TD S1
1 (BEOS 5763)
Soit \(\ds A=\left(\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)\) et, pour tout \(\ds n, u_n=\operatorname{Tr}\left(A^n\right)\).
-
Trouver une relation vérifiée par la suite \(\ds \left(u_n\right)\).
-
Étudier la série \(\ds \Sigma\left(1 / u_n\right)\).
2 (BEOS 2487)
On considère la suite définie par \(\ds u_0 \in \mathbb{R}\) et \(\ds u_n=(-1)^n \frac{\cos u_{n-1}}{n}\) pour tout \(\ds n \geqslant 1\). Déterminer la nature de la série de terme général \(\ds u_n\).
3 (BEOS 8689)
Soit \(a>0\), déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=\arctan (n+a)-\arctan (n)\). On pourra utiliser l'inégalité des accroissements finis.
4 (BEOS 7538)
Pour \(\ds n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(\ds u_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k \sqrt{k}\).
1. Montrer que : \(\ds u_{2 n}=\sum_{\ell=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \ell}+\sqrt{2 \ell-1}}\).
2. En déduire que \(\ds u_{2 n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{\sqrt{2 n}}{2}\).
3. Déterminer un équivalent simple de \(\ds u_n\) quand \(\ds n\) tend vers \(\ds +\infty\).
4. Pour \(\ds n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(\ds v_n=u_n+u_{n+1}\). Justifier que la série \(\ds \sum_{n \geqslant 1}\left(v_{n+1}-v_n\right)\) est convergente de somme strictement négative.
5. Trouver la nature de \(\ds \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{u_n}\).
Je propose ici un corrigé pour la dernière question. On a montré que \(u_{2n}\sim\frac{\sqrt{2n}}{2}\). P Posons \(v_n=u_{2n}-\frac{\sqrt{2n}}{2}\). On a alors :
On peut donc affirmer par comparaisons que la série \(\sum v_{n+1}-v_n\) et donc la suite \(v_n\) converge vers une limite \(\alpha\). Par ailleurs, par définition du \(O(\cdot)\), il existe \(m\) et \(M\) des réels et \(n_0\) un entier tels que à partir du rang \(n_0\), on a \((k>n_0)\) : \(\frac m{k^{3/2}}\le v_{k+1}-v_k\le \frac M{k^{3/2}}\). Tous ces termes sont des termes de séries convergentes. On somme alors de \(n\) à \(+\infty\) : \(m\sum_{k=n}^{+\infty}\frac 1{k^{3/2}}\le \alpha-v_n\le M{k=n}^{+\infty}\frac 1{k^{3/2}}\).
Or par comparaison série/intégrale, on montre que \({k=n}^{+\infty}\frac 1{k^{3/2}}=O(\frac 1{\sqrt n})\) et on en déduit que \(\alpha-v_n=O(\frac 1{\sqrt n})\). On peut alors écrire : \(u_{2n}=\frac{\sqrt {2n}}{2}+\alpha+O(\frac 1{\sqrt {2n}})\). En utilisant \(u_{2n+1}=u_{2n}-\sqrt{2n+1}\) on a \(u_{2n+1}=-\frac{\sqrt {2n+1}}2+\alpha+O(\frac 1{\sqrt{2n+1}})\). Le cas général est donc :
et :
Le premier terme converge, le second diverge et le dernier est absolument convergent : la série \(\sum\frac 1{u_n}\) est donc divergente.
5 (BEOS 4360)
Étudier la convergence de la série de terme général : \(\ds u_n=\frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}}{n^{1 / 4}}\).
6 (BEOS 8696)
Soit \(k \in \mathbb{N}, k>1\). Déterminer la limite de \(u_n=\sum_{p=n+1}^{k n} \frac{1}{p}\).
7 (RMS23 1340)
Pour \(\ds n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(\ds a_n=\sum_{k=1}^n(\ln k)^2\). Déterminer un équivalent de \(\ds a_n\) en \(\ds +\infty\), et la nature de la série \(\ds \sum \frac{1}{a_n}\).
8 (RMS23 1293)
Nature de la série de terme général \(\ds z_n=\sqrt{(n-1)!} \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)\) ?
On étudie \(\ln(z_n)\).
Or :
Posons \(v_n=\ln(\sqrt k\sin(\frac 1{\sqrt k}))+\frac 1{6k}\). Alors \(v_n=O(\frac 1{k^2})\) et la série \(\sum v_n\) converge. Notons $\alpha sa limite. On a donc :
Par ailleurs, \(\sum_{k=1}^n \frac 1{6n} = \ln(n)+\gamma+o(1)\) où \(\gamma\) est la constante d'Euler (ce n'est pas au programme, mais ça s'appelle de la culture... et certains interrogateurs pourraient exiger que vous en ayez). On a alors :
et donc \(\ln(z_n)=-\ln(n)+\beta+o(1)\). On en déduit \(z_n=\exp(-\ln(n)+\beta+o(1))\sim\frac {e^\beta}n\). Par comparaison des sries à termes positifs, \(\sum z_n\) diverge.
9 (RMS23 1572)
Nature de la série de terme général \(\ds u_n=\frac{(-1)^n}{(-1)^n+\ln (n) \sqrt{n}}, n \geqslant 1\).
10 (RMS23 1653)
Pour tout \(\ds n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(\ds H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\) et \(\ds u_n=\frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2}\).
a) Trouver \(\ds a, b, c \in \mathbb{R}\) tels que \(\ds \forall n \in \mathbb{N}^*, \frac{1}{n(n+1)(2 n+1)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}+\frac{c}{2 n+1}\)
b) Montrer que \(\ds \forall n \in \mathbb{N}^*, \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\). En déduire la nature de \(\ds \sum u_n\).
c) À l'aide d'une comparaison somme-intégrale, montrer que \(\ds H_{2 n}-H_n \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \ln (2)\).
d) Exprimer \(\ds \sum_{j=1}^n \frac{1}{2 j+1}\) à l'aide de \(\ds H_n, H_{2 n}\) et \(\ds n\).
e) Calculer \(\ds \sum_{n=1}^{+\infty} u_n\).
11 (RMS23 1656)
Soit \(\ds (a, b) \in \mathbb{R}^2\). Pour tout \(\ds n \in \mathbb{N}\), on pose \(\ds u_n=\sqrt{n}+a \sqrt{n+1}+b \sqrt{n+2}\).
a) Trouver \(\ds \alpha\) tel que \(\ds u_n=(1+a+b) \sqrt{n}+\frac{\alpha}{\sqrt{n}}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n \sqrt{n}}\right)\).
b) Trouver les couples \(\ds (a, b)\) tels que la série \(\ds \sum u_n\) converge.
12 (RMS 1657)
Pour tout \(\ds n \geqslant 2\), on pose \(\ds a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
a) Quelle est la nature de la série \(\ds \sum \ln \left(1+a_n\right)\) ?
b) Calculer \(\ds \lim _{n \rightarrow+\infty} \prod_{k=2}^n\left(1+a_k\right)\).