TD S13 Espaces vectoriel normés
1 BEOS-6984
Pour tout polynôme réel \(P\) et tout entier \(n\), on pose \(a_n(P)=\int_0^1 P(t) t^n \mathrm{~d} t\). Pour tout polynôme réel \(P\), on pose
- Justifier que ces quantités sont bien définies.
- Montrer que \(\|\cdot\|_{\infty}, N_{\infty}\) et \(N_2\) sont des normes sur \(\mathbb{R}[X]\).
- Trouver des constantes \(\alpha\) et \(\beta\) strictement positives telles que
- Montrer que ces normes ne sont pas équivalentes entre elles.
2 RMS23-1076
Soient \(p, q \in] 1,+\infty\left[\right.\) tels que \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\). Pour \(x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)\) et \(y=\left(y_1, \ldots, y_n\right)\) dans \(\mathbb{R}^n\) on pose \(\|x\|_p=\left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1 / p},\|y\|_p=\left(\sum_{k=1}^n\left|y_k\right|^q\right)^{1 / q}\) et \(\langle x, y\rangle=\sum_{k=1}^p x_k y_k\).
a) On admet que \(\forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}^n\right)^2,|\langle x, y\rangle| \leqslant\|x\|_p\|y\|_q\).
Montrer que \(\|x\|_p=\sup \left\{\langle x, y\rangle ; y \in \mathbb{R}^n,\|y\|_q=1\right\}\).
b) Montrer que \(\left\|\|_p\right.\) est une norme.
c) Si || est une norme euclidienne sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), montrer que, pour tout \((x, y) \in E^2,\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\left(\|x\|^2+\|y\|^2\right)\).
d) Trouver une inclusion entre les boules unités de \(\left(\mathbb{R}^n,\| \|_p\right)\) et \(\left(\mathbb{R}^n,\| \|_{p^{\prime}}\right)\) avec \(1 \leqslant p<p^{\prime}\).
3 RMS23-1077
Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on pose \(\langle A, B\rangle=\operatorname{Tr}\left(A^T B\right)\). Soit \(N\) la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
a) Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), calculer \(N(A)\) avec les coefficients de \(A\).
b) Montrer que \(\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),|\operatorname{tr}(A)| \leqslant \sqrt{n} N(A)\) et déterminer les cas d'égalité.
c) Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(U \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})\), montrer que \(N(A U)=N(U A)=N(A)\).
d) Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), montrer que \(N(A B) \leqslant N(A) N(B)\).
e) Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Déterminer \(m=\inf \left\{\sum_{i, j}\left(m_{i, j}-s_{i, j}\right)^2, S \in S_n(\mathbb{R})\right\}\).
f) On pose, pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\|A\|_1=\sum_{i, j}\left|a_{i j}\right|\). Trouver les meilleures constantes \(a\) et \(b\) telles que \(\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), a N(A) \leqslant\|A\|_1 \leqslant b N(A)\).
4 BEOS-7377
Soit \(E=\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\). Si \(f \in E\), on note \(\varphi(f): x \mapsto \int_0^x t f(t) \mathrm{d} t\).
1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).
2. Trouver le plus petit \(k>0\) tel que : \(\forall f \in E,\|\varphi(f)\|_{\infty} \leqslant k\|f\|_{\infty}\)
3. Trouver le plus petit \(k>0\) tel que : \(\forall f \in E,\|\varphi(f)\|_{\infty} \leqslant k\|f\|_1\).
5 BEOS-6708
Pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_d(\mathbb{C})\), on pose \(\|M\|_{\infty}=\max \left\{\left|m_{i, j}\right| ; 1 \leqslant i, j \leqslant d\right\}\).
1. On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\). Cette matrice est-elle diagonalisable?
2. On pose \(N=A-I_3\). Calculer \(N^2\), puis les autres puissances de \(N\).
3. Déterminer la limite de \(\left\|A^n\right\|_{\infty}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
4. Vérifier que \(\|\cdot\|_{\infty}\) est une norme sur \(\mathcal{M}_d(\mathbb{C})\).
5. Pour tout couple \((M, N)\) de matrices de \(\mathcal{M}_d(\mathbb{C})\), prouver la majoration
- On suppose que \(M\) est diagonalisable et possède au moins une valeur propre de module strictement supérieur à 1 .
Déterminer la limite de \(\left\|M^n\right\|_{\infty}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
6 BEOS-7124
Soit \(E=\mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R})\) On pose pour tout \(f \in E:\|f\|_1=\int_0^1|f(x)| \mathrm{d} x\) et:
- Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes.
- \(N_1\) et \(N_2\) sont-elles équivalentes ?
7 RMS23-1045
Soit \(E\) l'espace des suites complexes bornées.
Pour \(u=\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \in E\) on pose \(N_1(u)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\left|u_n\right|}{2^n}\) et \(N_2(u)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\left|u_n\right|}{n!}\).
a) Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont bien définis.
b) Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes sur \(E\).
c) Montrer qu'il existe une constante \(C\) telle que \(N_2 \leqslant C N_1\).
d) Montrer qu'il n'existe pas de constante positive \(D\) telle que \(N_1 \leqslant D N_2\).
8 RMS23-232
Soit \(E\) l'espace des fonctions \(f:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telles que \(f(0)=0\). Pour \(f \in E\), on pose \(\|f\|=\left\|f+f^{\prime}\right\|_{\infty}\).
a) Montrer que \(\|\|\) est une norme sur \(E\).
b) Montrer qu'il existe \(a>0\) tel que, pour tout \(f \in E\), on ait \(\|f\|_{\infty} \leqslant a\|f\|\).
c) Les normes \(\|\|\) et \(\| \|_{\infty}\) sont-elles équivalentes sur \(E\) ?
9 RMS23-1458
On note \(E\) l'ensemble des fonctions \(f \in \mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R})\) telles que \(f(0)=0\). Pour \(f \in E\), on pose \(N(f)=\left\|f+f^{\prime}\right\|_{\infty}\) et \(N^{\prime}(f)=\|f\|_{\infty}+\left\|f^{\prime}\right\|_{\infty}\).
a) Montrer que \(N\) et \(N^{\prime}\) sont des normes sur \(E\).
b) Montrer que \(N\) et \(N^{\prime}\) sont équivalentes. Ind. Exprimer \(f\) en fonction de \(g=f+f^{\prime}\).
10 BEOS-4899
Soit \(A \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{C})\).
On note \(\|A\|=\max _{i \in[1, n]}\left(\sum_{j=1}^n\left|a_{i, j}\right|\right)\) et \(\rho(A)=\max \{|\lambda|, \lambda\) valeur propre de \(A\}\).
1. Déterminer la norme de \(A\) et \(\rho(A)\) lorsque \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1+i \\ 0 & \mathrm{e}^{i \theta}\end{array}\right)\)
2. Montrer que \(\|A B\| \leqslant\|A\| \cdot\|B\|\) pour \(A, B \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{C})\).
3. a) Soit \(x\) un vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda\). Montrer que
pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\).
b) En déduire que \(\rho(A) \leqslant\|A\|\).
4. Montrer que la suite \(\left(A^k\right)\) converge vers la matrice nulle dans \(\mathfrak{M}_n(\mathbb{C})\) si et seulement si \(\rho(A)<1\).
5. Montrer que \(\rho(A)^k=\rho\left(A^k\right)\) pour tout \(k \geqslant 1\).