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TD S11 Espaces Euclidiens (programme de sup)

1 RMS2023 942

Soit \(E=\mathbb{R}_3[X]\). On pose, pour \(i \in \llbracket 0,3 \rrbracket: L_i=\prod_{k \in \llbracket 0,3 \rrbracket \backslash\{i\}} \frac{X-k}{i-k}\).
a) Calculer \(L_i(j)\) pour \(j \in \llbracket 0,3 \rrbracket\). Montrer que \(\left(L_0, L_1, L_2, L_3\right)\) est une base de \(E\).
b) Soit \(\phi:(P, Q) \in E^2 \mapsto \sum_{k=0}^3(P(k)+P(k+1))(Q(k)+Q(k+1))\). Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.
c) Trouver une base orthonormale pour ce produit scalaire.

2 RMS2023 945

Calculer \(\inf _{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3} \int_{-1}^1\left(t^4-a t^2-b t-c\right)^2 \mathrm{~d} t\).

3 RMS2023 1327

Soient \((E,\langle\rangle)\) un espace euclidien et \(p \in \mathcal{L}(E)\) un projecteur. Montrer que \(\forall x \in E\), \(\|p(x)\| \leqslant\|x\|\) si et seulement si \(p\) est un projecteur orthogonal.

4 BEOS6090

  1. Montrer que \((\cdot \mid \cdot): \quad \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \times \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \quad \longrightarrow \quad \mathbb{R}\)
\[ (f, g) \longmapsto \int_0^1 x^2 f(x) g(x) \mathrm{d} x \]

est un produit scalaire sur \(\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\).
2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), montrer que \(\int_0^1 x^n \ln x \mathrm{~d} x\) est définie et la calculer.
3. Soit \(F\) le sous-espace des fonctions affines sur \([0,1]\). Déterminer la projection orthogonale de \(x \mapsto x \ln x\) sur \(F\).

5 BEOS2520

Soit \(a_0, \ldots, a_n\) des réels deux à deux distincts. On pose :

\[ \forall(P, Q) \in \mathbb{R}_n[X]^2,(P \mid Q)=\sum_{k=0}^n P\left(a_k\right) Q\left(a_k\right) \]
  1. Montrer qu'il s'agit d'une produit scalaire.
  2. On pose : \(F=\left\{P \in \mathbb{R}_n[X] / \sum_{k=0}^n P\left(a_k\right)=0\right\}\).
    a) Justifier rapidement que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_n[X]\), calculer sa dimension ainsi que son orthogonal.
    b) Calculer la distance de \(X^n\) à \(F\).

6 BEOS8404

Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace préhilbertien de dimension \(n\), \(a\) un réel différent de \(1\) et \((u_1, \dots, u_{n+1})\) une famille de vecteurs unitaires de \(E\) telle que :

\[ \forall (i, j) \in \{1, \dots, n+1\}^2, \; i \neq j \Rightarrow \langle u_i, u_j \rangle = a \]

  1. Calculer \(\forall j \in \{1, \dots, n\}\) le produit scalaire \(\left\langle \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i u_i , u_j - u_{n+1} \right\rangle\).

  2. Montrer que \((u_1, \dots, u_n)\) est une base de \(E\).

  3. Que se passe-t-il si \(a=1\) ?

7 BEOS1618

\[ \begin{array}{cccc} \phi: & M_n(\mathbb{R}) & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \text { Soit } & (M, N) & \mapsto & \sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} m_{i, j} n_{i, j} \end{array} \]
  1. Montrer que \(\phi\) est un produit scalaire
  2. Soit \(H=\left\{M \in M_n(\mathbb{R}), \sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n} m_{i, j}=0\right\}\) et \(A \in M_n(\mathbb{R})\).

Trouver \(d=\inf _{M \in H} \sum_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\left(a_{i, j}-m_{i, j}\right)^2\).

8 BEOS4479

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que : \(\forall(x, y) \in E^2:(x \mid y)=0 \Rightarrow(f(x) \mid f(y))=0\).
Soit \(\left(e_1, \cdots, e_n\right)\) une base orthonormée de \(E\).
1. \(\forall(i, j) \in\{1, \cdots, n\}\) Calculer \(\left(f\left(e_i+e_j\right) \mid f\left(e_i-e_j\right)\right)\)
2. Montrer qu'il existe \(\alpha \in \mathbb{R}_{+}\)tel que \(\forall i \in\{1, \cdots, n\},\left\|f\left(e_i\right)\right\|=\alpha\).

9 RMS2023 1564

Soit \(E=\mathcal{C}^0([-1,1], \mathbb{R})\). Pour \((f, g) \in E^2\), on pose \(\langle f, g\rangle=\int_{-1}^1 f(t) g(t) \mathrm{d} t\).

Soient \(F=\{f \in E ; \forall x \in[0,1], f(x)=0\}\) et \(G=\{g \in E ; \forall x \in[-1,0], g(x)=0\}\).
a) Montrer que \(\langle,\rangle\) est un produit scalaire sur E.
b) Montrer que \(F\) et \(G\) sont en somme directe orthogonale.
c) Les sous-espaces \(F\) et \(G\) sont-ils supplémentaires?
d) Montrer que \(G \subset F^{\perp}\) puis que \(G=F^{\perp}\).

10 RMS2023 1435

On pose \(E=\mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R})\). Pour \((f, g) \in E^2\), on pose \(\langle f, g\rangle=\int_0^1\left(f g+f^{\prime} g^{\prime}\right)\).
a) Montrer que \(\langle,\rangle\) est un produit scalaire.

Soient \(V=\{f \in E, f(0)=f(1)=0\}\) et \(W=\left\{f \in E, f^{\prime \prime}=f\right\}\).
b) Montrer que \(V\) et \(W\) sont des sous-espaces vectoriels puis que \(\left\{t \mapsto e^t, t \mapsto e^{-t}\right\}\) est une base de \(W\).
c) Montrer que \(V\) et \(W\) sont orthogonaux.
d) Calculer \(p_W(f)\) le projeté orthogonal de \(f \in E\) sur \(W\).
e) Montrer que \(V\) et \(W\) sont supplémentaires.