)=\sum_{k=0}^p \frac{A^k}{k !}\). Montrer que la suite \(\left(\exp _p(A)\right)_{p \in \mathbb{N}}\) converge. On notera \(\exp (A)\) sa limite.

(c) Montrer que \(\exp (A)\) est un polynôme en \(A\).

(d) Existe-t-il un polynôme \(P \in \mathbb{C}[X]\) tel que \(\forall A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C}), \exp (A)=P(A)\) ?

1656*

Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de \(\mathbb{R}^2\). On pose \(A+B=\{a+b, a \in A\) et \(b \in B\}\).

(a) On suppose \(A\) ouverte. Montrer que \(A+B\) est ouverte.

(b) Si \(A\) et \(B\) sont fermées, a-t-on forcément \(A+B\) fermée?

1668*

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(A\) un fermé de \(E, k \in[0,1[\) et \(f: A \rightarrow A\) une fonction \(k\)-lipschitzienne.
(a) Montrer que \(f\) admet au plus un point fixe.
(b) On considère la suite \(\left(u_n\right)_n\) définie par \(u_0 \in A\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que la série de terme général \(\left\|u_{n+1}-u_n\right\|\) converge.
(c) En déduire que la suite \(\left(u_n\right)_n\) converge. On note \(\ell\) sa limite.
(d) Montrer que \(\ell \in A\) et que \(f(\ell)=\ell\). En déduire que \(f\) admet un unique point fixe.

1675*

Définissons, pour \(P \in \mathbb{R}[X], N_1(P)=\sum_{k=0}^{+\infty}\left|P^{(k)}(0)\right|, N_2(P)=\sup _{t \in[-1,1]}|P(t)|\).
(a) Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes sur \(\mathbb{R}[X]\).
(b) On pose, pour tout \(n \in \mathbb{N}, P_n=\frac{1}{n} X^n\). Étudier la convergence de la suite \(\left(P_n\right)\) pour les normes \(N_1\) et \(N_2\).

1729*

Déterminer les matrices \(A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) telles que les suites \(\left(A^n\right)_n\) et \(\left(A^{-n}\right)_n\) soient bornées.