Faire des preuves

En mathématiques, certains schémas de preuve sont classiques et vous devez savoir les appliquer. La liste ci-après n'est pas exhaustive. Elle doit vous permettre, à partir d'une phrase mathématique, de préparer un squelette de preuve.

Dans la suite, \(A\), \(B\) et \(C\) sont des ensembles, \(P\), \(Q\), \(P(x)\) et \(Q(x)\) désigneront des propriétés mathématiques.

Proposition	Squelette de preuve
\(\forall x\in E,\ P(x)\)	Soit \(x\in E\), (démonstration de P(x)) ainsi \(P(x)\) est vérifiée
\(\exists x \in E;\; P(x)\)	Il faut exhiber un élément \(x\) de \(E\) qui vérifie \(P\)
\(A\subset B\)	Soit \(a\in A\), (montrer que \(a\in B\)), donc \(a\in B\)
\(A=B\)	Montrons que \(A\subset B\) (....). Montrons que \(B\subset A\) (....). Donc \(A=B\)
\(C\subset A\cap B\)	Soit \(c\in C\). Montrons que \(c\in A\). Montrons que \(c\in B\). Ainsi, \(c\in A\cap B\) et donc \(C\in\subset A\cap B\).
\(C\subset A\cup B\)	Soit \(c\in C\), supposons que \(c\notin A\), montrons que \(c\in B\).
\(P\Rightarrow Q\)	Supposons que \(P\) est vérifiée (démonstration de Q) Donc \(Q\) est vraie.
	Démontrons la contraposée. Supposons que \(\neg Q\) est vérifiée (démonstration de \(\neg P\)) donc \(\neg P\) est vraie. Ainsi \(P\Rightarrow Q\).
\(P\Leftrightarrow Q\)	Démonstration par double implication. Montrons \(P\Rightarrow Q\) (.....). Montrons que \(Q\Rightarrow P\) (....). Ainsi \(P\Leftrightarrow Q\).
	Démonstration par équivalences. Etablir une suite de propositions \(P_0=P, P_1,\dots,P_n=Q\) telles que pour tout \(i<n\), \(P_i\Leftrightarrow P_{i+1}\). Ces équivalences doivent être élémentaires et justifiées.
Soient \(f\) et \(g\) deux applications \(E\rightarrow F\), montrer que \(f=g\)	Soit \(x\in E\), \(f(x)=\dots=g(x)\).
Disjonction de cas \((P_1\cup P_2\cup\dots\cup P_n)\Rightarrow Q\)	Supposons \(P_1\), alors (....) donc \(Q\) est vraie. Supposons \(P_2\), alors (....) donc \(Q\) est vraie. (....) Dans tous les cas, \(Q\) est vraie donc \((P_1\cup P_2\cup\dots P_n)\Rightarrow Q\).
Raisonnement par l'absurde. Montrer \(P\). \(\danger\) Utiliser en dernier recours.	On suppose \(\neg P\). (....) on arrive à une contradiction donc \(P\) est vraie.
Raisonnement par récurrence. \(\forall n \in \N,\, P(n)\).	Soit \(n\in N\), on pose \(H(n)=\)\og\dots\fg. Initialisation : Soit \(n=0\), montrons \(H(0)\). Hérédité : Soit \(n\in\N\), supposons \(H(n)\) vraie, montrons que \(H(n+1)\) est vraie. (....) Ainsi \(H(n+1)\) est vraie. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(H(n)\) est vraie.
	Récurrence à 2 pas. On initialise à \(n=0\) et \(n=1\) par exemple. Pour l'hérédité : Soit \(n\in \N\), supposons \(H(n)\) et \(H(n+1)\) vraie, montrons que \(H(n+2)\) est vraie. (....) Ainsi \(H(n+2)\) est vraie. On a montré par récurrence à \(2\) pas que pour tout entier naturel \(n\), \(H(n)\) est vraie.
	Récurrence forte. On initialise à \(n=0\) par exemple. Pour l'hérédité : Soit \(n\in \N\), supposons que pour tout entier naturel \(k\le n\), \(H(k)\) est vraie, montrons que \(H(n+1)\) est vraie. (....) On a donc montré par récurrence forte que pour tout entier naturel \(n\), \(H(n)\) est vraie.
Inégalité sur \(\R\) : Montrer que pour tout \(x\in I\), \(f(x)\le g(x)\).	On pose \(h(x)=f(x)-g(x)\) et on étudie \(h\) pour montrer qu'elle est négative sur \(I\).
Montrer que \(f:E\rightarrow F\) est injective.	Soit \((x,y)\in E^2\) tels que \(f(x)=f(y)\) (....) alors \(x=y\) : \(f\) est injective.
Montrer que \(f:E\rightarrow F\) est surjective.	Soit \(y\in F\). (construction de \(x\in E\) tel que \(f(x)=y\)). Ainsi \(y\) admet pour antécédent \(x\) par \(f\) : \(f\) est surjective.
Montrer que \(f\) est bijective.	Montrons que \(f\) est injective. (....) Montrons que \(f\) est surjective (....) Ainsi \(f\) est bijective.
Si \(f:E\rightarrow F\) est bijective, montrer que \(h=f^{-1}\).	Montrons que \(h\circ f=id_E\) (....). Montrons que \(f\circ h=id_F\) (....). Ainsi, \(h=f^{-1}\).
Et encore d'autres à venir\dots