TD S12 Endomorphismes des espaces euclidiens
1 RMS457
Donner une condition sur \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) pour que l'application qui à \(U=\left(u_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})\) associe \(\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} a_{i, j} u_{i, j}\) atteigne son maximum en un unique \(U\).
Commençons par le cas où \(A\) est diagonale, de coefficients diagonaux \(\lambda_i\). On a alors :
en utilisant le fait que \(u\in O_n\) et donc pour tout \(i,j\), \(|u_{ij}|\le 1\). On remarque par ailleurs que cette valeur majorante est atteinte pour \(u_{ii}=sign(\lambda_i)\) où on pose \(sign(\lambda_i)=1\) si \(\lambda_i\ge 0\) et \(sign(\lambda_i)=-1\) si \(\lambda_i<0\). Dans ce cas, \(U\) étant orthogonale, les autres coefficients sont nuls. On a trouvé UNE matrice où ce maximum est atteint.
On cherche donc sous quelles condition ce maximum est atteint pour une seule matrice \(U\). Soit \(u\) une telle matrice, on veut \(\sum_{i}|\lambda_i=\sum_i\lambda_i u_{ii}\sum_i\lambda_isign(\lambda_i)u_{ii}\). On en déduit que \(\sum_i|\lambda_i|(1-sign(\lambda_i)u_{ii})=0\). Or \(1-sign(\lambda_i)u_{ii}\ge 0\) car \(U\) est orthogonale. On a donc une somme de termes positif qui est nulle : soit \(\lambda_i=0\) soit \(1-sign(\lambda_i)u_{ii}=0\). On se place dans le cas où tous les \(\lambda_i\) sont non nuls. On a alors pour tout \(i\), \(u_{ii} = sign(\lambda_i)\) et on a unicité de \(U\). Sinon, posons \(sign_+(\lambda_i)=\begin{cases}1\text{ si }\lambda_i\ge 0\\-1\text{ sinon}\end{cases}\) et \(sign_-(\lambda_i)=\begin{cases}1\text{ si }\lambda_i< 0\\-1\text{ sinon}\end{cases}\).
On pose \(U_+\) définie par \((U_+)_{ii}=\sign_+(\lambda_i)\) et \((U_-)_{ii}=\sign_-(\lambda_i)\). Alors on montre que \(\sum_{i,j}a_{ij}u_{ij}=\sum_{i,j}a_{ij}u_{ij}=\sum_i|\lambda_i|\). On n'a donc pas unicité. On a donc montré que le max est atteint une unique fois si et seulement si les \(\lambda_i\) sont non nuls.
Pour le cas général, si \(A\) est symétrique réelle, alors \(A\) est diagonalisable dans une base orthonormée. Posons \(A=P^\top DP\) avec \(D\) diagonale réelle. On remarque que, pour \(U\) orthogonale, \(\sum_{i,j}a_{ij}u_{ij}=\mathrm{tr}(AU)=\mathrm{tr}(P^\top DPU)=\mathrm{tr}(D(PUP^\top))\). Or \(\{PUP^\top,U\in O_n\}=O_n\) (par l'automorphisme \(U\mapsto PUP^\top\)). On en déduit que \(\max_U(\mathrm{tr}(D(PUP^\top)),U\in O_n)=\max_U(\mathrm{tr}(DU))\) qui est atteint une unique fois si et seulement si les \(\lambda_i\) sont non-nuls. Cette condition se traduit par aiileurs par «\(A\) inversible».
2 RMS657
Soit \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\). Montrer que \(\left(\sum_{i=1}^n a_{i, i}\right)^2 \leqslant \operatorname{rg}(A) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i, j}^2\).
3 RMS947
a) Soient \(A, B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\).
i) Montrer qu'il existe une matrice \(C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et une seule telle que \(A C+C A=B\).
ii) Montrer que \(C\) est symétrique et à spectre inclus dans \(\mathbb{R}^{+*}\).
b) On prend \(n=2\). Montrer qu'il existe \(C, A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) avec \(A C+C A\) à spectre non inclus dans \(\mathbb{R}^{+*}\).
4 BEOS6817
Soit \(a_1, \ldots, a_n n\) réels non tous nuls. On pose :
- Montrer que \(A\) est diagonalisable.
- Quel est le rang de \(A\) ? Que peut-on en déduire sur son spectre ?
- Calculer \(A^2\). En déduire le spectre et le polynôme caractéristique de \(A\).
5 BEOS8318
Soit \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(M M^{\top}=M^{\top} M\) et \(M^2+2 I_2=0\).
1. Montrer que \(M^{\top} M\) est diagonalisable.
2. Montrer que \(\operatorname{Sp}\left(M^{\top} M\right) \subset\{-2,2\}\).
3. Montrer que \(\forall \lambda \in \operatorname{Sp}\left(M^{\top} M\right), \lambda \geqslant 0\). En déduire \(\operatorname{Sp}\left(M^{\top} M\right)\).
4. Montrer que \(\frac{1}{\sqrt{ } 2} M\) est orthogonale.
5. Montrer que \(\frac{1}{\sqrt{ } 2} M\) est la matrice d'une rotation d'angle \(\theta\) à déterminer.
6. Déterminer toutes les matrices \(M\) possibles.
6 BEOS5251
Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(A=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{ccc}-a & 4+a & -(1+a) \\ 4+a & 1+a & a \\ 1+a & -a & -(4+a)\end{array}\right)\).
1) Condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que \(A\) appartienne à \(\mathrm{SO}_3(\mathbb{R})\).
2) Quel est l'endomorphisme associé à \(A\) dans ce cas ?
7 BEOS5034
Soit \(M \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \({ }^t M M=M^t M, M^3=I_n\) et \(M \neq I_n\).
1) Montrez que \(M\) est orthogonale.
2) Soit \(n=3\). Donnez toutes les valeurs possibles de \(M\).
8 BEOS6063
Soit \(H=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\).
- \(H\) est-elle diagonalisable?
- Si \((a, b) \in \mathbb{R}^2\), on pose : \(R(a, b)=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)\), notée plus simplement \(R\).
Exprimer \(R\) en fonction de \(H\) et \(I_3\). La matrice \(R\) est-elle diagonalisable ?
3. On pose \(u_n=\operatorname{Tr} H^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que la suite \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est à valeurs entières et diverge.
4. On pose \(v_n=\operatorname{Tr} R^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Peut-on trouver \(a\) et \(b\) tels que la suite \(\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge ?
9 RMS946
Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(A^T=A^2\).
a) Montrer que \(A^T A\) est semblable à une matrice diagonale \(D\). Quel est le nombre de possibilités pour \(D\) ?
b) Montrer que \(A\) est orthogonalement semblable à une des matrices suivantes :
10 RMS1069
Soient \(X \in \mathbb{R}^n\) non nul et \(A\) une matrice symétrique définie positive. Montrer que la suite de terme général \(\frac{\left\langle A^{k+1} X, X\right\rangle}{\left\langle A^k X, X\right\rangle}\) converge vers une valeur propre de \(A\).