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TD 15 calcul différentiel

1-BEOS7770

Soit \(f: \quad \mathbb{R}^2 \quad \longrightarrow \mathbb{R}\)

\[ (x, y) \longmapsto\left\{\begin{array}{ccc} x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text { si } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { si } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \]
  1. Étudier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\).
  2. Déterminer les dérivées partielles premières de \(f\); est-elle de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) ?
  3. Calculer \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)\). Commenter.

2-BEOS6656

Étudier la continuité en \((0,0)\) de chacune des fonctions suivantes, toutes supposées nulles en \((0,0)\). Elles sont définies pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^2 \backslash\{(0,0)\}\) respectivement par :

\[ f(x, y)=\frac{x^3 y}{x^2+y^2}, g(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}, h(x, y)=\frac{x^3 y}{x^2+y^2+x y} \]

3-BEOS7059

  1. Soit \(h: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue. A l'aide du changement de variables \(\left\{\begin{array}{l}x=u+v \\ y=u-v^{\prime}\end{array}\right.\), déterminer les fonctions \(f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telles que \(: \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}=h(3 x+y)\).
  2. En adaptant le changement de variables précédent, déterminer les fonctions \(f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telles que \(: \frac{\partial f}{\partial x}=3 \frac{\partial f}{\partial y}\).
  3. En déduire les solutions de : \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-4 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+3 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0\), avec \(f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^2\).

4-BEOS4479

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Soit \(E=C^1\left(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}\right)\) et \(F=C^0\left(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}\right)\). Soit \(\phi: f \rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}-a f\).
1. Montrer que \(\phi\) est une application linéaire de \(E\) dans $F.
2. Soit \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, f(x, y)=\sin (y) \exp (a x)\). Calculer \(\phi(f)\).
3. Soit \(G=\left\{\alpha(y) \exp (a x)\right.\) avec \(\left.\alpha \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\right\}\). Montrer que \(G \subset \operatorname{Ker}(\phi)\). \(\phi\) est elle injective?
4. Soit \(A \in F\). Soit \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, f(x, y)=\exp (a x) \int_0^x A(t, y) \exp (-a t) d t\). Montrer que \(f\) admet des dérivées partielles sur \(\mathbb{R}^2\) et les calculer. Montrer que \(\phi(f)=A\).
5. Montrer que \(G=\operatorname{Ker}(\phi)\).
6. Trouver toutes les fonctions \(f \in E\) telles que:

\[ \forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)-a f(x, y)=2 x-3 y \]

5-BEOS8390

Soit

\[ f(x, y)=3 x y-x^3-y^3 \]

Etudier les extremas de la fonction \(f\).

6-RMS980

Soient \(u \in \mathcal{C}^0\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right)\) intégrable sur \(\mathbb{R}^{+}\)et \(f \in \mathcal{C}^2\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right)\) telle que \(f^{\prime \prime}+(1+u) f=0\) Soit \(g: x \in \mathbb{R}^{+} \mapsto f(x)+\int_0^x \sin (x-t) f(t) u(t) \mathrm{d} t\).
a) Trouver une équation différentielle linéaire vérifiée par \(g\).
b) En déduire l'existence de \(c\) positif tel que : \(\forall x \in \mathbb{R}^{+},|f(x)| \leqslant c+\int_0^x|f(t) u(t)| \mathrm{d} t\). c) Montrer que \(f\) est bornée.

7-RMS1184

a) Trouver les fonctions \(f \in \mathcal{C}^1(] 1,+\infty[\times] 0,+\infty[, \mathbb{R})\) telles que

\[ x(x-1) \frac{\partial f}{\partial x}+y(x-1) \frac{\partial f}{\partial y}-x^2 f=0 \]

Ind. Effectuer le changement de variables \(x=u\) et \(y=u v\).
b) Soient \(a_1, \ldots, a_n\) des réels distincts, \(f_i: x \mapsto \exp \left(a_i x\right)\) pour \(1 \leqslant i \leqslant n\). Montrer que \(\left(f_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) est libre.
c) Le sous-espace vectoriel des solutions obtenu dans la première question est-il de dimension finie?

8-RMS1313

Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\). On suppose que, pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), la matrice Hessienne \(H_f(x)\) a toutes ses valeurs propres dans \([1,+\infty[\).
a) Pour \(x\) fixé dans \(\mathbb{R}\) on note \(\varphi: t \in \mathbb{R} \mapsto f(t x)\). Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) et exprimer \(\varphi^{\prime \prime}\) en fonction de la matrice Hessienne de \(f\).
b) En considérant la fonction \(\psi: t \mapsto f(t x)-\langle\nabla f(0), t x\rangle-\frac{t^2}{2} x^T x\), montrer l'inégalité \(f(x) \geqslant f(0)+\langle\nabla f(0), t x\rangle+\frac{1}{2} x^T x\).
c) En déduire que \(\lim _{\|x\| \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\). Montrer que \(f\) admet un minimum.

9-RMS1599

[IMT] Soit \(A=\left(\begin{array}{cc}-5 & 3 \\ 6 & -2\end{array}\right)\).
a) Montrer que \(A\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
b) Montrer qu'il existe \(B\) telle que \(B^3=A\).
c) Résoudre \(X^{\prime}(t)=A X(t)\).

10-RMS1600

[CCINP] Soient \(F=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y=0\right\}\) et \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) telle que \(f(x, y)=\) \(\frac{x^2 y^2}{x+y}\) si \((x, y) \notin F\), et \(f(x, y)=0\) si \((x, y) \in F\).
a) Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^2 \backslash F\) et que \(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=3 f\).
b) Montrer que \(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0)\) et les calculer.
c) La fonction \(f\) est-elle continue en \((0,0)\) ?