TD S5 (Intégrales à paramètre)
1 (BEOS 5847)
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x\).
1. Déterminer \(\lim I_n\).
2. Calculer \(I_n+I_{n+2}\) en utilisant \(t=\tan x\).
3. En déduire la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}\).
4. Montrer la convergence de \(\sum_{n \geqslant 0}(-1)^n I_n\) et calculer sa somme.
2 (BEOS 5649)
- Rappeler le théorème de convergence dominée.
- Pour \(n \geqslant 2\), on pose \(I_n=n \int_0^{+\infty} \sin (x^n) \mathrm{~d} x\); montrer l'existence de \(I_n\).
- On donne \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u=\frac{\pi}{2}\); déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} I_n\).
On doit montrer la convergence de l'intégrale, qui n'est certainement pas une conergence par intégrabilité. Il n'y a pas de problème en \(0\) évidemment. On écrit :
Le théorème d'intégration par partie indique ici que les deux intégrales ont même nature. Or la seconde est convergente car \(n\ge 2\) donc la première l'est aussi.
On calcule ensuite par théorème d'IPP:
Posons \(g_n(u)=\cos(u)u^{\frac 1n-2}\). comme ici \(u\ge 1\), on a \(|g_n(u)|\le \frac 1{u^{\frac 12-2}}=\frac 1{u^{3/2}}\) qui est intégrable sur \([1,+\infty[\). Par théorème de convergence dominée, \(\int_1^{+\infty} \cos(u)u^{\frac 1n-2}du\to \int_1^{+\infty}\frac{\cos(u)}{u^2}du\). On en déduit que \(\int_1^{+\infty}\sin(u)u^{\frac 1n-1}\) converge vers \(\cos(1)-\int_1^{+\infty}\frac{\cos(u)}{u^2}du\). Or \(\cos(1)-\int_1^{+\infty}\frac{\cos(u)}{u^2}du=\cos(1)-\left(\cos(1)-\int_1^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}du\right)=\int_1^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}du\).
Par ailleurs, le théorème de convergence dominée s'applique naturellement aussi sur \([0,1]\), avec la majoration par la constante \(1\) de l'intégrande après changement de variable. On a donc \(\lim_{n\to+\infty}I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}du\).
3 (BEOS 7079)
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x)=\int_0^1 \frac{\exp \left(-x^2\left(1+t^2\right)\right)}{1+t^2} \mathrm{~d} t\).
1) Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \(I\) à déterminer.
2) En déduire que \(\int_0^{+\infty} \exp \left(-t^2\right) \mathrm{d} t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
4 (BEOS 4668)
Soit \(F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x t} \frac{1-\cos (t)}{t^2} \mathrm{~d} t\).
1) Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}_{+}\), de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
2) Déterminer la limite de \(F, F^{\prime}\) et \(F^{\prime \prime}\) en \(+\infty\).
3) Calculer \(F(x)\) pour \(x \in \mathbb{R}_{+}^*\).
4) En déduire la valeur de \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\).
5 (BEOS 8202)
Soit \(b>0\). On pose : \(I(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{t}}}{\sqrt{t}} \mathrm{e}^{-b t} \mathrm{~d} t\) pour \(x>0\).
1. \(I\) est-elle bien définie ? Continue ? Que dire de \(I(0)\) ?
2. Montrer que \(I\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
3. Montrer que pour \(x>0\) :
- Montrer à l'aide d'un changement de variable judicieux que :
- En déduire l'expression de \(I\).
6 (BEOS 5859)
Pour tout \(x\) réel, on pose : \(S(x)=\int_0^{+\infty} \sin (x t) \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t\) et \(C(x)=\int_0^{+\infty} t \cos (x t) \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t\).
a) Montrer que \(C\) et \(S\) sont bien définies sur \(\mathbb{R}\). Sont-elles continues ?
b) Montrer que \(S\) est dérivable. Exprimer \(S^{\prime}(x)\) au moyen de \(C(x)\).
c) Montrer que: \(\forall x \in \mathbb{R}, C(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2} S(x)\).
d) En déduire \(S(x)\) et \(C(x)\), exprimées au moyen d'une intégrale.
7 (BEOS 5711)
Soit \(f: t \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\sin (t u)}{e^u-1} \mathrm{~d} u\)
1) Montrer \(f\) est de classe \(C^0\) sur \(\mathbb{R}\)
2)Montrer \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)
3) Montrer que
\(\forall t \in \mathbb{R} \quad f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t}{n^2+t^2}\)
4) Montrer \(f\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\)
8 (RMS 973)
On pose \(I=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t\). Soit \(x \geqslant 0\). On pose \(F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x t}}{\sqrt{t}(t+1)} \mathrm{d} t\).
a) Montrer que \(F\) est bien définie.
b) Déterminer une équation différentielle linéaire d'ordre 1 vérifiée par \(F\) sur \(] 0,+\infty[\).
c) Calculer \(F(0)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)\).
d) En déduire la valeur de \(I\).
9 (RMS 1159)
Soit \(f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1+t^2} \mathrm{~d} t\).
a) Déterminer le domaine de définition de \(f\).
b) La fonction \(f\) est-elle continue, de classe \(\mathcal{C}^1\), de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) ?
c) Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
10 (RMS 1306)
On pose \(F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\arctan (x t)}{t+t^3} \mathrm{~d} t\).
a) Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)
b) Pour tout \(x\) réel positif, calculer \(F(x)\).
c) Justifier la définition de \(J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin \theta) \mathrm{d} \theta\) et calculer sa valeur.
11 (BEOS 8704)
On pose \(F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{e}^{-x t} \mathrm{~d} t\).
1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
2. Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
3. Calculer \(F^{\prime}(x)\).
4. Calculer \(F(x)\).
Posons \(f(x,t)=\frac{\sin(t)}{t}e^{-xt}\). La fonction est prolongeable par continuité en \(0\) et si \(x>0\), on a \(f(x,t)=_{t\to+\infty}o(\frac 1{t^1})\). Ainsi pour tout \(x>0\), \(t\mapsto f(x,t)\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\).
La fonction \(x\mapsto f(x,t)\) est de classe \(\mathcal C^1\). D'après la question précédente, la fonciton \(t\mapsto f(x,t)\) est intégrable. On a \(\frac{\partial f}{\partial x}(xt)= \sin(t)e^{-xt}\) qui est continue par morceaux par rapport à \(t\). On n'arrivera pas à la dominer sur \(\mathbb R^+_*\) tout entier. Prenons \(a>0\) et \(x\ge a\), on a \(\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le e^{-at}\) qui est intégrable sur \(]0,+\infty[\) et indépendante de \(x\). On en déduit donc par théorème de classe \(\mathcal C^1\) des intégrales à paramètres que \(F\) est \(\mathcal C^1\) et que \(F'(x)=\int_0^{+\infty} \sin(t)e^{-xt}dt\).
On calcule \(F'(x)=Im(\int_0^{+\infty}e^{it-xt}dt)=Im([\frac 1{i-x}e^{(i-x)t}]_0^{+\infty})=Im(-\frac{1}{i-x})=\frac 1{1+x^2}\) et donc \(F(x)=\mathrm{Arctan}(x)+C\). On a \(F(0)=C=\int_0^{+\infty}\frac {\sin(t)}{t}dt=\frac\pi2\) avec un peu de culture.