semaine 5

779

Soit \(M \in \mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) une matrice nilpotente et \(p \in \mathbb{N}\) son indice de nilpotence.

(a) Montrer que \(p \leqslant 3\).

(b) On suppose que \(p=3\). Montrer que \(M\) est semblable à la matrice

\[ \left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) . \]

(c) On suppose que \(p=2\). Montrer que \(M\) est semblable à la matrice

\[ \left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) . \]

(d) Soit \(A \in \mathscr{M}_3(\mathbb{C})\). Montrer que \(A\) est semblable à \(-A\) si et seulement si \(\operatorname{det} A=\operatorname{tr} A=0\).

794

Soient \(n \geqslant 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) une matrice de rang 1 . Montrer qu'elle est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.

915*

Trouver les matrices symétriques de \(\mathscr{M}_2(\mathbb{C})\) non diagonalisables.

884

Soient \(a_1, \ldots, a_n\) des réels non tous nuls et

\[ A=\left(\begin{array}{ccc} a_1 & \cdots & a_1 \\ \vdots & & \vdots \\ a_n & \cdots & a_n \end{array}\right) . \]

(a) Déterminer les valeurs propres de \(A\). À quelle condition la matrice \(A\) est-elle diagonalisable?

(b) On pose \(s=\operatorname{tr} A\) et \(B=2 A-s I_n\). À quelle condition la matrice \(B\) est-elle diagonalisable? \(\grave{A}\) quelle condition est-elle inversible?

959*

(a) Soit \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) telle que \(A^2\) est diagonalisable. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

(b) Le résultat demeure-t-il si \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) ?

959

Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbb{C})\) et \(\Phi: M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C}) \mapsto M+\operatorname{tr}(A M) B\).

(a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(\Phi\).

(b) L'application \(\Phi\) est-elle diagonalisable?

970

Soit \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes.
Montrer qu'il existe \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dans \(\mathbb{R}\) et \(M_1, \ldots, M_n \in \operatorname{Vect}\left(I_n, A, A^2, \ldots, A^{n-1}\right)\) tels que \(\forall p \in \mathbb{N}, A^p=\sum_{k=1}^n \alpha_k^p M_k\).

998

Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(\Phi: P \mapsto X^n P\left(\frac{1}{X}\right)\) est un endomorphisme diagonalisable de \(\mathbb{R}_n[X]\). Trouver une base de vecteurs propres de \(\Phi\).

1018

Soient \(B\) et \(M\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). On suppose que \(M\) possède \(n\) valeurs propres distinctes. Montrer que \(B\) et \(M\) commutent si et seulement s'il existe \(P \in \mathbb{C}[X]\) tel que \(B=P(M)\).

1084

Soient \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C})\) et \(\Delta(A)=\left\{M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{C}), M+M^{\top}=\operatorname{tr}(M) A\right\}\). Montrer que \(\Delta(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{C})\). Déterminer \(\Delta(A)\).