TD09 Probas de spé
1) BEOS8461
On dispose initialement d'une urne constituée d'une boule blanche, et d'une pièce de monnaie équilibrée. On effectue des lancers de la pièce selon la règle suivante :
- si on obtient "Face" on ajoute une boule noire dans l'urne ;
- si on obtient "Pile" on tire une boule dans l'urne et on arrête l'expérience.
Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers de la pièce.
1) Quelle est la loi de \(X\) ?
2) Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche à la fin de l'expérience?
2) BEOS7641
Soit une urne avec 3 jetons numérotés. On tire avec remise des jetons de l'urne.
On note \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de tirages nécessaire pour obtenir 2 jetons différents pour la première fois.
On note \(Z\) la variable aléatoire qui compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir les 3 jetons pour la première fois
1. Donner la loi de \(Y\).
2. Reconnaitre la loi de \(Y-1\). En déduire la variance et l'espérance de \(Y\).
3. Déterminer la loi de \((Y, Z)\).
4. Donner enfin la loi de \(Z\).
3) BEOS6419
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\), de loi donnée par: \(\forall k \in \mathbb{N}^*, P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\), où \(\left.p \in\right] 0,1[\). On pose \(Y=(-1)^X\).
1. Déterminer la loi de \(Y\).
2. Calculer \(E(Y)\) et \(E(X Y)\).
4) BEOS5894
\(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson de même paramètre \(\lambda>0\).
a) Rappeler l'expression de la loi de \(X\), donner son espérance et sa variance.
b) Les variables aléatoires \(U=\operatorname{Min}(X, Y)\) et \(V=\operatorname{Max}(X, Y)\) sont-elles indépendantes?
c) Soit \(Z\) variable aléatoire. On suppose que pour tout \(k \in \mathbb{N}\) la loi de probabilité de \(Z\) sachant \((X=k)\) suit une loi binomiale de paramètre \((k, p)\) où \(p \in] 0,1[\). Préciser la loi de \(Z\).
5) BEOS7332
Soit une variable aléatoire \(X \hookrightarrow P(\lambda)\).
Soit la variable aléatoire \(Y\) définie par \(Y=0\) si \(X\) est impair et \(Y=\frac{X}{2}\) si \(X\) est pair.
1. Rappeler les développements en série entière de cosinus et sinus hyperbolique.
2. Déterminer la loi de \(Y\).
3. Calculer l'espérance de \(Y^2\).
6) RMS1193
On allume une ampoule. On note \(X\) le temps de vie de cette ampoule (en jours). On suppose que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*, \mathbf{P}(X=n)=\frac{1}{2^n}\). Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Sachant que l'ampoule est allumée le jour \(n\), calculer le nombre moyen de jours où cette ampoule restera allumée.
7) RMS1195
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs \(p\) et \(q\). Probabilité pour que la matrice \(\left(\begin{array}{cc}X & 1 \\ 0 & Y\end{array}\right)\) soit diagonalisable?
8) RMS1200
Soit \(M=\left(X_{i, j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j \leqslant n}\) une matrice aléatoire réelle où les \(\left(1+X_{i j}\right)\) sont i.i.d. de loi \(\mathcal{G}(p)\), où \(p \in[0,1[\).
a) Calculer la probabilité pour que \(M\) soit symétrique.
b) Calculer la probabilité pour que \(M\) soit orthogonale.
9) RMS1377
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\). On pose \(M=\left(\begin{array}{ll}(-1)^X & 1 \\ (-1)^Y & 1\end{array}\right)\).
a) Calculer la probabilité que la matrice \(M\) soit inversible.
b) Calculer la probabilité que la matrice \(M\) soit diagonalisable sur \(\mathbb{R}\), puis sur \(\mathbb{C}\).
10) RMS1602
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) où \(p \in] 0,1\left[\right.\). On pose \(M=\left(\begin{array}{ll}X & Y \\ Y & X\end{array}\right)\). On note \(I\) et \(S\) les valeurs propres de \(M\) avec \(I \leqslant S\).
a) Donner les expressions de \(I\) et \(S\).
b) Quel est la probabilité que \(M\) soit inversible?
c) Calculer la covariance de \(I\) et de \(S\). Les variables \(I\) et \(S\) sont elles indépendantes?"