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Equations différentielles

RMS24-962

On note \((E)\) l'équation différentielle \(x(1-x) y^{\prime \prime}+(1-3 x) y^{\prime}-y=0\).
a) Déterminer les solutions de \((E)\) non nulles développables en série entière. Préciser le rayon de convergence.
b) Déterminer l'ensemble des solutions de \((E)\) sur un intervalle raisonnable (on pourra chercher une solution sous la forme \(f(x)=\frac{a(x)}{1-x}\) (inspiration variation de la constante)).
c) Les raccorder entre elles.

RMS24-963

  1. On note \((E)\) l'équation différentielle \(x^2 y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=2(1+x)\).
    a) Trouver les solutions de l'équation homogène associée de la forme \(x \mapsto x^\alpha\), où \(\alpha \in \mathbb{R}\).
    b) Trouver une solution particulière de \((E)\), d'abord sur \(] 0,+\infty[\), puis sur \(]-\infty, 0[\).
    Ind. On la cherchera sous la forme \(x \alpha(x)+x^2 \beta(x)\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) telles que \(x \alpha^{\prime}(x)+x^2 \beta^{\prime}(x)=0\).
    c) L'équation \((E)\) admet-elle des solutions sur \(\mathbb{R}\) ?

RMS24-968

  1. a) Résoudre \(\left(1-t^2\right) y^{\prime \prime}-2 t y^{\prime}=0\) sur \(\left.I=\right]-1,1[\).
    b) Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). On pose \(g(x, y)=f\left(\frac{\cos (2 x)}{\operatorname{ch}(2 y)}\right)\).

Déterminer l'ensemble des fonctions \(f\) telles que \(g\) soit non constante et de laplacien nul, c'est-à-dire telles que \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(x, y)+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}(x, y)=0\).

RMS24-1487

  1. [CCINP] Soient \(E=\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}), P\) (resp. \(I\) ) le sous-espace des fonctions paires (resp. impaires) de \(E\).
    a) Montrer que \(E=P \oplus I\).
    b) Résoudre l'équation différentielle \(y^{\prime \prime}-y=\operatorname{ch} x\).
    c) Trouver les fonctions \(f \in E\) telles que \(f^{\prime \prime}(x)-f(-x)=\operatorname{ch} x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

RMS24-1575

  1. [CCINP] On considère l'équation différentielle \((E): t^2 y^{\prime \prime}+t y^{\prime}+y=\frac{1}{t}+t \operatorname{sur} \mathbb{R}^{+*}\).
    a) Énoncer le théorème de Cauchy linéaire.
    b) On pose \(g: x \mapsto f\left(e^x\right)\). Montrer que \(f\) est solution de \((E)\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\) si et seulement si \(g\) est solution d'une équation différentielle du second ordre que l'on déterminera.
    c) Déterminer l'ensemble des solutions de \((E)\).

RMS24-1577

  1. [CCINP] Soient \(A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)\) et \((S)\) le système différentiel \(X^{\prime}=A X\).
    a) Montrer que \(A\) est diagonalisable.
    b) Expliciter \(P\) et \(D\) telles que \(A=P D P^{-1}\).
    c) On note \(U=P^{-1} X\). Déterminer le système différentiel vérifié par \(U\) et le résoudre.

Déterminer alors les solutions de \((S)\).
d) Soit \(\left(S^{\prime}\right)\) le système différentiel \(X^{\prime \prime}=A X\). Déterminer les solutions réelles de \(\left(S^{\prime}\right)\).
e) Soit \(E\) l'ensemble des solutions réelles bornées de \(\left(S^{\prime}\right)\). Montrer que \(E\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.

RMS24-1639

  1. [ENSEA] Résoudre \(y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=e^t \sin t\).