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3383
Soient \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) un espace probabilisé et \(N\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p \in] 0,1[\). On lance une pièce équilibrée \(N\) fois. Soit \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenus.
(a) Donner la loi conditionnelle de \(X\) sachant que \(\left(N=n_0\right)\).
(b) Soit \(f: x \mapsto \sum_{n=k}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) x^n\). Donner le rayon de convergence de cette série entière et calculer \(f(x)\) pour \(x\) appartenant à son intervalle ouvert de convergence.
(c) Déterminer la loi de \(X\).
3348
Soient \(p \in \mathbb{N}^*, U_0, \ldots, U_p\) des urnes. On suppose que l'urne \(U_k\) contient \(k\) boules blanches et \(p-k\) boules noires. On choisit une urne au hasard, on tire dans cette urne \(n\) boules avec remise; on note \(N_p\) le nombre de boules blanches tirées. Déterminer la loi de \(N_p\).
(a) Déterminer la loi de \(N_p\) et l'espérance de \(N_p\).
(b) Soit \(k \in\{0, \ldots, n\}\). Montrer que \(P\left(N_p=k\right) \rightarrow\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \int_0^1 x^k(1-x)^{n-k} \mathrm{~d} x\) quand \(\mathrm{p} \rightarrow+\infty\).
(c) En déduire la limite en loi de \(\left(N_p\right)_p \geqslant 1\). En d'autres termes, trouver une variable aléatoire \(Y\) à valeurs dans \(\{0, \ldots, n\}\) telle que \(\forall k \in\{0, \ldots, n\}, \lim _{p \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(N_p=k\right)=\mathbb{P}(Y=k)\).
3314
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur \(\{1, \ldots, n\}\). Déterminer la loi de \(X+Y\).
3329
Un questionnaire comporte 20 questions. Pour chaque question, \(k\) réponses sont possibles dont une seule est bonne. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.
(a) Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus par le candidat à ce questionnaire. Déterminer la loi de \(X\).
(b) Pour chaque question, si le candidat s'est trompé, il a droit à une seconde chance et peut choisir une autre réponse parmi celles qui restent. II gagne alors \(\frac{1}{2}\) point en cas de bonne réponse. Soit \(Y\) le nombre de \(\frac{1}{2}\) points obtenus, déterminer la loi de \(Y\).
(c) Déterminer \(k\) pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20 .
3361*
Soient \(X_1, \ldots, X_n\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p\). On pose \(U=\left(\begin{array}{c}X_1 \\ \vdots \\ X_n\end{array}\right)\) et \(M=U^{\mathrm{t}} U\)
(a) Déterminer la loi de probabilité de \(\operatorname{rg}(M)\) et de \(\operatorname{tr}(M)\).
(b) Quelle est la probabilité que \(M\) soit une matrice de projection?
(c) On suppose \(n=2\). Soit \(V=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\) et \(S={ }^t V M V\). Déterminer \(E(S)\) et \(V(S)\).
3374
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre \(p \in] 0,1[\). Soit \(Z=\) \(\max \{X, Y\}\). Déterminer l'espérance de \(Z\).
3395
Soient \(X \hookrightarrow \mathscr{P}(\lambda)\) et \(Y \hookrightarrow \mathscr{P}(\mu)\), indépendantes. On pose \(Z=X+Y\).
(a) Déterminer la loi de \(Z\).
(b) Pour \(k \in \mathbb{N}\) et \(n \in \mathbb{N}^*\), calculer \(P(X=k \mid Z=n)\).
(c) En déduire la loi de \(X\) sachant \((Z=n)\).
3441
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p \in] 0,1\left[\right.\). On définit \(f_Z: x \mapsto x^Z \sin \left(\frac{Z}{x}\right)\). Déterminer la probabilité que \(f\) soit de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).
3942 *
Trois individus \(A_1, A_2\) et \(A_3\) se présentent dans un bureau de poste comportant deux guichets. Les individus \(A_1\) et \(A_2\) sont pris en charge dès leur arrivée, \(A_3\) doit attendre que \(A_1\) ou \(A_2\) ait fini pour passer à son tour au guichet. Le temps passé au guichet par \(A_i\) est noté \(X_i(1 \leqslant i \leqslant 3)\); on suppose que chaque \(X_i\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\). On note \(Y\) le temps d'attente de \(A_3\) avant son passage au guichet.
(a) Pour \(k \in \mathbb{N}\), déterminer \(P(Y>k)\). Donner la fonction de répartition de \(Y\).
(b) Soit \(Z\) le temps total passé par \(A_3\) à la poste. Donner la loi de \(Z\).
(c) Déterminer le temps moyen passé par \(A_3\) à la poste.
3945 *
Soit ( \(X, Y\) ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}^2\). On suppose qu'il existe \(c \in \mathbb{R}\) telle que, pour \((i, j) \in \mathbb{N}^2\), \(P(X=i, Y=j)=\frac{c(i+j)}{i!j!2^{i+j}}\).
(a) Calculer \(c\).
(b) Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\). Sont-elles indépendantes?
(c) Calculer la loi conditionnelle de \(Y\) selon \((X=k)\).
(d) Déterminer l'espérance de \(2^{X+Y}\).
3989 *
Trois enfants \(A, B\) et \(C\) jouent à la balle :
- \(A\) envoie la balle à \(B\) avec une probabilité de \(\frac{3}{4}\) et à \(C\) avec une probabilité de \(\frac{1}{4}\);
- \(B\) envoie la balle à \(A\) avec une probabilité de \(\frac{3}{4}\) et à \(C\) avec une probabilité de \(\frac{1}{4}\);
- \(C\) envoie toujours la balle à \(B\).
On note \(a_n, b_n\) et \(c_n\) les probabilités que \(A, B\) ou \(C\) ait la balle à la \(n\)-ième étape.
(a) Exprimer \(a_{n+1}, b_{n+1}\) et \(c_{n+1}\) en fonction de \(a_n, b_n\) et \(c_n\).
(b) Trouver une matrice \(M\) telle que
(c) Déterminer la limite de \(\left(a_n, b_n, c_n\right)\) quand \(n \rightarrow+\infty\) et montrer que cette limite est indépendante des conditions initiales.
3870 *
Soit \(Y\) une variable à valeurs dans \(\mathbb{Z}\) telle que \(P(Y=k)=P(Y=-k)\) pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), et que \(|Y|\) suive une loi de Poisson. On pose
(a) Donner la loi du rang de \(A\).
(b) Calculer la probabilité que \(A\) soit diagonalisable.