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TD S14 Espaces normés et applications

1 BEOS ?

Soit \(E=\mathbb{C}[X], P=\sum_{k \in \mathbb{N}} a_k X^k \in E\). On définit la norme ॥. ॥ par: \(\forall P \in E,\|P\|=\sup _{k \in \mathbb{N}}\left|a_k\right|\). Soit \(b \in \mathbb{N}\), on définit l'application \(f: \left\lvert\, \begin{array}{lll}E & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ P & \longmapsto & P(b)\end{array}\right.\)
1. Montrer que \(f\) est linéaire.
2. Etudier la continuité de f.

2 BEOS ?

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(A(a)=\left(\begin{array}{cccc}0 & -1 & \ldots & -1 \\ a & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ a & \ldots & a & 0\end{array}\right)\) et \(U=((1))\) (la matrice constituée de 1 ), deux éléments de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

  1. Calculer \(\operatorname{det}(A(-1))\).
  2. On note \(P(x)=\operatorname{det}(A(a)+x U)\). Montrer que \(P\) est polynomial de degré inférieur ou égal à 1 .
  3. Calculer \(P(-a)\) et \(P(1)\). En déduire \(\operatorname{det}(A(a))\).
  4. Question supplémentaire : Étudier la continuité de \(a \mapsto \operatorname{det}(A(a))\) et retrouver la valeur \(\operatorname{de} \operatorname{det}(A(-1))\).

3 RMS1079

a) Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})\). Montrer que \(\{Q(A), Q \in \mathbb{C}[X]\}\) est un fermé.
b) Soient \(Q \in \mathbb{C}[X]\) non constant et \(B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) diagonalisable. Montrer qu'il existe \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) tel que \(B=Q(A)\).
c) Soit \(Q \in \mathbb{C}[X]\) non constant. Montrer que \(\left\{Q(A), A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})\right\}\) est dense dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).

4 RMS1081

Soit \(f\) définie sur \(E=\mathcal{S}_2(\mathbb{R})\) par \(f: M \in E \mapsto\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\) où \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) sont les valeurs propres de \(M\) avec \(\lambda_1 \geqslant \lambda_2\). Étudier la continuité de \(f\).

5 BEOS8343

Soit \(\Omega=\left\{A \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{C}):\left(I_n, A, \ldots, A^{n-1}\right)\right.\) soit libre \(\}\). On pourra étudier la matrice \(\left(<A^i,A^j>\right)_{0\le i\le n-1}\). 1. Montrer que \(\Omega\) est un ouvert de \(\in \mathfrak{M}_n(\mathbb{C})\).
2. Étudier la convexité de \(\Omega\).

6 RMS462

On pose : \(E=\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(F=\left\{P \in E, P=P^T=P^2\right\}\). Soit \((P, Q) \in F^2\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe \(f:[0,1] \rightarrow F\) continue telle que \(f(0)=P\) et \(f(1)=Q\).

7 RMS1291

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On munit \(\mathbb{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(K \in \mathbb{R}^n\) un convexe fermé non vide. Soit \(x \notin K\). On pose \(f: z \in K \mapsto\|z-x\|\).
a) Montrer que, si \(a, b \in K,\left\|x-\frac{a+b}{2}\right\|^2+\frac{1}{4}\|a-b\|^2=\frac{1}{2}\left(\|x-a\|^2+\|x-b\|^2\right)\)
b) Montrer que \(f\) est continue.
c) Soient \(z_0 \in K\) et \(B_0\) la boule fermée de centre \(z_0\) et de rayon \(\left\|z_0-x\right\|, K_0=K \cap B_0\).
Montrer que \(f\) admet un minimum sur \(K_0\). On note \(\widetilde{z}\) tel que \(f(\widetilde{z})=\min _{z \in K_0} f(z)\)
d) Montrer que \(\forall z \in K,\|z-x\| \geqslant\|\widetilde{z}-x\|\)
e) En déduire que \(f\) admet un minimum sur \(K\) atteint en un unique point.

8 BEOS1331

Soit E l'espace des suites à valeurs réelles convergeant vers 0 , on définit \(\| .| |\) une application qui à \(u \in E\) associe sup \({ }_{n \in \mathbb{N}|u n|}\)
1) a)Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites à valeurs réelles
b) Montrer que II.|| est bien une norme sur E
2) Soit \(\mathrm{u} \in E\), montrer que \(\sum \frac{u_n}{2^{n+1}}\) converge
3) Soit f , qui à \(\mathrm{u} \in E\) associe \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{2^{n+1}}\), montrer que f est continue

9 BEOS8079

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\).
1.a) Rappeler la définition de \(\left\|\left|\|| |\right.\right.\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).
b) On note \(\rho(A)=\max _{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)}|\lambda|\). L'application \(A \mapsto \rho(A)\) est-elle une norme ?
2. Montrer que \(\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \forall k \in \mathbb{N}^*, \rho(A) \leqslant\left\|A^k\right\|^{1 / k}\).
3. Soit \(N\) une norme quelconque sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).
Montrer que \(\rho(A)=\lim _{k \rightarrow+\infty}\left[N\left(A^k\right)\right]^{\frac{1}{k}}\).

10 BEOS6838

  1. Donner la norme euclidienne habituelle sur \(\mathbb{R}^n\). Existe-t-il d'autres normes euclidiennes sur \(\mathbb{R}^n\) ? Dans la suite, la norme euclidienne habituelle sur \(\mathbb{R}^n\) est notée \(\|\|\). La sphère unité correspondante est notée \(S\).
  2. Soit \(f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^n\right)\). Montrer que la fonction \(x \mapsto\|f(x)\|\) admet un maximum sur \(S\). Ce maximum est noté \(\|f\|\).
  3. Pour tout couple \((f, g)\) d'éléments de \(\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^n\right)\), prouver l'inégalité \(\|f \circ g\| \leqslant\|f\| \times\|g\|\).
  4. Soit \(f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^n\right)\) tel que \(\|f\|<1\). Montrer que la série \(\sum_{k \geqslant 0} f^k\) est convergente et que sa somme est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\).

11 BEOS2084

On considère une matrice \(A\) symétrique réelle. On note \(p(A)=\max _{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)}|\lambda|\).
1) Prouver que \(\forall k \in \mathbb{N}^*, p\left(A^k\right)=p(A)^k\).
2) Montrer que \(A \mapsto p(A)\) définit une norme sur \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\).
3) Soient \(A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) telles que \(A B=B A\),
a) Montrer que \(A B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\).
b) Montrer que \(p(A B) \leqslant p(A) \times p(B)\).
4) Soit ||. || une norme vérifiant:

\[ \forall A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}), A B=B A \Longrightarrow\|A B\| \leqslant\|A\| \times\|B\| \]

Montrer que \(\forall A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}),\|A\| \geqslant p(A)\). (autrement dit, \(p\) est la plus petite norme vérifiant la propriété (1)).