Cahier de vacances pour la PSI

Chers futurs élèves de PSI*,

Je me présente, Yannick Le Bras, je serai votre enseignant en mathématiques l'année prochaine. L'année de PSI sera intense, il y a peu de temps et beaucoup de choses à apprendre. Le plus important est de vous créer une culture. Cette culture se forge en travaillant les exercices, classiques et moins classiques.

J'ai compilé dans ce document des exercices tombés aux concours. Ces exercices sont "accessibles" à la fin de la première année. J'ai tenté de regrouper des exercices autour des thématiques qui seront utiles l'année prochaine.

Enfin, certains exercices sont identifiés (en rose) de façon particulière : ces exercices feront partie de notre banque d'exercices de colles. À chaque colle de mathématiques, c'est-à-dire toutes les deux semaines, vous vous verrez proposer un exercice issu de notre banque et un exercice libre proposé par le colleur. Les exercices de la banque seront connus, fournis avec les corrigés et augmenteront chaque semaine. Cette banque couvrira l'ensemble des notions du programme de PSI et aura pour but d'aborder essentiellement les théorèmes principaux et les méthodes classiques. Les corrigés proposés n'ont pas la prétention d'être parfaits, sachez les adapter à votre compréhension.

Ainsi, dans ce cahier de vacances sont identifiés 25 exercices (en rose donc), dont fera partie votre exercice imposé lors de votre première colle de mathématiques. Je vous conseille évidemment fortement de travailler ces exercices pendant les vacances. Ce sont des exercices que vous devrez savoir faire.

Enfin, vous trouverez en fin de documents 2 sujets d'écrits que vous pouvez traiter s'appuyant sur des notions de première année. N'hésitez pas à me poser des questions par mail.

Et puis, en toute dernière partie se trouve un sujet de devoir maison libre. Deux de ces exercices feront partie du tout premier DS de l'année.

Vous avez donc, pour résumer, dans ce document des exercices de première année donc 25 sont à savoir faire à la rentrée, et un devoir libre, qui vous permettra d'aborder sereinement le premier DS. Le but de tout ceci est de vous préparer à cette année de PSI en renforçant les bases de première année.

Je suis impatient de vous retrouver à la rentrée, je vous souhaite de belles vacances,

Yannick Le Bras

Énoncés

Exercice 1

On considère deux suites numériques $\left( u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( v_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ telles que $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est non nulle à partir d’un certain rang et $u_{n}\underset{+\infty}\thicksim v_{n}$. Démontrer que $u_{n}$ et $v_{n}$ sont de même signe à partir d’un certain rang.
Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : $u_{n}=\text{sh}\left( \dfrac{1}{n}\right) -\tan \left( \dfrac{1}{n}\right)$.

Exercice 2

Soit $x_0 \in \mathbb{R}$. On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=x_0$ et, $\forall n\in\mathbb{N}\:,\: u_{n+1}=\mathrm{Arctan}(u_n)$.

1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est monotone et déterminer, en fonction de la valeur de $x_0$, le sens de variation de $(u_n)$.
2. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Déterminer l’ensemble des fonctions $h$, continues sur $\mathbb{R}$, telles que : $\forall x \in \mathbb{R}$, $h(x)=h(\mathrm{Arctan}\: x)$.

Exercice 3

Soit $a$ un nombre complexe. On note $E$ l’ensemble des suites à valeurs complexes telles que : $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $u_{n+2}=2au_{n+1}+4(\mathrm{i}a-1)u_n$ avec $(u_0,u_1)\in \mathbb{C} ^2$.

1. Prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites à valeurs complexes.
2. Déterminer, en le justifiant, la dimension de $E$.
Dans cette question, on considère la suite de $E$ définie par: $u_0=1$ et $u_1=1$. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $u_n$ en fonction de $n$. Indication: discuter suivant les valeurs de $a$.

Exercice 4

CCINPOn pose $P_{n}=\sum_{k=0}^{2n+1}\dfrac{\left(-X\right)^{k}}{k!}$.

a) Montrer que : $P_{n+1}'=-P_{n}-\dfrac{X^{2n+2}}{\left(2n+2\right)!}$ et $P_{n+1}''=P_{n}$.
b)
- i) Par récurrence, montrer la stricte décroissance de la fonction polynomiale $p_{n}$ associée à $P_{n}$. Montrer que $p_{n}$ admet une unique valeur d'annulation sur $\R$, notée $u_{n}$.
- ii) Montrer que $P_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{2k}}{\left(2k\right)!}\left(1-\dfrac{X}{2k+1}\right)$.
c)
- i) Montrer que $u_{n}\in\left[1,2n+1\right]$.
- ii) Montrer que la suite $u$ est monotone.

Exercice 5

Soit, pour $n\geq 4$, $f_n : x\mapsto x^{3n} - \sqrt{n}x +1$.

a) Montrer qu'il existe un unique $x_n\in [1,2]$ tel que $f_n(x_n)=0$.

b) Étudier la convergence de la suite de terme général $\epsilon_n=x_n-1$.

c) Trouver un équivalent de $\epsilon_n$.

d) Donner un développement asymptotique à trois termes de $x_n$.

Exercice 6

On pose $g(x)=\mathrm{e}^{2x}$ et $h(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Calculer, pour tout entier naturel $k$, la dérivée d’ordre $k$ des fonctions $g$ et $h$ sur leurs ensembles de définitions respectifs.
On pose $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{1+x}$. En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivée $n^{\text{ième}}$ d’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x\in\mathbb{R}\backslash\left\lbrace -1\right\rbrace$, la valeur de $f^{(n)}(x)$.
Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente.

Exercice 7

Énoncer le théorème des accroissements finis.
Soit $f:\left[ a,b\right]\longrightarrow \mathbb{R}$ et soit $x_0\in \left]a,b \right[$. On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f$ est dérivable sur $]a,x_0[$ et sur $]x_0,b[$. Démontrer que, si $f'$ admet une limite finie en $x_0$, alors $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f'(x)$.
Prouver que l’implication : ( $f$ est dérivable en $x_0$) $\Longrightarrow$ ($f'$ admet une limite finie en $x_0$) est fausse.

Indication: on pourra considérer la fonction $g$ définie par: $g(x)=x^2\sin\dfrac{1}{x}$ si $x\not=0$ et $g(0)=0$.

Exercice 8

Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs et $l$ un réel positif strictement inférieur à 1.

Démontrer que si $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l$, alors la série $\displaystyle\sum u_{n}$ converge.

Indication: écrire, judicieusement, la définition de $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l$, puis majorer, pour $n$ assez grand, $u_{n}$ par le terme général d’une suite géométrique.
Quelle est la nature de la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}{} \dfrac{n!}{n^{n}}$?

Exercice 9

Soient $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $\left(v_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels positifs. On suppose que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont non nulles à partir d’un certain rang. Montrer que:

\[ u_{n}\underset{+\infty}{\thicksim} v_{n} \ \Longrightarrow \ \displaystyle\sum u_{n}\ \text{et }\displaystyle\sum v_{n}\ \text{sont de m\^{e}me nature}. \]

Étudier la convergence de la série $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 2}^{} \dfrac{\left((-1)^n+\mathrm{i}\right)\ln n \sin \left( \dfrac{1}{n}\right) }{\left(\sqrt{n+3}-1\right)}$.

Remarque : $\mathrm{i}$ désigne le nombre complexe de carré égal à $-1$.

Exercice 10

Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}} $une suite décroissante positive de limite nulle.
1. Démontrer que la série $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$ est convergente.
  
  Indication: on pourra considérer $\left( S_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( S_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ avec $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
2. Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
On pose : $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $f_n(x)=\dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$.
1. Étudier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$.
2. Étudier la convergence uniforme sur $\left[ 0,+\infty\right[$ de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$.

Exercice 11

On considère la série:$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right)$.

Prouver que, au voisinage de $+\infty$, $\pi\sqrt{n^2+n+1}=n\pi+\dfrac{\pi}{2}+\alpha\dfrac{\pi}{n}+O\left(\dfrac{1}{n^2} \right)$ où $\alpha$ est un réel que l’on déterminera.
En déduire que $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right)$ converge.
$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right)$ converge-t-elle absolument?

Exercice 12

IMT . Déterminer la nature de la série $\sum u_n$, avec $u_n = \frac{(-1)^n }{n^{3/4} + \sin n}$.

Exercice 13

CCINPSoit $\left(\theta,\varphi\right)\in\R^{2}$. Pour $n\geqslant2$, on pose : $u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{\sqrt{n}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\varphi}}$.

a) Montrer que $u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{\sqrt{n}}-\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\left(\theta+\varphi\right)}}{n}+\co\left(\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\right)$.
b) On suppose que $\theta$ et $\varphi$ sont des multiples de $\pi$. Quelle est la nature de $\sum u_{n}$ ?

Exercice 14

On pose : $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash \left\lbrace (0,0)\right\rbrace$, $f\left( x,y\right) =\dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ et $f\left( 0,0\right) =0$.

Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$.
Démontrer que $f$ admet des dérivées partielles en tout point de $\mathbb{R}^{2}$.
$f$ est-elle de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$? Justifier.

Exercice 15

Soit $\alpha\in\mathbb R$. On considère l’application définie sur $\mathbb{R}^2$ par $f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}-xy} & \mathrm{si }(x,y)\not=(0,0)\\ \alpha & \mathrm{si}\ (x,y)=(0,0). \end{cases}$

Prouver que : $\forall(x,y)\in\mathbb R^{2},\:x^{2}+y^{2}-xy\geqslant\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$.
1. Justifier que le domaine de définition de $f$ est bien $\mathbb{R}^2$.
2. Déterminer $\alpha$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb R^{2}$.
Dans cette question, on suppose que $\alpha=0$.
1. Justifier l’existence de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sur $\mathbb R^{2}\setminus\big\{(0,0)\big\}$ et les calculer.
2. Justifier l’existence de $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ et donner leur valeur.
3. $f$ est-elle de classe ${\cal C}^{1}$ sur $\mathbb R^{2}$?

Exercice 16

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$.
1. Donner, en utilisant des quantificateurs, la définition de la continuité de $f$ en $(0,0)$.
2. Donner la définition de «$f$ différentiable en $(0,0)$».
On considère l’application définie sur $\mathbb{R}^2$ par $f(x,y)=\left\lbrace \begin{array}{ll} xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}& \text{si}\: (x,y)\neq (0,0)\\ 0 &\text{si} \:(x,y)=(0,0) \end{array} \right.$
1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
2. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal {C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$.

Exercice 17

CCINP. Soit $f: [0,2]\times [-1,0] \to \R$ la fonction $(x,y) \mapsto x^{2}-2x+xy+y^{2}$. Trouver les extrémums globaux de $f$.

Exercice 18

CCINP. Pour tous réels $x,y$, on pose $f\left(x,y\right)=x^{3}+y^{3}-3xy$.

a) Quels sont les points critiques de $f$ ?
b) Est-ce que $f$ possède un extrémum global ?
c) Quels sont les extrémums locaux de $f$ ?

Exercice 19

CCINP . Soit $\omega \in \R^{+*}$. On considère l'équation fonctionnelle $(*)$ suivante, portant sur des fonctions $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ : $ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \quad f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)\, f(y).$

a) Résoudre le problème de Cauchy $(E_1) \colon y'' = -\omega^2 y$, $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.
b) Résoudre le problème de Cauchy $(E_2) \colon y'' = \omega^2 y$, $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.
c) Montrer que $\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, \ \ch(x + y) = \ch(x) \ch(y) + \sh(x) \sh(y)$. En déduire que la fonction $\ch$ est solution de $(*)$.
d) Soit $f$ une solution de $(*)$. Montrer que $f(0) \in \{0, 1\}$, et que si $f(0) = 0$, alors $f$ est la fonction nulle. Montrer que si $f(0) = 1$, alors $f'(0) = 0$.
e) Trouver toutes les solutions $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ de $(*)$.

Exercice 20

On considère les deux équations différentielles suivantes: $2xy'-3y=0$ $(H)$ $2xy'-3y=\sqrt{x}$ $(E)$

Résoudre l’équation $(H)$ sur l’intervalle $\left] 0,+\infty\right[$.
Résoudre l’équation $(E)$ sur l’intervalle $\left] 0,+\infty\right[$.
L’équation $(E)$ admet-elle des solutions sur l’intervalle $\left[ 0,+\infty\right[$?

Exercice 21

CCINP . On étudie sur $]0, 1]$ l'équation différentielle $(E): x^2 y'' + 4 x y' + 2 y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$.

a) Donner les solutions de l'équation homogène de la forme $x \mapsto x^{\alpha}$.
b) Chercher les solutions de $(E)$ sous la forme $x \mapsto \frac{z(x)}{x^2}$.

Exercice 22

Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geqslant 2$. Soit $E$ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de degré inférieur ou égal à $n$. On pose : $\forall\:P\in E$, $f\left( P\right)=P-P^{\prime }$.

Démontrer que $f$ est bijectif de deux manières:
1. sans utiliser de matrice de $f$,
2. en utilisant une matrice de $f$.
Soit $Q\in E.$ Trouver $P$ tel que $f\left( P\right) =Q$ .

Indication : si $P\in E$, quel est le polynôme $P^{\left(n+1\right) }$?
(hors programme en début d'année) $f$ est-il diagonalisable?

Exercice 23

Soit la matrice $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $f$ l’endomorphisme de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}% \right)$ défini par : $f\left( M\right) =AM.$

Déterminer une base de $\mathrm{Ker}f$.
$f$ est-il surjectif ?
Déterminer une base de $\text{Im}f.$
A-t-on $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}% \right)=\mathrm{Ker}f\oplus \mathrm{Im}f$?

Exercice 24

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.

Démontrer que: $E=\text{Im} f \oplus \mathrm{Ker} f \Longrightarrow \text{Im} f = \text{Im} f^2$.
1. Démontrer que: $\text{Im} f = \text{Im} f^2 \Longleftrightarrow \mathrm{Ker} f = \mathrm{Ker} f^2$.
2. Démontrer que: $\text{Im} f = \text{Im} f^2 \Longrightarrow E=\text{Im} f \oplus \mathrm{Ker} f$.

Exercice 25

Soit $P$ le plan d’équation $x+y+z=0$ et $D$ la droite d’équation $x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}$.

Vérifier que $\mathbb{R}^3=P\oplus D$.
Soit $p$ la projection vectorielle de $\mathbb{R}^3$ sur $P$ parallèlement à $D$. Soit $u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$. Déterminer $p(u)$ et donner la matrice de $p$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
Déterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $p$ est diagonale.

Exercice 26

$\mathbb K$ désigne le corps des réels ou celui des complexes. Soient $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ trois scalaires distincts donnés de $\mathbb K$.

Montrer que $\Phi:\begin{array}{ccc} \mathbb K_{2}[X] & \longrightarrow & \mathbb K^{3}\\ P & \longmapsto & \big(P(a_{1}),P(a_{2}),P(a_{3})\big)\\ \end{array}$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
On note $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ la base canonique de $\mathbb K^{3}$ et on pose $\forall k\in\{1,2,3\}, \:L_{k}=\Phi^{-1}(e_{k})$.
1. Justifier que $(L_{1}, L_{2}, L_{3})$ est une base de $\mathbb K_{2}[X]$.
2. Exprimer les polynômes $L_{1}, L_{2}$ et $L_{3}$ en fonction de $a_{1}, a_{2}$ et $a_{3}$.
Soit $P\in\mathbb K_{2}[X]$. Déterminer les coordonnées de $P$ dans la base $(L_{1}, L_{2}, L_{3})$.
Application : on se place dans $\mathbb R^{2}$ muni d’un repère orthonormé et on considère les trois points $A(0,1), B(1,3), C(2,1)$.

Déterminer une fonction polynomiale de degré 2 dont la courbe passe par les points $A$, $B$ et $C$.

Exercice 27

IMT . Soient $P$ le plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$ d'équation $x - 2y + 3z = 0$ et $D$ la droite vectorielle engendrée par $(2, 2, 1)$. Montrer que $P$ et $D$ sont supplémentaires et déterminer les matrices dans la base canonique du projecteur sur $P$ parallèlement à $D$ et de la symétrie par rapport à~$P$ parallèlement à $D$.

Exercice 28

CCINP .
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$.

Montrer que $\Ker(f)+\Im(f)=E$ si et seulement si $\Im(f)=\Im(f^2)$.

Exercice 29

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté $(\:|\:)$. On pose $\forall\:x\in E$, $||x||=\sqrt{(x|x)}$.

1. Énoncer et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
2. Dans quel cas a-t-on égalité? Le démontrer.
Soit $E=\left\lbrace f\in\mathcal{C}\left( \left[ a,b\right] ,\mathbb{R}\right) ,\:\forall\:x\in \left[ a,b\right]\:f(x)>0 \right\rbrace$. Prouver que l’ensemble $\left\lbrace \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t\times \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t\:,\:f\in E\right\rbrace$ admet une borne inférieure $m$ et déterminer la valeur de $m$.

Exercice 30

Soit $E$ un espace euclidien.

Soit $A$ un sous-espace vectoriel de $E$. Démontrer que $\left( A^{\perp }\right) ^{\perp }=A$.
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
1. Démontrer que $\left( F+G\right) ^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$.
2. Démontrer que $\left( F\cap G\right) ^{\perp }=F^{\perp}+G^{\perp }$.

Exercice 31

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$.

Soit $h$ une fonction continue et positive de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

Démontrer que $\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\text{d}x=0\Longrightarrow h=0$ .
Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On pose : $\forall\:(f,g)\in E^2$, $\left( f|g\right) =\displaystyle\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\text{d}x$. Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur $E$.
Majorer $\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x}e^{-x}\text{d}x$ en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercice 32

Soit $E $l’espace vectoriel des applications continues et $2\pi$-périodiques de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Démontrer que $\left( f\ |\ g\right) =\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{2\pi }f\left( t\right) g\left( t\right) \text{d}t$ définit un produit scalaire sur $E$.
Soit $F$ le sous-espace vectoriel engendré par $f:x\mapsto \cos x$ et $g:x\mapsto \cos \left( 2x\right)$.

Déterminer le projeté orthogonal sur $F$ de la fonction $u:x\mapsto \sin ^{2}x$.

Exercice 33

On définit dans $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \times \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)$ l’application $\varphi$ par : $\varphi \left( A,A'\right) =\text{tr}\left( ^{t}AA'\right)$, où $\text{tr}\left( ^{t}AA'\right)$ désigne la trace du produit de la matrice $^tA$ par la matrice $A'$. On admet que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\ .$ On note $\mathcal{F}=\left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a% \end{array}% \right),\ \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\}$.

Démontrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)$.
Déterminer une base de $\mathcal{F}^{\perp }$.
Déterminer le projeté orthogonal de $J=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1% \end{array}% \right)$ sur $\mathcal{F}^{\perp }$ .
Calculer la distance de $J$ à $\mathcal{F}$.

Exercice 34

Soit $E$ un espace préhilbertien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie $n>0$.

On admet que, pour tout $x\in E$, il existe un élément unique $y_0$ de $F$ tel que $x-y_0$ soit orthogonal à $F$ et que la distance de $x$ à $F$ soit égale à $\left\Vert x-y_0\right\Vert$.

Pour $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d% \end{pmatrix}$ et $A'=\begin{pmatrix} a^{\prime } & b^{\prime } \\ c^{\prime } & d^{\prime }% \end{pmatrix}$, on pose $\left( A\ |\ A'\right) =aa^{\prime}+bb^{\prime}+cc^{\prime}+dd^{\prime}$.

Démontrer que $\left( \,.\,|\,.\,\right)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)$.
Calculer la distance de la matrice $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 2% \end{array}% \right)$ au sous-espace vectoriel $F$ des matrices triangulaires supérieures.

Exercice 35

Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On considère $E=\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre $n$. On pose : $\forall(A,B)\in E^2$, $\left\langle A\:,B \right\rangle=\mathrm{tr}({}^t\! AB)$ où tr désigne la trace et ${}^t\! A$ désigne la transposée de la matrice $A$.

Prouver que $\left\langle\:,\right\rangle$ est un produit scalaire sur $E$.
On note $S_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices symétriques de $E$. Une matrice $A$ de $E$ est dite antisymétrique lorsque ${}^t\!A=-A$. On note $A_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices antisymétriques de $E$. On admet que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$.
1. Prouver que $E=S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$.
2. Prouver que $A_n(\mathbb{R})^\perp=S_n(\mathbb{R})$.
Soit $F$ l’ensemble des matrices diagonales de $E$. Déterminer $F^\perp$.

Exercice 36

CCINP . Dans $\mathbb{R}^3$, muni du produit scalaire canonique, on considère une droite de vecteur directeur unitaire $u$, et $p$ la projection orthogonale sur cette droite.

a) Donner l'expression de $p(x)$ pour $x \in \mathbb{R}^3$.
b) Soit $P $ le plan d'équation $x - 2y + z = 0$. Donner la matrice de la projection orthogonale $q$ sur ce plan dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.

Exercice 37

Soit $E$ un espace euclidien muni d'une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$. On considère une famille $(u_1,\ldots,u_n)$ de vecteurs de $E$ telle que, pour tout $k\in[\![1,n]\!]$, $\lVert u_k\rVert=\frac1n$. Est-ce que la famille $(e_1+u_1,\ldots,e_n+u_n)$ est une base de $E$?

Exercice 38

IMTTrouver un équivalent de $\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt{k}}$ en utilisant :

i) une comparaison série-intégrale,
ii) les sommes de Riemann.

Exercice 39

CCINP On pose pour $n\in $ : $I_n=\int_0^{\pi/4} (\tan x)^n \mathrm d x$.

a) Déterminer $\lim_{n\to +\infty}I_n$.
b) Calculer $I_n+I_{n+2}$.
c) En déduire $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$. Ind. Faire apparaître un télescopage.
d) Prouver la convergence de $\sum (-1)^n I_n$ et calculer sa somme.

Exercice 40

Donner la définition d’un argument d’un nombre complexe non nul (on ne demande ni l’interprétation géométrique, ni la démonstration de l’existence d’un tel nombre).
Soit $n\in{\mathbb{N}^{*}}$. Donner, en justifiant, les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^{n}=1$ et préciser leur nombre.
En déduire, pour $n\in{\mathbb{N}^{*}}$, les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\left( z+\mathrm{i}\right)^{n}=\left(z-\mathrm{i}\right)^{n}$ et démontrer que ce sont des nombres réels.

Exercice 41

Soit $n \in {\mathbb{N}}$ tel que $n\geqslant 2$. On pose $z = e^{\mathrm{i}\,\frac{2\pi}{n}}$.

On suppose $k\in {\llbracket 1,n-1\rrbracket}$. Déterminer le module et un argument du complexe $\:z^k - 1$.
On pose $\;S = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} \;\left|z^k - 1\right|$. Montrer que $\:S = \dfrac{2}{\tan\frac{\pi}{2n}}$.

Exercice 42

CCINP

a) Résoudre, dans $\C$, l'équation $z^{n}=\mathrm{e}^{i\pi/3}$.
b) Résoudre, dans $\C$, l'équation $\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)^{n}+\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^{n}=1$.

Exercice 43

CCINP . On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des complexes solution de l'équation $z^n = 1$, et $\mathbb{U}$ l'ensemble des complexes de module 1.

Pour $n\in ^*$, on écrit $\left({3 + 4i}\right)^n =A_n+iB_n$ avec $A_n$ et $B_n$ dans $\R$.

a) Montrer que, pour $n\in ^*$, $\U_n\subset \U$. Montrer que, pour tout $n\in ^*$, $\left(\frac{3 + 4i}{5}\right)^n$ appartient à $\mathbb{U}$.
b) Exprimer $A_{n + 1}$ et $B_{n + 1}$ en fonction de $A_n$ et $B_n$.
c) Montrer que les suites $(A_n)$ et $(B_n)$ sont à valeurs dans $\mathbb{Z}$.
d) Montrer que, pour tout $n$, le reste de la division euclidienne de $A_n$ par 5 est 3, et le reste de la division euclidienne de $B_n$ par 5 est 4.
e) En déduire que $\bigcup_{n\in ^*}\U_n \ne\U$.

Exercice 44

IMTSoit $x\in\R$. Calculer $\sum_{k=0}^n {n\choose k}\cos(kx)$.

Exercice 45

Soient $n \in{\mathbb{N}^{*}}$, $P\in{\mathbb{R}_{n}\left[ X\right] }$ et $a \in{\mathbb{R}}$.
1. Donner sans démonstration, en utilisant la formule de Taylor, la décomposition de $P(X)$ dans la base $\left( 1, X-a, \left( X-a\right) ^{2}, \cdots, (X-a)^{n}\right)$.
2. Soit $r\in{\mathbb{N}^{*}}$. En déduire que : $a$ est une racine de $P$ d’ordre de multiplicité $r$ si et seulement si $P^{(r)}(a)\neq 0$ et $\forall k \in{\llbracket 0,r-1 \rrbracket}$ , $P^{(k)}(a)=0$.
Déterminer deux réels $a$ et $b$ pour que $1$ soit racine double du polynôme $P=X^{5}+aX^{2}+bX$ et factoriser alors ce polynôme dans $\mathbb{R}\left[ X\right]$.

Exercice 46

Soient $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}$ , $n+1$ réels deux à deux distincts.

Montrer que si $b_{0},b_{1},\cdots ,b_{n}\;$sont$\;n+1\;$ réels quelconques, alors il existe un unique polynôme $P$ vérifiant

\[ \deg P\leqslant n \:\:\text{et}\:\:\forall i\in \llbracket 0,n\rrbracket,\:\:P\left( a_{i}\right) =b_{i}. \]

Soit $k\in \llbracket 0,n \rrbracket$. Expliciter ce polynôme $P$, que l’on notera $L_{k}$, lorsque :

\[ \forall i\in \llbracket 0 ,n \rrbracket, \ \ b_{i}= \left\{ \begin{array}{lll} 0&\text{si}&i\neq k \\ 1&\text{si}&i=k \end{array} \right. \]

Prouver que $\forall p\in \llbracket 0 ,n \rrbracket$ , $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}^{p}L_{k}=X^{p}$.

Exercice 47

CCINP.
Soit $P=\left(X+1\right)^{n}-1$.

a) Déterminer les racines de $P$ et factoriser $P$ dans $\C[X]$.
b) Calculer $ \prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)$.

Exercice 48

Soit $P\in\mathbb Q_n[X]$. Montrer l'équivalence entre les propriétés:

(i) pour tout $k\in\mathbb Z$, $P(k)\in\mathbb Z$,

(ii) pour tout $k\in[\![ 0,n]\!]$, $P(k)\in\mathbb Z$,

(iii) il existe $m\in\mathbb Z$ tel que, pour tout $k\in[\![m, m+n]\!]$, $P(k)\in\mathbb Z$.

Ind. On pourra introduire les polynômes $H_k=\frac1{k!}X(X-1)\cdots(X-k+1)$.

Exercice 49

Énoncer et démontrer la formule de Bayes pour un système complet d’événements.
On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés (c’est-à-dire truqués). Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $\dfrac{1}{2}$.
1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé?
2. Soit $n\in\mathbb{N}^*.$ On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre $6$. Quelle est la probabilité $p_n$ que ce dé soit pipé?
3. Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}^{}p_n$. Interpréter ce résultat.

Exercice 50

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$. L’urne $U_1$ contient deux boules blanches et trois boules noires. L’urne $U_2$ contient quatre boules blanches et trois boules noires. On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes: on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient. Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne $U_1$. Sinon le tirage suivant se fait dans l’urne $U_2$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note $B_n$ l’événement « la boule tirée au $n^{\text{ième}}$ tirage est blanche » et on pose $p_n=P(B_n)$.

Calculer $p_1$.
Prouver que : $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $p_{n+1}=-\dfrac{6}{35}p_n+\dfrac{4}{7}$.
En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la valeur de $p_n$.

Exercice 51

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble possédant $n$ éléments. On désigne par $\mathcal{P}(E)$ l’ensemble des parties de $E$.

Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\subset B$.
Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\cap B=\emptyset$.
Déterminer le nombre $c$ de triplets $(A,B,C)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^3$ tels que $A$, $B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et vérifient $A\cup B\cup C=E$.

Exercice 52

Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.

Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées. On note $Y$ le nombre de points obtenus par le joueur sur une partie.
1. Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
2. Déterminer la loi de $Y$, son espérance et sa variance.
Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans remise.
1. Déterminer la loi de $X$.
2. Déterminer la loi de $Y$.

Exercice 53

Une secrétaire effectue, une première fois, un appel téléphonique vers $n$ correspondants distincts. On admet que les $n$ appels constituent $n$ expériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est $p$ ($p\in{\left] 0,1\right[ }$). Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.

Donner la loi de $X$. Justifier.
La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des $n-X$ correspondants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la première série d’appels. On note $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d’appels.
1. Soit $i\in \llbracket 0,n \rrbracket$. Déterminer, pour $k\in \mathbb{N},$ $P(Y=k|X=i)$.
2. Prouver que $Z=X+Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
  
  Indication : on pourra utiliser, sans la prouver, l’égalité suivante: $\dbinom{n-i}{k-i}\dbinom{n}{i}=\dbinom{k}{i}\dbinom{n}{k}$.
3. Déterminer l’espérance et la variance de $Z$.

Exercice 54

(erreur, non accessible en sup) Soit $N\in\mathbb{N}^*$. Soit $p\in\left] 0,1\right[$. On pose $q=1-p$. On considère $N$ variables aléatoires $X_1,X_2,\cdots,X_N$ définies sur un même espace probabilisé $\left(\Omega,\mathcal{A},P\right)$, mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre $p$.

Soit $i\in\llbracket1,N\rrbracket$. Soit $n\in{\mathbb{N}^*}$. Déterminer $P(X_i\leqslant n)$, puis $P(X_i> n)$.
On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y=\underset{1\leqslant i\leqslant N}{\min}(X_i)$ c’est-à-dire $\forall \omega \in\Omega$, $Y(\omega)=\min\left(X_1(\omega),\cdots,X_N(\omega)\right)$, $\min$ désignant « le plus petit élément de ».
1. Soit $n\in{\mathbb{N}^*}$. Calculer $P(Y>n)$. En déduire $P(Y\leqslant n)$, puis $P(Y=n)$.
2. Reconnaître la loi de $Y$. En déduire $E(Y)$.

Exercice 55

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ et d’une boîte formée de trois compartiments identiques également numérotés de 1 à 3. On lance simultanément les $n$ boules. Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. Chaque compartiment peut éventuellement contenir les $n$ boules. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides.

Préciser les valeurs prises par $X$.
1. Déterminer la probabilité $P(X=2)$.
2. Finir de déterminer la loi de probabilité de $X$.
1. Calculer $E(X)$.
2. Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}E(X)$. Interpréter ce résultat.

Exercice 56

Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Une urne contient $n$ boules blanches numérotées de 1 à $n$ et deux boules noires numérotées 1 et 2. On effectue le tirage une à une, sans remise, de toutes les boules de l’urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule blanche. On note $Y$ la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule numérotée 1.

Déterminer la loi de $X$.
Déterminer la loi de $Y$.

Exercice 57

IMT . Soient $n \in \mathbb{N}$ et $X, Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ [![ 1, n + 1 ]!] $, de loi conjointe donnée par $\forall (i, j) \in [\![ 1, n + 1 ]\!] ^2, \ \P(X = i, Y = j) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{n}{i - 1} \binom{n}{j - 1}$.

a) Vérifier que $\forall i \in [\![ 1, n + 1 ]\!] , \ \P(X = i) = \frac{1}{2^n}\binom{n}{i - 1}$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
b) Quelle loi suit $X - 1$ ? Calculer l'espérance et la variance de $X$.
c) Calculer $\E(e^X)$.

Corrigés

Corrigé 1

Par hypothèse, $\exists\:N_0\in\mathbb{N}/\forall\:n\in\mathbb{N}, n\geqslant N_0\Longrightarrow v_n\neq 0$. Ainsi la suite $\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est définie à partir du rang $N_0$. De plus, comme $u_{n}\underset{+\infty}\thicksim v_{n}$, on a $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}\dfrac{u_n}{v_n}=1$. Alors, $\forall\:\varepsilon>0$, $\exists N\in\mathbb{N}/N\geqslant N_0$ et $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow\left|\dfrac{u_n}{v_n}-1\right|\leqslant\varepsilon$.(1) Prenons $\varepsilon=\dfrac{1}{2}$. Fixons un entier $N$ vérifiant $(1)$. Ainsi, $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow\left|\dfrac{u_n}{v_n}-1\right|\leqslant\dfrac{1}{2}$. C’est-à-dire, $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow -\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{u_n}{v_n}-1\leqslant\dfrac{1}{2}$. On en déduit que $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow \dfrac{u_n}{v_n}\geqslant \dfrac{1}{2}$. Et donc, $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow \dfrac{u_n}{v_n}> 0$. Ce qui implique que $u_n$ et $v_n$ sont de même signe à partir du rang $N$.
Au voisinage de $+ \infty$, $\textrm{sh} (\dfrac{1}{n}) = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{6n^3 }} + o\left( {\dfrac{1}{{n^3 }}} \right)\text{ et }\tan \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{3n^3 }} + o\left( {\dfrac{1}{{n^3 }}} \right)$. Donc $u_n \underset{+\infty}\thicksim - \dfrac{1}{{6n^3 }}$. On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, $u_n$ est négatif.

Corrigé 2

On pose $f(x)=\mathrm{Arctan}\: x$.

1. Premier cas: Si $u_1<u_0$ Puisque la fonction $f:x \mapsto \mathrm{Arctan}\: x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ alors $\mathrm{Arctan}(u_1)< \mathrm{Arctan}(u_0)$ c’est-à-dire $u_2 < u_1$. Par récurrence, on prouve que $\forall n \in{\mathbb{N}} \:,\: u_{n+1} < u_n$. Donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
  Deuxième cas: Si $u_1>u_0$ Par un raisonnement similaire, on prouve que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
  Troisième cas : Si $u_1=u_0$ La suite $(u_n)$ est constante.
  
  Pour connaître les variations de la suite $(u_n)$, il faut donc déterminer le signe de $u_1-u_0$, c’est-à-dire le signe de $\mathrm{Arctan} (u_0)-u_0$. On pose alors $g(x)=\mathrm{Arctan} x -x$ et on étudie le signe de la fonction $g$. On a $\forall x\in{\mathbb{R} }$, $g'(x)=\dfrac{-x^2}{1+x^2}$ et donc $\forall\:x\in\mathbb{R}^*$, $g'(x)<0$. Donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ et comme $g(0)=0$ alors : $\forall x\in{ \left] 0,+\infty\right[ }$, $g(x)< 0$ et $\forall x\in{ \left]-\infty,0\right[ }$, $g(x)> 0$. On a donc trois cas suivant le signe de $x_0$: - Si $x_0>0$, la suite$(u_n)$ est strictement décroissante. - Si $x_0=0$, la suite $(u_n)$ est constante. - Si $x_0<0$, la suite$(u_n)$ est strictement croissante.
2. La fonction $g$ étant strictement décroissante et continue sur $\mathbb{R}$, elle induit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$. $0$ admet donc un unique antécédent par $g$ et, comme $g(0)=0$, alors 0 est le seul point fixe de $f$. Donc si la suite $(u_n)$ converge, elle converge vers 0, le seul point fixe de $f$.
  Premier cas: Si $u_0>0$ L’intervalle $\left] 0,+\infty\right[$ étant stable par $f$, on a par récurrence, $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n > 0$. Donc la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge et ce vers 0, unique point fixe de $f$.
  Deuxième cas: Si $u_0<0$ Par un raisonnement similaire, on prouve que $(u_n)$ est croissante et majorée par 0, donc elle converge vers 0.
  Troisième cas: Si $u_0=0$ La suite $(u_n)$ est constante.
Conclusion: $\forall\:u_0\in\mathbb{R}$, $(u_n)$ converge vers 0.
Soit $h$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que, $\forall x \in \mathbb{R}$, $h(x)=h(\mathrm{Arctan}\: x)$. Soit $x \in \mathbb{R}$. Considérons la suite $(u_n)$ définie par $u_0=x$ et $\forall n\in\mathbb{N}\:,\: u_{n+1}=\mathrm{Arctan}(u_n)$. On a alors $h(x)=h(u_0)=h(\mathrm{Arctan}(u_0))=h(u_1)=h(\mathrm{Arctan}(u_1))=h(u_2)=\dots$. Par récurrence, on prouve que, $\forall n \in {\mathbb{N}}$, $h(x)=h(u_n)$. De plus $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} h(u_n)=h(0)$ par convergence de la suite $(u_n)$ vers $0$ et par continuité de $h$. On obtient ainsi: $h(x)=h(0)$ et donc $h$ est une fonction constante. Réciproquement, toutes les fonctions constantes conviennent. Conclusion: Seules les fonctions constantes répondent au problème.

Corrigé 3

1. Montrons que $E$ est un sous-espace-vectoriel de l’ensemble des suites à valeurs complexes. La suite nulle appartient à $E$ ( obtenue pour ($u_0,u_1)=(0,0))$. Soit $u=(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de $E$. Soit $\lambda\in\mathbb{C}$. Montrons que $w=u+\lambda v\in E$. On a $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $w_n=u_n+\lambda v_n$. Soit $n\in\mathbb{N}$. $w_{n+2}=u_{n+2}+\lambda v_{n+2}$. Or $(u,v)\in E^2$, donc $w_{n+2}=2au_{n+1}+4(ia-1)u_n+\lambda \left( 2av_{n+1}+4(ia-1)v_n\right)$ c’est-à-dire $w_{n+2}=2a\left( u_{n+1}+\lambda v_{n+1}\right)+4(ia-1)\left( u_{n}+\lambda v_{n}\right)$ ou encore $w_{n+2}=2aw_{n+1}+4(ia-1)w_n$. Donc $w\in E$. Donc $E$ est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites à valeurs complexes.
2. On considère l’application $\varphi$ définie par: $\varphi:\, \begin{array}{lll} E &\longrightarrow& \mathbb{C}^2\\ u=(u_n)_{n\in\mathbb{N}}&\longmapsto &(u_0,u_1) \end{array}$ Par construction, $\varphi$ est linéaire et bijective. Donc $\varphi$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On en déduit que $\dim E=\dim \mathbb{C}^2=2$.
Il s’agit d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants. On introduit l’équation caractéristique $(E)$ : $r^2-2ar-4(ia-1)=0.$ On a deux possibilités :
- si $(E)$ admet deux racines distinctes $r_1$ et $r_2$, alors $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $u_n= \alpha r_1^n+\beta r_2^n$ avec $(\alpha,\beta)$ que l’on détermine à partir des conditions initiales.
- si $(E)$ a une unique racine double $r$, alors $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $u_n=(\alpha n +\beta) r^n$ avec $(\alpha,\beta)$ que l’on détermine à partir des conditions initiales.
Le discriminant réduit de $(E)$ est $\Delta'=a^2+4ia-4=(a+2i)^2.$ Premier cas : $a=-2i$ $r=a=-2i$ est racine double de $(E)$. Donc, $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $u_n=(\alpha n+\beta )(-2i)^n$. Or $u_0=1$ et $u_1=1$, donc $1=\beta$ et $1=(\alpha +\beta)(-2i)$. On en déduit que $\alpha=\dfrac{i}{2}-1$ et $\beta=1$.

Deuxième cas: $a\neq -2i$ On a deux racines distinctes $r_1=2(a+i)$ et $r_2=-2i$. Donc $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $u_n=\alpha \left( 2(a+i)\right)^n +\beta\left(-2i \right) ^n$. Or $u_0=1$ et $u_1=1$, donc $\alpha+\beta=1$ et $2(a+i)\alpha-2i\beta=1$. On en déduit, après résolution, que $\alpha=\dfrac{1+2i}{2a+4i}$ et $\beta=\dfrac{2a+2i-1}{2a+4i}$.

Corrigé 4

Calculons bêtement :

\[ \begin{align*} P_{n+1}' &= (\sum_{k=0}^{2n+3}\frac{(-X)^k}{k!})'\\ &= -\sum_{k=1}^{2n+3}\frac{(-X)^{k-1}}{(k-1)!}\\ &= -\sum_{k=0}^{2n+2}\frac{(-X)^{k}}{(k)!}\\ &= -\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-X)^{k}}{(k)!}-\frac{X^{2n+2}}{(2n+2)!}\\ &= -P_n-\frac{X^{2n+2}}{(2n+2)!} \end{align*} \]

On a alors :

\[ \begin{align*} P_{n+1}'' &= -P_n'-\frac{X^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &=P_{n-1}+\frac{X^{2n}}{(2n)!}-\frac{X^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &=P_n \end{align*} \]

Par récurrence, l'héridité est triviale ($P_0=1-X$ est décroissante et s'annule une unique fois)

Concentrons nous sur l'hérédité. Soit $n\in\mathbb N, on suppose $p_n$ strictement décroissante et qui s'annule en une unique valeur notée $u_n$. On a $p_{n+1}''=p_n$ donc $p_{n+1}'$ est croissante sur $[-\infty,u_n]$ et décroissante sur $[u_n,+\infty]$. Elle admet alors un maximum en $u_n$. Or $p_{n+1}'(u_n)=-p_n(u_n)-\frac{u_n^{2n+2}}{(2n+2)!}=0-\frac{u_n^{2n+2}}{(2n+2)!}=-\frac{u_n^{2n+2}}{(2n+2)!}<0$ (car il est évident que $u_n\ne 0$). On en déduit que le maximum de $P_{n+1}'$ est sctrictement négatif et donc que $p_{n+1}'$ est strictement négative : $p_{n+1}$ est strictement décroissante. Or c'est une fonction polynômiale donc elle s'annule une unique fois sur $\mathbb R$.

Enfin $P_n$ est un polynôme de degré impair et strictement décroissant, donc il admet une unique solution $u_n$ sur $\mathbb R$.

On a alors en regroupant termes pairs et impairs :

\[ \begin{align*} P_n&=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-X)^k}{k!}\\ &=\sum_{p=0}^n\frac{(-X)^{2p}}{(2p)!}+\frac{(-X)^{2p+1}}{(2p+1)!}\\ &=\sum_{p=0}^n \frac{X^{2p}}{(2p)!}(1-\frac{X}{2p+1}) \end{align*} \]

On calcule alors $P(1)>0$ et

\[ \begin{align*} P(2n+1) &= \sum_{p=0}^{n}\frac{(2n+1)^{2p}}{(2p)!}\underset{<0}{\underbrace{(1-\frac{2n+1}{2k+1})}}\\ &<0 \end{align*} \]

D'après le TVi, un fonction polynômiale étant continue, $u_n\in[1,2n+1]$.

Calculons enfin $P_{n+1}(u_n)=P_n(u_n)+\frac{u_n^{2n}}{(2n!)}-\frac{u_n^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{u_n^{2n}}{(2n)!}\left(1-\frac{u_n}{2n+1}\right)$. On $u_n<2n+1$ donc $(1-\frac{u_n}{2n+1})>0$ et ainsi $P_{n+1}(u_n)>0$. On en déduit d'après les variations de $P_{n+1}$ que $u_n<u_{n+1}$ : la suite $u_n$ est monotone croissante (strictement).

Corrigé 5

a) $f_n$ est dérivable de dérivée $f_n'(x)=3nx^{3n-1}-\sqrt n=\sqrt n(3\sqrt n x^{3n-1}-1)$. Si $x\ge 1$, cette quantité est strictement positive, donc $f_n$ est strictement croissante sur $[1,2]$ en particulier. Or $f_n(1)=2-\sqrt n<0$ car $n\ge 4$ et $f_n(2)=2^{3n}-2\sqrt n+1>0$ On en déduit que $f_n(x)=0$ admet une unique solution entre $1$ et $2$.

b) Nous allons utiliser une inégalité classique : pour $u\ge 0$, $\ln(1+u)\ge u-\frac{u^2}{2}$ ; qu'on peut démontrer par une étude de fonction.

\[ \begin{aligned} f_n(1+\frac 1{\sqrt n})&=(1+\frac 1{\sqrt n})^{3n}-\sqrt n\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)+1\\ &=\exp(3n\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right))-\sqrt n\\ &\ge \exp(3\sqrt n-\frac 32)-\sqrt n\\ &\ge \exp(3\sqrt n-\frac32)-\sqrt n\\ &\ge 1+3\sqrt n-\frac 32-\sqrt n\\ &\ge 2\sqrt n-\frac 12 \end{aligned} \]

car $\exp(u)\ge 1+u$. On en déduit donc que $f(1+\frac1{\sqrt n})\ge 0$ et donc $1\le x_n\le 1+\frac1{\sqrt n}$. Par encadrement, on a donc $\epsilon_n\to 0$.

c) On a alors $x_n^{3n}=\sqrt nx_n-1$ donc $x_n^{3n-1}\sim \sqrt n$. c'est à dire $3n\ln(x_n)=\ln(\sqrt nx_n-1)=\ln(\sqrt nx_n)+\ln(1-\frac{1}{\sqrt nx_n})$. D'où $6n\ln(x_n)=\ln(n)+2\ln(x_n)+2\ln(1-\frac{1}{\sqrt nx_n})$ dont on déduit $6n\ln(x_n)\sim\\ln(n)$. Or $\ln(x_n)\sim x_n-1$ donc $x_n-1\sim\frac{\ln(n)}{6n}$. On en déduit $x_n=1+\frac{\ln(n)}{6n}+o(\frac{\ln(n)}{n})$.

d) On cherche un terme en plus. On a

\[ \begin{aligned} x_n&=(\sqrt n x_n-1)^{1/3n}\\ &=\exp(\frac 1{3n}\ln(\sqrt n x_n-1))\\ &=\exp(\frac 1{3n}\ln(\sqrt n+\frac{\ln(n)}{6\sqrt n}-1+o(\frac{\ln n}{\sqrt n})))\\ &=\exp(\frac{\ln(n)}{6n}+\frac 1{3n}\ln(1-\frac 1{\sqrt n}+\frac{\ln(n)}{6n}+o(\frac{\ln n}{n})))\\ &=\exp(\frac{\ln(n)}{6n}+\frac 1{3n}\ln(1-\frac 1{\sqrt n}+o(\frac{1}{\sqrt n})))\\ &=\exp(\frac{\ln(n)}{6n}-\frac 1{3n\sqrt n}+o(\frac 1{n\sqrt n}))\\ &=1+\frac{\ln(n)}{6n}-\frac 1{3n\sqrt n}+o(\frac 1{n\sqrt n}) \end{aligned} \]

Corrigé 6

$g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et $h$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}\backslash\left\lbrace-1 \right\rbrace$. On prouve, par récurrence, que : $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $g^{(k)}(x)=2^k\mathrm{e}^{2x}$ et $\forall\:x\in\mathbb{R}\backslash\left\lbrace-1 \right\rbrace$, $h^{(k)}(x)=\dfrac{(-1)^kk!}{(1+x)^{k+1}}$.
$g$ et $h$ sont de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}\backslash\left\lbrace-1 \right\rbrace$ donc, d’après la formule de Leibniz, $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}\backslash\left\lbrace-1 \right\rbrace$ et $\forall\:x\in \mathbb{R}\backslash\left\lbrace-1 \right\rbrace$: $f^{(n)}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}g^{(n-k)}(x)h^{(k)}(x)= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}2^{n-k}\mathrm{e}^{2x}\dfrac{(-1)^k k!}{(1+x)^{k+1}}= n!\mathrm{e}^{2x}\sum\limits_{k = 0}^n \dfrac{{( - 1)^k 2^{n - k} }}{{(n - k)!}(1 + x)^{k + 1}}$.
Notons $(P_n)$ la propriété: Si $f:I \to \mathbb{R}$ et $g:I \to \mathbb{R}$ sont $n$ fois dérivables sur $I$ alors, $fg$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et : $\forall \:x\in I$, $(fg)^{(n)}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x)$. Prouvons que $(P_n)$ est vraie par récurrence sur $n$. La propriété est vraie pour $n = 0$ et pour $n=1$ (dérivée d’un produit). Supposons la propriété vraie au rang $n \geqslant 0$. Soit $f:I \to \mathbb{R}$ et $g:I \to \mathbb{R}$ deux fonctions $n + 1$ fois dérivables sur $I$. Les fonctions $f$ et $g$ sont, en particulier, $n$ fois dérivables sur $I$ et donc par hypothèse de récurrence la fonction $fg$ l’est aussi avec $\forall \:x\in I$, $(fg)^{(n)}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x)$.

Pour tout $k \in \left\{ {0, \ldots ,n} \right\}$, les fonctions $f^{(n - k)}$ et $g^{(k)}$ sont dérivables sur $I$ donc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction $(fg)^{(n)}$ est encore dérivable sur $I$. Ainsi la fonction $fg$ est $(n + 1)$ fois dérivable et: $\forall \:x\in I$,$(fg)^{(n+1)}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}\left( f^{(n+1-k)}(x) g^{(k)}(x)+f^{(n-k)}(x) g^{(k+1)}(x)\right)$. En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d’indice sur la deuxième somme, on obtient: $\forall \:x\in I$, $(fg)^{(n+1)}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} f^{(n+1-k)}(x) g^{(k)}(x) + \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1} \dbinom{n}{k-1}f^{(n+1-k)}(x) g^{(k)}(x)$. C’est-à-dire $(fg)^{(n+1)}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\left( \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}\right)f^{(n+1-k)}(x) g^{(k)}(x)+\dbinom{n}{0}f^{(n+1)}(x)g^{(0)}(x)+ \dbinom{n}{n}f^{(0)}(x)g^{(n+1)}(x)$. Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}=\dbinom{n+1}{k}$. On remarque également que $\dbinom{n}{0}=1=\dbinom{n+1}{0}$ et $\dbinom{n}{n}=1=\dbinom{n+1}{n+1}$. On en déduit que $(fg)^{(n+1)}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n+1} \dbinom{n+1}{k}f^{(n+1-k)}(x) g^{(k)}(x)$. Donc $(P_{n+1})$ est vraie.

Corrigé 7

Théorème des accroissements finis : Soit $f:\left[ a,b\right] \longrightarrow \mathbb{R}$. On suppose que $f$ est continue sur $\left[ a,b\right]$ et dérivable sur $\left]a,b \right[$. Alors $\exists\:c\in \left]a,b \right[$ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.
On pose $l=\lim\limits_{x\to x_0}^{}\ f'(x )$. Soit $h \ne 0$ tel que $x_0 + h \in \left[ {a,b} \right]$. En appliquant le théorème des accroissements finis, à la fonction $f$, entre $x_0$ et $x_0 + h$, on peut affirmer qu’il existe $c_h$ strictement compris entre $x_0$ et $x_0 + h$ tel que $f(x_0 + h) - f(x_0 ) = f'(c_h )h$. Quand $h \to 0$ (avec $h \ne 0$), on a, par encadrement, $c_h \to x_0$. Donc $\lim\limits_{h\to 0}^{}\dfrac{1}{h}\left( {f(x_0 + h) - f(x_0 )} \right) =\lim\limits_{h\to 0}^{}\ f'(c_h ) =\lim\limits_{x\to x_0}^{}\ f'(x ) =l$. On en déduit que $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0 ) = l$.
La fonction $g$ proposée dans l’indication est évidemment dérivable sur $\left] { - \infty ,0} \right[$ et $\left] {0, + \infty } \right[$. $g$ est également dérivable en 0 car $\dfrac{1}{h}\left( {g(h) - g(0)} \right) = h\sin \left( \dfrac{1}{h} \right)$. Or $\lim\limits_{\underset{h\neq 0}{h\to 0}}^{}h\sin \left( \dfrac{1}{h} \right)=0$ car $|h\sin \left( \dfrac{1}{h} \right)|\leqslant |h|$. Donc, $g$ est dérivable en $0$ et $g'(0)=0$. Cependant, $\forall \:x\in\mathbb{R}\backslash \left\lbrace 0\right\rbrace$, $g'(x) = 2x\sin \left( \dfrac{1}{x}\right) - \cos \left( \dfrac{1}{x} \right)$. $2x\sin \left( \dfrac{1}{x}\right) \xrightarrow[{x \to 0}]{}0$ (car $|2x\sin(\dfrac{1}{x})|\leqslant2|x|)$, mais $x\longmapsto\cos \left( \dfrac{1}{x}\right)$ n’admet pas de limite en 0. Donc $g'$ n’a pas de limite en $0$.

Corrigé 8

Par hypothèse: $\forall \:\varepsilon >0,\:\exists\:N\in\mathbb{N}/\:\forall n\geqslant N,\:|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-l|\leqslant \varepsilon$.(1) Prenons $\varepsilon=\dfrac{1-l}{2}$. Fixons un entier $N$ vérifiant (1). Alors $\forall\:n\in\mathbb{N},\: n\geqslant N\Longrightarrow\:|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-l|\leqslant \dfrac{1-l}{2}$. Et donc, $\forall n\geqslant N,\:\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant \dfrac{1+l}{2}$. On pose $q=\dfrac{1+l}{2}$. On a donc $q\in \left] 0,1\right[$. On a alors $\forall n\geqslant N,\:u_{n+1}\leqslant q u_n$. On en déduit, par récurrence, que $\forall n\geqslant N,\:u_{n}\leqslant q^{n-N} u_N.$ Or $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant N}^{}q^{n-N}u_N=u_Nq^{-N}\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant N}^{}q^n$ et $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant N}^{}q^n$ converge car $q\in \left] 0,1\right[$. Donc, par critère de majoration des séries à termes positifs, $\displaystyle\sum u_n$ converge.
On pose : $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $u_n=\dfrac{n!}{n^n}$. $\forall \:n\in\mathbb{N}^{*}$, $u_n> 0$ et $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n^n}{(n+1)^{n}}=\mathrm{e}^{-n\ln(1+\dfrac{1}{n})}$. Or $-n\ln(1+\dfrac{1}{n})\underset{+\infty}{\thicksim}-1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\mathrm{e}^{-1}<1$. Donc $\displaystyle\sum u_n$ converge.

Corrigé 9

Par hypothèse, $\exists\:N_0\in\mathbb{N}/\:\:\forall\:n\in\mathbb{N}, n\geqslant N_0\Longrightarrow v_n\neq 0$. Ainsi la suite $\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est définie à partir du rang $N_0$. De plus, on suppose que $u_{n}\underset{+\infty}\thicksim v_{n}$. On en déduit que $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}\dfrac{u_n}{v_n}=1$. Alors, $\forall\:\varepsilon>0$, $\exists N\in\mathbb{N}\:\text{tel que}\:N\geqslant N_0$ et $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow\left|\dfrac{u_n}{v_n}-1\right|\leqslant\varepsilon$.(1) Prenons $\varepsilon=\dfrac{1}{2}$. Fixons un entier $N$ vérifiant $(1)$. Ainsi, $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow\left|\dfrac{u_n}{v_n}-1\right|\leqslant\dfrac{1}{2}$. C’est-à-dire, $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow -\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{u_n}{v_n}-1\leqslant\dfrac{1}{2}$. On en déduit que $\forall\:n\in\mathbb{N},n\geqslant N\Longrightarrow \dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{u_n}{v_n}\leqslant\dfrac{3}{2}$.(*)

Premier cas: Si $\displaystyle\sum v_n$ converge D’après (*), $\forall \:n\geqslant N$, $u_n\leqslant \dfrac{3}{2}v_n$. Donc, par critère de majoration des séries à termes positifs, $\displaystyle\sum u_n$ converge.

Deuxième cas: Si $\displaystyle\sum v_n$ diverge D’après (*), $\forall \:n\geqslant N$, $\dfrac{1}{2}v_n\leqslant u_n$. Donc, par critère de minoration des séries à termes positifs, $\sum u_n$ diverge. Par symétrie de la relation d’équivalence, on obtient le résultat.
On pose $\forall \:n\geqslant 2$, $u_n=\dfrac{\left((-1)^n+\mathrm{i}\right)\ln n \sin \left( \dfrac{1}{n}\right) }{\left(\sqrt{n+3}-1\right)}$. $|u_n|=\dfrac{\sqrt{2}\ln n\sin(\dfrac{1}{n})}{\left( \sqrt{n+3}-1\right) }$. De plus $|u_n|\underset{+\infty}\thicksim\dfrac{\sqrt{2}\ln n}{n^{\frac{3}{2}}}=v_n$ On a $n^{\frac{5}{4}}v_n=\dfrac{\sqrt{2}\ln n}{n^{\frac{1}{4}}}$, donc $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}n^{\frac{5}{4}}v_n=0$. On en déduit que $\displaystyle\sum v_n$ converge. D’après 1., $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 2}^{}|u_n|$ converge. Donc $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 2}^{}u_n$ converge absolument. De plus, la suite $(u_n)_{n\geqslant2}$ est à valeurs dans $\mathbb{C}$, donc $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 2}^{}u_n$ converge.

Corrigé 10

1. $S_{2n + 2} - S_{2n } = u_{2n + 2} - u_{2n + 1} \leqslant 0$, donc $(S_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante. De même $S_{2n + 3} - S_{2n + 1} \geqslant 0$, donc $(S_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante. De plus $S_{2n} - S_{2n + 1} = u_{2n + 1}$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}u_{2n + 1}=0$, donc $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}(S_{2n} - S_{2n + 1}) =0$. On en déduit que les suites $(S_{2n} )_{n \in \mathbb{N}}$ et $(S_{2n + 1} )_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. Donc elles convergent et ce vers une même limite. Comme $(S_{2n} )_{n \in \mathbb{N}}$ et $(S_{2n + 1} )_{n \in \mathbb{N}}$ recouvrent l’ensemble des termes de la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$, on en déduit que la suite $(S_n )_{n \in \mathbb{N}}$ converge aussi vers cette limite. Ce qui signifie que la série $\displaystyle\sum {( - 1)^k u_k }$ converge.
2. Le reste $R_n = \displaystyle\sum\limits_{k = n + 1}^{ + \infty } {( - 1)^k u_k }$ vérifie $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $\left| {R_n } \right| \leqslant u_{n + 1}$.
On pose : $\forall \:x\in\mathbb{R}$, $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $f_n(x)=\dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$. On a alors $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $f_n(x)=(-1)^nu_n(x)$ avec $u_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{n}$.
1. Soit $x\in\mathbb{R}$. Si $x<0$, alors $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}|f_n(x)| =+\infty$, donc $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}f_n(x)$ diverge grossièrement. Si $x\geqslant 0$, alors $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est positive, décroissante et $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}u_n(x)=0$. Donc d’après 1.(a), $\sum\limits_{n\geqslant1}^{}f_n(x)$ converge. Donc $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}f_n$ converge simplement sur $\left[ 0,+\infty\right[$.
  
  Remarque: pour $x> 0$, on a aussi convergence absolue de $\sum\limits_{n\geqslant1}^{}f_n(x)$. En effet, pour tout réel $x> 0$, $n^2|f_n(x)|=n\mathrm{e}^{-nx}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}0$ donc, au voisinage de $+\infty$, $|f_n(x)|=o\left( \dfrac{1}{n^2}\right)$.
2. Comme $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}f_n$ converge simplement sur $\left[ 0,+\infty\right[$, on peut poser $\forall \:x\in \left[ 0,+\infty\right[$, $R_n(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}f_k(x)$. Alors, comme, $\forall \:x\in \left[ 0,+\infty\right[$, $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est positive, décroissante et $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}u_n(x)=0$, on en déduit, d’après 1.(b), que: $\forall \:x\in \left[ 0,+\infty\right[$, $|R_n(x)|\leqslant \dfrac{e^{-(n+1)x}}{n+1}$. Et donc $\forall \:x\in \left[ 0,+\infty\right[$, $|R_n(x)|\leqslant \dfrac{1}{n+1}$. (majoration indépendante de $x$) Et comme $\lim\limits_{n\to +\infty}^{} \dfrac{1}{n+1}=0$, alors $(R_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $\left[ 0,+\infty\right[$. C’est-à-dire $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}f_n$ converge uniformément sur $\left[ 0,+\infty\right[$.

Corrigé 11

$\pi \sqrt{n^2+n+1}=n\pi\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$. Or, au voisinage de $+\infty$, $\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}=1+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n^2})-\dfrac{1}{8n^2}+O(\dfrac{1}{n^3})= 1+\dfrac{1}{2n} +\dfrac{3}{8n^2}+O(\dfrac{1}{n^3})$. Donc, au voisinage de $+\infty$, $\pi \sqrt{n^2+n+1}=n\pi+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3}{8}\dfrac{\pi}{n}+O(\dfrac{1}{n^2})$.
On pose $\forall n \in{\mathbb{N}^*}$, $v_n=\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right)$.

D’après 1., $v_n=\cos\left( n\pi+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3}{8}\dfrac{\pi}{n}+O(\dfrac{1}{n^2})\right) =(-1)^{n+1}\sin\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{\pi}{n}+O(\dfrac{1}{n^2})\right)$. Donc $v_n=\dfrac{3\pi}{8}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}+O(\dfrac{1}{n^2})$.

Or $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (d’après le critère spécial des séries alternées) et $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}O(\dfrac{1}{n^2})$ converge (par critère de domination), donc $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{v_n}$ converge.
D’après le développement asymptotique du 2., on a $|v_n| \underset{+\infty}{\thicksim} \dfrac{3\pi}{8n}$. Or $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\dfrac{1}{n}$ diverge (série harmonique), donc $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}|{v_n}|$ diverge, c’est-à-dire $\sum\limits_{n\geqslant 1}{v_n}$ ne converge pas absolument.

Corrigé 12

On a :

\[ \begin{align*} u_n=\frac{(-1)^n}{n^{3/4}(1+\sin(n)n^{-3/4}}\\ &=\frac{(-1)^n}{n^{3/4}}(1-\frac{\sin(n)}{n^{3/4}}+o(\frac1{n^{3/4}})\\ &=\underset{v_n}{\underbrace{\frac{(-1)^n}{n^{3/4}}}}+\underset{w_n}{\underbrace{\frac{(-1)^n\sin(n)}{n^{3/2}}}}+o(\frac 1{n^{3/2}} \end{align*} \]

Or $v_n$ est le terme général d'une série convergente (par critère des séries alternées) et $w_n$ est le terme général d'une série absolument convergente (par comparaison à une série de Riemann $\sum\frac 1{n^{3/2}}$ convergente). Donc $\sum u_n$ converge.

Corrigé 13

Calculons :

\[ \begin{align*} u_n&=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt n+e^{in\varphi}}\\ &=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt n}\frac 1{1+\frac{e^{in\varphi}}{\sqrt n}}\\ &=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt n}(1-\frac{e^{in\varphi}}{\sqrt n}+O(\frac1{n}))\\ &=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt n}-\frac{e^{in(\theta+\varphi)}}{n}+O(\frac1{ n\sqrt n})\\ \end{align*} \]

Posons $v_n=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt n}$ et $w_n=\frac{e^{in(\theta+\varphi)}}{n}$. Le $O(\frac1{n\sqrt n})$ est le terme général d'une série absolument convergente, la convergence de $\sum u_n$ dépend de la convergence de $\sum v_n+w_n$.

Si $\theta$ et $\varphi$ sont des multiples impairs de $\pi$, alors $v_n$ est le terme général d'une série alternée donc convergente mais $w_n$ est divergente. Le $O$ étant le terme général d'une série absolument convergente, on en déduit $\sum u_n$ diverge.
Si $\theta$ est un multiple pair et $\varphi$ un multiple impair alors $\sum v_n$ diverge et $\sum w_n$ converge donc $\sum u_n$ diverge.
Si $\theta$ est un multiple impair et $\varphi$ un multiple pair, alors $\sum v_n$ converge ainsi que $\sum w_n$ par CSSA. Donc $\sum u_n$ converge
Si $\theta$ et $\varphi$ sont des multiples pairs, alors $v_n+w_n=\frac 1{\sqrt n}-\frac 1n=\frac{\sqrt n -1}{n}\sim\frac 1{\sqrt n}$ qui est le terme général d'un série divergente. Par théorème de comparaison des séries à termes positifs, $\sum u_n$ diverge.

Corrigé 14

Par opérations sur les fonctions continues, $f$ est continue sur l’ouvert $\mathbb{R}^2 \backslash \left\{ {(0,0)} \right\}$. On considère la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^2$ définie par $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2$, $||(x,y)||_2=\sqrt{x^2+y^2}$. On a $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2$, $|x|\leqslant ||(x,y)||_2$ et $|y|\leqslant||(x,y)||_2$. On en déduit que $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash\left\lbrace (0,0)\right\rbrace$, $|f(x,y)-f(0,0)|=\dfrac{|x||y|}{||(x,y)||_2}\leqslant\dfrac{\left( ||(x,y)||_2\right) ^2}{||(x,y)||_2}=||(x,y)||_2\underset{(x,y)\to (0,0)}{\longrightarrow} 0$. On en déduit que $f$ est continue en $(0,0)$. Ainsi $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
Par opérations sur les fonctions admettant des dérivées partielles, $f$ admet des dérivées partielles en tout point de l’ouvert $\mathbb{R}^2 \backslash \left\{ {(0,0)} \right\}$. En $(0,0)$: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \dfrac{1}{t}\left( {f(t,0) - f(0,0)} \right) = 0\text{ }$, donc $f$ admet une dérivée partielle en $(0,0)$ par rapport à sa première variable et $\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0) = 0$. De même, $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \dfrac{1}{t}\left( {f(0,t) - f(0,0)} \right) = 0\text{ }$. Donc $f$ admet une dérivée partielle en $(0,0)$ par rapport à sa seconde variable et $\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0) = 0$.
D’après le cours, $f$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ si et seulement si $\dfrac{\partial f}{ \partial x}$ et $\dfrac{\partial f}{ \partial y }$ existent et sont continues sur $\mathbb{R}^{2}$. Or, $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2 \backslash \left\{ {(0,0)} \right\}$, $\dfrac{\partial f}{ \partial x}(x,y)=\dfrac{y^3}{\left( x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} }$. On remarque que $\forall\:x>0$, $\dfrac{\partial f}{ \partial x}(x,x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. Donc, $\lim\limits_{x\to 0^{+}}^{}\dfrac{\partial f}{ \partial x}(x,x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\neq \dfrac{\partial f}{ \partial x}(0,0)$. On en déduit que $\dfrac{\partial f}{ \partial x}$ n’est pas continue en $(0,0)$. Donc $f$ n’est pas de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$.

Corrigé 15

-5truemm

Soit $(x,y)\in\mathbb R^{2}$. $x^{2}+y^{2}-xy-\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}-2xy)=\dfrac{1}{2}\left( x-y\right)^2\geqslant 0$. Donc $x^{2}+y^{2}-xy\geqslant\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$.
1. Soit $(x,y)\in\mathbb R^{2}$. D’après 1., $x^{2}+y^{2}-xy=0\Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}=0\Longleftrightarrow x=y=0$. Ainsi, $f$ est définie sur $\mathbb R^{2}$.
2. D’après les théorèmes généraux, $f$ est continue sur $\mathbb R^{2}\setminus\big\{(0,0)\big\}$.
  
  D’après 1., pour $(x,y)\not=(0,0),\: 0\leqslant f(x,y)\leqslant\dfrac{2y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\leqslant\dfrac{2(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ .
  
  Ainsi, $0\leqslant f(x,y)\leqslant 2(x^{2}+y^{2})\underset{(x,y)\to(0,0)}{\longrightarrow}0.$ Or : $f$ est continue en $(0,0)$ $\Longleftrightarrow$ $f(x,y)\underset{(x,y)\to(0,0)}{\longrightarrow}f(0,0)=\alpha.$ Donc : $f$ est continue en $(0,0)$ $\Longleftrightarrow$ $\alpha=0$. Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ $\Longleftrightarrow$ $\alpha=0$.
1. D’après les théorèmes généraux, $f$ est de classe ${\cal C}^{1}$ sur $\mathbb R^{2}\setminus\big\{(0,0)\big\}$. $\forall(x,y)\in\mathbb R^{2}\setminus\big\{(0,0)\big\}$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{-y^{4}(2x-y)}{(x^{2}+y^{2}-xy)^{2}}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2y^{5}-3xy^{4}+4x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2}-xy)^{2}}$.
2. Pour tout $x\not=0,\:\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0\underset{x\to 0}{\longrightarrow}0$, donc $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ existe et $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$.
  
  Pour tout $y\not=0,\: \dfrac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=y\underset{y\to 0}{\longrightarrow}0$, donc $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existe et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$.
3. Pour montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^{1}$ sur $\mathbb R^{2}$, montrons que $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sont continues sur $\mathbb R^{2}$. Pour cela, il suffit de montrer qu’elles sont continues en $(0,0)$.
  
  $\forall(x,y)\in\mathbb R^{2}\setminus\big\{(0,0)\big\}$, on note $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. On a alors $|x|\leqslant r$ et $|y|\leqslant r$. De plus, $(x,y)\to (0,0) \Longleftrightarrow r\to 0$. D’après 1. et l’inégalité triangulaire,
  
  $\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|\leqslant4\,\dfrac{\big|y^{4}(2x-y)\big|}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\leqslant4\,\dfrac{r^{4}(2r+r)}{r^{4}}=12r\underset{r\to 0}{\longrightarrow}0$.
  
  $\left|\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)-\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)\right|\leqslant4\,\dfrac{\big|2y^{5}-3xy^{4}+4x^{2}y^{3}\big|}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\leqslant4\,\dfrac{2r^{5}+3r^{5}+4r^{5}}{r^{4}}=36r\underset{r\to 0}{\longrightarrow}0$.
  
  Donc $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sont continues en $(0,0)$ et par suite sur $\mathbb R^{2}$. Ainsi, $f$ est de classe ${\cal C}^{1}$ sur $\mathbb R^{2}$.

Corrigé 16

1. $f$ est continue en $(0,0)$ $\Longleftrightarrow$ $\forall\:\varepsilon>0,\; \exists\alpha>0/\: \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\; \|(x,y)\|<\alpha\Longrightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\varepsilon$. $\|\cdot\|$ désigne une norme quelconque sur $\mathbb{R}^2$ puisque toutes les normes sont équivalentes sur $\mathbb{R}^2$ (espace de dimension finie) .
2. $f$ est différentiable en $(0,0)$ $\Longleftrightarrow$ $\exists L\in\mathcal{L}_{\mathcal{C}}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$/ au voisinage de $(0,0)$, $f(x,y)=f(0,0)+L(x,y)+o(\|(x,y)\|).$
  
  Remarque : Comme $\mathbb{R}^2$ est de dimension finie, si $L\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ alors $L\in\mathcal{L}_{\mathcal{C}}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$.
On notera $\|.\|$ la norme euclidienne usuelle sur $\mathbb{R}^2$. On remarque que $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2$, $|x|\leqslant \|(x,y)\|$ et $|y|\leqslant \|(x,y)\|$(*).
1. $(x,y)\mapsto x^2+y^2$ et $(x,y)\mapsto xy(x^2-y^2)$ sont continues sur $\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$ et $(x,y)\mapsto x^2+y^2$ ne s’annule pas sur $\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$ donc, $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$. Continuité en (0,0): On a, en utilisant (*) et l’inégalité triangulaire, $|f(x,y)-f(0,0)|=\left|xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right|\leqslant |x|.|y|\leqslant \|(x,y)\|^2$. Donc $f$ est continue en $(0,0)$.
2. $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ si et seulement si $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ existent sur $\mathbb{R}^2$ et sont continues sur $\mathbb{R}^2$. $f$ admet des dérivées partielles sur $\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$ et elles sont continues sur $\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$. De plus, $\forall\:(x,y)\in\mathbb{R}^2-\left\lbrace (0,0)\right\rbrace$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^{2}}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^{2}}.$(**) Existence des dérivées partielles en $(0,0)$: $\forall\:x\in\mathbb{R}^*$, $\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0$, donc $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0$; donc $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ existe et $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$. De même, $\forall\:y\in\mathbb{R}^*$, $\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=0$, donc $\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=0$; donc $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existe et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$. Continuité des dérivées partielles en $(0,0)$: D’après (*) et (**), $\forall \:(x,y)\in \mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$, $\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right|\leqslant \dfrac{6\|(x,y)\|^5}{\|(x,y)\|^4}=6\|(x,y)\|$ et $\left|\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right|\leqslant\dfrac{6\|(x,y)\|^5}{\|(x,y)\|^4}=6\|(x,y)\|$. Donc $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$. Donc $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont continues en $(0,0)$. Conclusion:$\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ existent et sont continues sur $\mathbb{R}^2$, donc $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$.

Corrigé 17

On commence par calculer $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-2+y$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+2y$. Les points critiques sont donc les points vérifiant :

$$ \begin{cases} 2x+y=2\ x+2y=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 43\ y=-\frac 23 \end{cases} $$ On calcule $f(\frac 43,-\frac 23)=\frac{16}{9}-\frac{8}{3}-\frac{8}{9}+\frac{4}{9}=-\frac 43.$

Ce point est le seul candidat pour être extremum global dans l'intérieur de l'ensemble de définition. Etudions $f(x,y)+\frac 43$ pour savoir si l'on a ici un minimum ou maximum global. On pose dans la suite $x'=x-\frac 43$ et $y'=y+\frac 23$.

\[ \begin{align*} f(x,y)+\frac 43 &=x^2-2x+xy+y^2+\frac 43\\ &=(x'+\frac 43)^2-2(x'+\frac 43)+(x'+\frac 43)(y'-\frac 23)+(y'-\frac 23)^2+\frac 43\\ &={x'}^2+\frac 83 x'+\frac{16}{9}-2x'-\frac 83+x'y'-\frac 23 x'+\frac 43y'-\frac89+{y'}^2-\frac 43y'+\frac 49+\frac 43\\ &={x'}^2+x'y'+{y'}^2\\ &=\frac 12 ({x'}^2+{y'}^2)+\frac 12(x'+y')^2\\ &\ge0 \end{align*} \]

Le point critique est donc un minimum global.

Cherchons à voir s'il existe un maximum global. On a $f(x,y)=x^2-2x+xy+y^2=(x-1)^2-1+xy+y^2=(x-1)^2+y^2+xy-1\le 1+1+0-1=1$. Or $f(-1,0)=1$ donc c'est un majorant atteint : c'est un maximum. On peut ensuite vérifier que ce maximum global n'est atteint qu'en ce point.

Corrigé 18

Calculons les dérivées partielles qui existent par théorèmes généraux. $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2-3y$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^2-3x$. Les points critiques sont alors définis par les équations $x^2=y$ et $y^2=x$ ce qui donne $x(x-1)(x^2+x+1)=0$, donc $x=0$ ou $x=1$ et les couples $(x,y)=(0,0)$ ou $(x,y)=(1,1)$.

Or $f(1,1)=-1$, $f(0,0)=0$, $f(-1,-1)=1$ (donc $(0,0)$ n'est pas un extremum global) et $f(-2,-2)=-28$. DONC $(1,1)$ n'est pas un extremum global.

On a $f(t,t)=2t^3-3t^2=t^2(2t-3)$. Le point $(0,0)$ est un maximum local dans cette direction. Par ailleurs $f(t,-t)=t^3-t^3+3t^2=3t^2$. Le point $(0,0)$ est un minimum local dans cette direction. Donc $(0,0)$ n'est pas un extremum local.

Considérons maintenant le point $(1,1)$. Posons $x'=x-1$ et $y'=y-1$.

\[ \begin{align*} f(x,y)+1&=(x'+1)^3+(y'+1)^3-3(x'+1)(y'+1)+1\\ &=x'^3+3x'^2+3x'+1+y'^3+3y'^2+3y'+1-3x'y'-3x'-3y'-3+1\\ &=x'^3+3x'^2+y'^3+3y'^2-3x'y'\\ &\ge x'^3+3x'^2+y'^3+3y'^2-\frac 32(x'^2+y'^2)\\ &\ge x'^3+y'^3+\frac32 x'^2+\frac 32 y'^2\\ &\ge x'^2(x'+\frac 32)+y'^2(y'+\frac 32) \end{align*} \]

La dernière quantité est positive pour $x'>-\frac 32$ et $y'>-\frac 32$ : $(1,1)$ est donc un point de minimum local.

Corrigé 19

Première problème de Cauchy : $y(x)=\cos(wx)$.

Deuxième problème de Cauchy : $y(x)=\cosh(wx)$.

La relation demandé est une relation de trigonométrie hyperbolique classique. En sommant $\cosh(x+y)$ et $\cosh(x-y)$ on montre que $\cosh$ est solution de $(*)$. Il en va de même d'ailleurs pour $\cos$.

Soit $f$ une solution de $(*)$. en prenant $x=y=0$ on a $2f(0)=2f(0)^2$ et donc $f(0)\in\{0,1\}$. Si $f(0)=0$ alors en prenant $y=0$ dans $(*)$ on a $2f(x)=0$ pour tout $x\in\mathbb R$ donc $f$ est la fonction nulle. Concentrons nous sur $f(0)=1$. On dérive par rapport à $y$ l'équation $(*)$ et on prend $y=0$ : $f(x)-f(x)=2f(x)f'(0)$ donc $2f(x)f'(0)=0$. En particulier pour $x=0$ : $2f'(0)=0$ c'est-à-dire $f'(0)=0$.

Soit donc $f$ une solution $\mathcal C^2$ de $(*)$. En dérivant par rapport à $y$ deux fois, on a $f''(x+y)+f''(x-y)=2f(x)f''(y)$. Puis en prenant $y=0$ : $f''(x)=f(x)f''(0)$. On se ramène aux cas des deux premières questions avec $w^2=\pm f''(0)$ en fonction du signe de $f''(0)$. On en déduit que les solutions sont de la forme $x\mapsto\cos(wx)$ ou $x\mapsto \cosh(wx)$, dont on a vérifié avant qu'elles étaient effectivement solutions.

Corrigé 20

On trouve comme solution de l’équation homogène sur $\left] 0,+\infty\right[$ la droite vectorielle engendrée par $x\longmapsto x^{\frac{3}{2}}$. En effet, une primitive de $x\longmapsto\dfrac{3}{2x}$ sur $\left] 0,+\infty\right[$ est $x\longmapsto\dfrac{3}{2}\ln x$.
On utilise la méthode de variation de la constante en cherchant une fonction $k$ telle que $x\longmapsto k(x)x^\frac{3}{2}$ soit une solution de l’équation complète $(E)$ sur $\left] 0,+\infty\right[$. On arrive alors à $2k'(x)x^\frac{5}{2}=\sqrt{x}$ et on choisit $k(x)=-\dfrac{1}{2x}$. Les solutions de $(E)$ sur $\left] 0,+\infty\right[$ sont donc les fonctions $x\longmapsto kx^\frac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$ avec $k\in\mathbb{R}$.
Si on cherche à prolonger les solutions de $(E)$ sur $\left[ 0,+\infty\right[$, alors le prolongement par continuité ne pose pas de problème en posant $f(0)=0$. Par contre, aucun prolongement ne sera dérivable en 0 car $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=k\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\underset{x\to 0}{\longrightarrow}-\infty$. Conclusion: l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $2xy'-3y=\sqrt{x}$ sur $\left[ 0,+\infty\right[$ est l’ensemble vide.

Corrigé 21

Soit $f(x)=x^\alpha$ une solution de $(E_0)$. Alors $\alpha(\alpha-1)x^\alpha+4\alpha x^\alpha+2x^\alpha = (\alpha^2+3\alpha+2)x^\alpha= 0$. On en déduit que $\alpha = -1$ ou $\alpha=-2$. On obtient alors deux solutions libres : c'est une base de l'ensemble des solutions de l'équation homogène.

Cherchons maintenant une solution de $(E)$ $y$ sous la forme $y(x)=\frac{z(x)}{x^2}$ c'est à dire $z(x)=x^2y(x)$. On a alors $z'(x)=2xy(x)+x^2y'(x)$ et $z''(x)=2y(x)+4xy'(x)+x^2y''(x)$. L'équation $(E)$ devient $z''(x) = \frac1{x\sqrt x}$. Une solution particulière est donc $z(x)=-4\sqrt x$ et donc $y(x)=\frac {-4}{x\sqrt x}$.

On en déduit que l'ensemble des solutions de $(E)$ est $y(x)=\frac {-4}{x\sqrt x}+\frac ax+\frac b{x^2}$.

Corrigé 22

$f$ est clairement linéaire.(*) De plus, $\forall \:P\in E\backslash\left\lbrace 0\right\rbrace$, $\deg P'< \deg P$ donc $\deg (P-P')=\deg P$. Et, si $P=0$, alors $P-P'=0$ donc $\deg( P-P')=\deg P=-\infty$. On en déduit que $\forall\:P\in E$, $\deg f(P)=\deg P$. Donc $f(E)\subset E$.(**) D’après (*) et (**), $f$ est bien un endomorphisme de $E$.
1. Déterminons $\mathrm{Ker} f$. Soit $P\in\mathrm{Ker} f$. $f(P)=0$ donc $P-P'=0$ donc $\deg (P-P')=-\infty$. Or, d’après ce qui précéde, $\deg(P-P')=\deg P$ donc $\deg P=-\infty$. Donc $P=0$. On en déduit que $\mathrm{Ker} f=\left\lbrace0\right\rbrace$. Donc $f$ est injectif. Or, $f\in\mathcal{L}\left( E\right)$ et $E$ est de dimension finie ($\dim E=n+1$) donc $f$ est bijectif.
2. Soit $e=(1,X,...,X^n)$ la base canonique de $E$. Soit $A$ la matrice de $f$ dans la base $e$. $A=\left( { \begin{array}{cccc} 1 & { - 1} & {} & {(0)} \\ {} & 1 & \ddots & {} \\ {} & {} & \ddots & { - n} \\ {(0)} & {} & {} & 1 \\ \end{array} } \right)\in\mathcal{M}_{n+1}\left( \mathbb{R}\right) .$ $\det A=1$ d’où $\det A\neq 0$. Donc $f$ est bijectif.
Soit $Q\in E$. D’après 1.: $\exists\:!P\in E$, tel que $f(P) = Q$. $P - P' = Q\text{, }P' - P'' = Q'\text{,\ldots , }P^{(n)} - P^{(n + 1)} = Q^{(n)}$. Or $P^{(n + 1)} = 0$, donc, en sommant ces $n+1$ égalités, $P = Q + Q' + \cdots + Q^{(n)}$.
Reprenons les notations de 1.(b). Tout revient à se demander si $A$ est diagonalisable. Notons $P_A(X)$ le polynôme caractéristique de $A$. D’après 1.(b), on a $P_A(X)=(X-1)^{n+1}$. Donc $1$ est l’unique valeur propre de $A$. Ainsi, si $A$ était diagonalisable, alors $A$ serait semblable à la matrice unité $\mathrm{I}_{n+1}$. On aurait donc $A=\mathrm{I}_{n+1}$. Ce qui est manifestement faux car $f\neq \mathrm{Id}$. Donc $A$ n’est pas diagonalisable et par conséquent, $f$ n’est pas diagonalisable.

Corrigé 23

Posons $M = \left( { \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right) \in {\mathcal{M}}_2 (\mathbb{R})$. On a $f(M) = \left( { \begin{array}{cc} {a + 2c} & {b + 2d} \\ {2a + 4c} & {2b + 4d} \\ \end{array} } \right)$. Alors $M\in\mathrm{Ker} f\Longleftrightarrow$ $\exists\:(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$ tel que $M=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ avec $\left\lbrace \begin{array}{lll} a&=&-2c\\ b&=&-2d \end{array} \right.$. C’est-à-dire, $M\in\mathrm{Ker} f$ $\Longleftrightarrow$ $\exists\:(c,d)\in\mathbb{R}^2$ tel que $M=\begin{pmatrix} -2c&-2d\\ c&d \end{pmatrix}$. On en déduit que $\mathrm{Ker} f = \textrm{Vect} \left\{ {\left( { \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ { 1} & 0 \\ \end{array} } \right),\left( { \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 0 & { 1} \\ \end{array} } \right)} \right\}$.(*) On pose $M_1=\left( \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ { 1} & 0 \\ \end{array} \right)$ et $M_2=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 0 & { 1} \\ \end{array} \right)$. D’après (*), la famille $(M_1,M_2)$ est génératrice de $\mathrm{Ker} f$. De plus, $M_1$ et $M_2$ sont non colinéaires; donc $(M_1,M_2)$ est libre. Donc $(M_1,M_2)$ est une base de $\mathrm{Ker} f$.
$\mathrm{Ker} f\neq \left\lbrace 0\right\rbrace$, donc $f$ est non injectif. Or $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est de dimension finie. On en déduit que $f$ est non surjectif.
Par la formule du rang, $\textrm{rg} f = 2$. On pose $M_3= f(E_{1,1} ) = \left( { \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{array} } \right)$ et $M_4=f(E_{2,2} ) = \left( { \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 0 & 4 \\ \end{array} } \right)$. $M_3$ et $M_4$ sont non colinéaires, donc $(M_3,M_4)$ est une famille libre de $\mathrm{Im}f$. Comme $\textrm{rg} f = 2$, $(M_3,M_4)$ est une base de $\mathrm{Im}f$.
On a $\dim \mathcal{M}_2\left(\mathbb{R} \right)=\dim \mathrm{Ker} f+\dim\mathrm{Im}f$.(1) Prouvons que $\mathrm{Ker}f\cap \mathrm{Im}f=\left\lbrace0 \right\rbrace$. Soit $M\in \mathrm{Ker}f\cap \mathrm{Im}f$. D’après 1. et 3., $\exists(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$ tel que $M=aM_1+bM_2$ et $M=cM_3+dM_4$. On a donc $\left\lbrace \begin{array}{lll} -2a&=&c\\ -2b&=&2d\\ a&=&2c\\ b&=&4d \end{array}\right.$. On en déduit que $a=b=c=d=0$. Donc $M=0$. Donc $\mathrm{Ker}f\cap \mathrm{Im}f=\left\lbrace0 \right\rbrace$(2) Donc, d’après (1) et (2), $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}% \right)=\mathrm{Ker}f\oplus \mathrm{Im}f$.

Corrigé 24

Supposons $E = \textrm{Im} f \oplus \mathrm{Ker} f$. Indépendamment de l’hypothèse, on peut affirmer que $\textrm{Im} f^2 \subset \textrm{Im} f$ (*) Montrons que $\mathrm{Im}f\subset\mathrm{Im}f^2$. Soit $y \in \textrm{Im} f$. Alors, $\exists\:x\in E$ tel que $y = f(x)$. Or $E = \textrm{Im} f \oplus \mathrm{Ker} f$, donc $\exists\:(a,b)\in E\times\mathrm{Ker} f$ tel que $x = f(a) + b$. On a alors $y = f^2 (a) \in \textrm{Im} f^2$. Ainsi $\textrm{Im} f \subset \textrm{Im} f^2$(**) D’après (*) et (**), $\textrm{Im} f = \textrm{Im} f^2$.
1. On a $\textrm{Im} f^2 \subset \textrm{Im} f$ et $\mathrm{Ker} f \subset \mathrm{Ker} f^2$. On en déduit que $\textrm{Im} f^2 = \textrm{Im} f$ $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{rg}f^2=\mathrm{rg}f$ et $\mathrm{Ker} f = \mathrm{Ker} f^2$ $\Longleftrightarrow$ $\dim \mathrm{Ker} f=\dim \mathrm{Ker} f^2$. Alors, en utilisant le théorème du rang, $\textrm{Im} f = \textrm{Im} f^2 \Leftrightarrow \textrm{rg} f = \textrm{rg} f^2 \Leftrightarrow \dim \mathrm{Ker} f = \dim \mathrm{Ker} f^2 \Leftrightarrow \mathrm{Ker} f = \mathrm{Ker} f^2$.
2. Supposons $\textrm{Im} f = \textrm{Im} f^2$. Soit $x \in \textrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f$. $\exists\:a\in E$ tel que $x = f(a)$ et $f(x) = 0_E$. On en déduit que $f^2 (a) = 0_E$ c’est-à-dire $a \in \mathrm{Ker} f^2$. Or, d’après l’hypothèse et 2.(a), $\mathrm{Ker} f^2 = \mathrm{Ker} f$ donc $a\in \mathrm{Ker} f$ c’est-à-dire $f(a) = 0_E$. C’est-à-dire $x=0$. Ainsi $\textrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f = \left\{ {0_E } \right\}$.(***) De plus, d’après le théorème du rang, $\dim \mathrm{Im}f + \dim \mathrm{Ker} f = \dim E$. (****)
  
  Donc, d’après (***) et (****), $E = \textrm{Im} f \oplus \mathrm{Ker} f$.

Corrigé 25

$D=\mathrm{Vect}\left( (1,2,3)\right)$. $(1,2,3)\not\in P$ car les coordonnées du vecteur $(1,2,3)$ ne vérifient pas l’équation de $P$. Donc $D\cap P=\left\lbrace 0\right\rbrace$.(*) De plus, $\dim D+\dim P= 1+2=\dim\mathbb{R}^3$.(**) D’après (*) et (**), $\mathbb{R}^3=P\oplus D$.
Soit $u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$. Par définition d’une projection, $p(u)\in P$ et $u-p(u)\in D$. $u-p(u)\in D$ signifie que $\exists\:\alpha \in\mathbb{R}$ tel que $u-p(u)=\alpha (1,2,3)$. On en déduit que $p(u)=(x-\alpha, y-2\alpha, z-3\alpha)$.(***) Or $p(u)\in P$ donc $(x-\alpha)+( y-2\alpha)+(z-3\alpha)=0$, c’est-à-dire $\alpha=\dfrac{1}{6}(x+y+z)$. Et donc, d’après (***), $p(u)=\dfrac{1}{6}(5x-y-z,-2x+4y-2z,-3x-3y+3z)$. Soit $e=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$. Soit $A$ la matrice de $p$ dans la base $e$. On a $A=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 5&-1&-1\\ -2&4&-2\\ -3&-3&3\\ \end{pmatrix}$.
On pose $e'_1=(1,2,3)$, $e'_2=(1,-1,0)$ et $e'_3=(0,1,-1)$. $e'_1$ est une base de $D$ et $(e'_2,e'_3)$ est une base de $P$. Or $\mathbb{R}^3=P\oplus D$ donc $e'=(e'_1,e'_2,e'_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. De plus $e'_1\in D$ donc $p(e'_1)=0$. $e'_2\in P$ et $e'_3\in P$ donc $p(e'_2)=e'_2$ et $p(e'_3)=e'_3$. Ainsi, $M(p,e')=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}$.

Corrigé 26

Par linéarité de l’évaluation $P\mapsto P(a)$ (où $a$ est un scalaire fixé), $\Phi$ est linéaire.

Soit $P\in\mathbb K_{2}[X]$ tel que $\Phi(P)=0$. Alors $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=0$, donc $P$ admet trois racines distinctes. Or $P$ est de degré inférieur ou égal à 2; donc $P$ est nul. Ainsi, $\mathrm{Ker}(\Phi)=\{0\}$ i.e. $\Phi$ est injective.

Enfin, $\dim\big(\mathbb K_{2}[X]\big)=\dim\big(\mathbb K^{3}\big)=3$ donc $\Phi$ est bijective.

Par conséquent, $\Phi$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels de $\mathbb{K}_2\left[ X\right]$ dans $\mathbb{K} ^3$.
1. $\Phi$ est un isomorphisme donc l’image réciproque d’une base est une base.
  
  Ainsi, $(L_{1}, L_{2}, L_{3})$ est une base de $\mathbb K_{2}[X]$.
2. $L_{1}\in\mathbb R_{2}[X]$ et vérifie $\Phi(L_{1})=(1,0,0)$ i.e. $\big(L_{1}(a_{1}),L_{1}(a_{2}),L_{1}(a_{3})\big)=(1,0,0)$.
  
  Donc, comme $a_2$ et $a_3$ sont distincts, $(X-a_{2})(X-a_{3})\,|L_{1}$. Or $\deg L_1\leqslant 2$, donc $\exists k\in{\mathbb{K}}$ tel que $L_{1}=k(X-a_{2})(X-a_{3})$. La valeur $L_{1}(a_{1})=1$ donne $k=\dfrac{1}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})}$. Donc $L_{1}=\dfrac{(X-a_{2})(X-a_{3})}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})}$.
  
  Un raisonnement analogue donne $L_{2}=\dfrac{(X-a_{1})(X-a_{3})}{(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})}$ et $L_{3}=\dfrac{(X-a_{1})(X-a_{2})}{(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{2})}$.
$(L_1,L_2,L_3)$ base de $\mathbb{K}_2[X]$ donc $\exists(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\in{\mathbb{K}^3}$ tel que $P=\lambda_{1}L_{1}+\lambda_{2}L_{2}+\lambda_{3}L_{3}$. Par construction, $\forall(i,j)\in\{1,2,3\}^{2}, L_{i}(a_{j})=\delta_{ij}$ donc $P(a_{j})=\lambda_{j}$. Ainsi, $P=P(a_{1})L_{1}+P(a_{2})L_{2}+P(a_{3})L_{3}$.
On pose $a_{1}=0$, $a_{2}=1$ et $a_{3}=2$. Ces trois réels sont bien distincts. On cherche $P\in\mathbb R_{2}[X]$ tel que $\big(P(a_{1}),P(a_{2}),P(a_{3})\big)=(1,3,1)$.

Par bijectivité de $\Phi$ et d’après 3. , l’unique solution est le polynôme $P=1.L_{1}+3.L_{2}+1.L_{3}$. On a $L_{1}=\dfrac{(X-1)(X-2)}{2}$, $L_{2}=\dfrac{X(X-2)}{-1}$ et $L_{3}=\dfrac{X(X-1)}{2}$. Donc $P=-2X^{2}+4X+1$.

Corrigé 27

On a $\dim(P)+\dim(D)=3$. Soit $u\in D\cap P$. $u\in D$, donc $u=(2\lambda,2\lambda,1)$. $u\in P$ donc $2\lambda-4\lambda+3\lambda=0$ càd $\lambda=0$. Ainsi les deux espaces sont bien supplémentaires.

Les deux vecteurs $u=(2,1,0)$ et $v=(3,0,-1)$ forment une base de $P$, et le vecteur $w=(2,2,1)$ forme une base de $D$. Notons $p$ le projecteur et $s$ la symétrie. La matrice de $p$ dans la base $(u,v,w)$ est $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et la matrice de $s$ est $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$. La matrice de passage de la base canonique vers cette base est $P=\begin{pmatrix}2&3&2\\1&0&2\\0 & -1 &1\end{pmatrix}$. Pour avoir la matrice de $p$ dans la base canonique on fait $P A P^{-1}$. On laisse les calculs à la bonne volonté du lecteur.

Corrigé 28

Soit $f$ un endomorphisme de $E$. Supposons que $\Ker(f)+\Im(f)=E$. On sait déjà que $\Im(f^2)\subset \Im(f)$. Soit $y\in\Im(f)$, posons $y=f(x_0)$ et $x_0=x_K+x_I$ avec $x_K\in\Ker(f)$ et $x_I\in\Im(f)$. Posons alors $x_I=f(z)$. On a :$y=f(x_K+x_I)=f(x_K)+f(x_I)=0+f(f(z))\in\Im(f^2)$. Donc $\Im(f)\subset \Im(f^2)$ et ainsi $\Im(f)=\Im(f^2)$.

Réciproquement, si $\Im(f^2)=\Im(f)$, on sait que $\Ker(f)+\Im(f)\subset E$. C'est l'inclusion réciproque qui nous intéresse. Soit $x\in E$, on a $f(x)\in\Im(f)$ et donc $f(x)\in\Im f^2$. On en déduit qu'il existe $z\in E$ tel que $f(x)=f^2(z)$. Posons $y=x-f(z)$, alors $f(y)=f(x)-f^2(z)=0$. Donc $y\in\Ker f$. On en déduit $x=y+f(z)\in \Ker f+\Im f$ et donc $E=\Ker f+\Im f$.

Corrigé 29

1. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté $\left(\:|\:\right)$. On pose $\forall\:x\in E$, $||x||=\sqrt{(x|x)}$.
  
  Inégalité de Cauchy-Schwarz: $\forall (x,y)\in E^2$, $|\left(x|y\right)|\leqslant ||x||\,||y||$ Preuve: Soit $(x,y)\in E^2$. Posons $\forall \lambda\in \mathbb{R}$, $P(\lambda)=||x+\lambda y||^2$. On remarque que $\forall \lambda \in \mathbb{R}$, $P(\lambda )\geqslant 0$. De plus, $P(\lambda)=\left(x+\lambda y|x+\lambda y\right)$. Donc, par bilinéarité et symétrie de $\left(\:|\:\right)$, $P(\lambda )=||y||^2\lambda ^2+2\lambda \left(x|y\right)+||x||^2$. On remarque que $P(\lambda)$ est un trinôme en $\lambda$ si et seulement si $||y||^2\neq 0$.
  
  Premier cas: si $y=0$ Alors $|\left(x|y\right)|=0$ et $||x||\,||y||=0$ donc l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée.
  
  Deuxième cas: $y\neq 0$ Alors $||y||=\sqrt{(y|y)}\neq 0$ car $y\neq 0$ et $\left(\:|\:\right)$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
  
  Donc, $P$ est un trinôme du second degré en $\lambda$ qui est positif ou nul. On en déduit que le discriminant réduit $\Delta$ est négatif ou nul. Or $\Delta=\left(x|y\right)^2-||x||^2||y||^2$ donc $\left(x|y\right)^2\leqslant||x||^2||y||^2$. Et donc, $|\left(x|y\right)|\leqslant ||x||\,||y||$.
2. On reprend les notations de 1. . Prouvons que $\forall (x,y)\in E^2$, $|\left(x|y\right)|=||x||\,||y||$ $\Longleftrightarrow$ $x$ et $y$ sont colinéaires. Supposons que $|\left(x|y\right)|=||x||\,||y||$.
  
  Premier cas: si $y=0$ Alors $x$ et $y$ sont colinéaires.
  
  Deuxième cas: si $y\neq 0$ Alors le discriminant de $P$ est nul et donc $P$ admet une racine double $\lambda_0$. C’est-à-dire $P(\lambda_0)=0$ et comme $\left(\:|\:\right)$ est définie positive, alors $x+\lambda_0y=0$. Donc $x$ et $y$ sont colinéaires.
  
  Supposons que $x$ et $y$ soient colinéaires. Alors $\exists\:\alpha\in\mathbb{R}$ tel que $x=\alpha y$ ou $y=\alpha x$. Supposons par exemple que $x=\alpha y$ (raisonnement similaire pour l’autre cas). $|\left(x|y\right)|=|\alpha|.|\left(y|y\right)|=|\alpha|\,||y||^2$ et $||x||\,||y||=\sqrt{(x|x)}\,||y||=\sqrt{\alpha^2(y|y)}||y||=|\alpha|.||y||^2$. Donc, on a bien l’égalité.
On considère le produit scalaire classique sur $\mathcal{C}\left( \left[ a,b\right] ,\mathbb{R}\right)$ défini par : $\forall (f,g)\in \mathcal{C}\left( \left[ a,b\right] ,\mathbb{R}\right)$, $(f|g)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt$. On pose $A=\left\lbrace \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t\times \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t\:,\:f\in E\right\rbrace$. $A\subset \mathbb{R}$. $A\neq \emptyset$ car $(b-a)^2\in A$ ( valeur obtenue pour la fonction $t\longmapsto 1$ de $E$). De plus, $\forall\:f\in E$,$\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t\times \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t\geqslant 0$ donc $A$ est minorée par 0. On en déduit que $A$ admet une borne inférieure et on pose $m=\inf A$. Soit $f\in E$. On considère la quantité $\left( \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{f(t)}\dfrac{1}{\sqrt{f(t)}}\mathrm{d}t\right) ^2$. D’une part, $\left( \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{f(t)}\dfrac{1}{\sqrt{f(t)}}\mathrm{d}t\right) ^2=\left( \displaystyle\int_{a}^{b}1\mathrm{d}t\right) ^2=(b-a)^2.$ D’autre part, si on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire $(\:|\:)$ on obtient: $\left( \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{f(t)}\dfrac{1}{\sqrt{f(t)}}\mathrm{d}t\right) ^2\leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\mathrm{d}t\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t$. On en déduit que $\forall\:f\in E$, $\displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\mathrm{d}t\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t\geqslant (b-a)^2$. Donc $m\geqslant (b-a)^2$. Et, si on considère la fonction $f:t\longmapsto 1$ de $E$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\mathrm{d}t\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t= (b-a)^2$. Donc $m=(b-a)^2$.

Corrigé 30

On a $A \subset \left( {A^ \bot } \right)^ \bot \text{ }$.(*) En effet, $\forall x \in A,\forall y \in A^ \bot ,(x\mid y) = 0$. C’est-à-dire, $\forall\:x\in A$, $x\in (A^{\perp})^{\perp}$. Comme $E$ est un espace euclidien, $E=A\oplus A^{\perp}$ donc $\dim A= n-\dim A^{\perp}$. De même, $E=A^{\perp}\oplus\left( A^{\perp}\right) ^{\perp}$ donc $\dim \left( A^ \bot\right) ^{\perp} = n - \dim A^{\perp}$. Donc $\dim \left( {A^ \bot } \right)^ \bot = \dim A$. (**) D’après (*) et (**), $\left( {A^ \bot } \right)^ \bot = A$.
1. Procédons par double inclusion. Prouvons que $F^{\perp}\cap G^{\perp}\subset \left(F+G \right)^{\perp}$. Soit $x \in F^ \bot \cap G^ \bot$. Soit $y \in F + G$ . Alors $\exists\:(f,g)\in F\times G$ tel que $y=f+g$. $(x\mid y) = \underbrace{(x\mid f)}_{ \underset{\: \text{car} \:f\in F\:\text{et}\:x\in F^{\perp}}{=0}}+ \underbrace{(x\mid g)}_{ \underset{\: \text{car} \:g\in G \:\text{et}\:x\in G^{\perp}}{=0}} = 0$. Donc $\forall \:y\in (F+G)$, $(x\mid y) =0$. Donc $x \in (F + G)^ \bot$. Prouvons que $\left(F+G \right)^{\perp}\subset F^{\perp}\cap G^{\perp}$. Soit $x \in (F + G)^ \bot$. $\forall \:y \in F$, on a $(x\mid y) = 0$ car $y \in F \subset F + G$. Donc $x \in F^ \bot$. De même, $\forall \:z \in G$, on a $(x\mid z) = 0$ car $z \in G \subset F + G$. Donc $x \in G^ \bot$. On en déduit que $x\in F^{\perp}\cap G^{\perp}$. Finalement, par double inclusion, $\left( {F + G} \right)^ \bot = F^ \bot \cap G^ \bot$.
2. D’après 2.(a), appliquée à $F^{\perp}$ et à $G^{\perp}$, on a $\left( F^{\perp} + G^{\perp} \right)^ {\perp } = \left( F^{\perp}\right) ^{\perp} \cap\left( G^ {\perp}\right) ^{\perp}$. Donc, d’après 1., $\left( F^{\perp} + G^{\perp} \right)^ {\perp } = F \cap G$. Donc $\left( \left( F^{\perp} + G^{\perp} \right)^ {\perp }\right) ^{\perp} =\left( F \cap G \right) ^{\perp}$. C’est-à-dire, en utilisant 1. à nouveau, $F^{\perp}+G^{\perp }=\left( F\cap G\right) ^{\perp }$.

Corrigé 31

Soit $h$ une fonction continue et positive de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\text{d}x=0$. On pose $\forall \:x\in \left[ a,b\right]$, $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} h(t)dt$. $h$ est continue sur $\left[ a,b\right]$ donc $F$ est dérivable sur $\left[ a,b\right]$. De plus, $\forall\:x\in\left[ a,b\right]$, $F'(x)=h(x)$. Or $h$ est positive sur $\left[ a,b\right]$ donc $F$ est croissante sur $\left[ a,b\right]$.(*) Or $F(a)=0$ et, par hypothèse, $F(b)=0$. C’est-à-dire $F(a)=F(b)$.(**) D’après (*) et (**), $F$ est constante sur $\left[ a,b\right]$. Donc $\forall\:x\in \left[ a,b\right]$, $F'(x)=0$. C’est-à-dire, $\forall\:x\in \left[ a,b\right]$, $h(x)=0$.
On pose $\forall\:(f,g)\in E^2$, $\left( f|g\right) =\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\text{d}x$. Par linéarité de l’intégrale, $\left(\:|\:\right)$ est linéaire par rapport à sa première variable. Par commutativité du produit sur $\mathbb{R}$, $\left(\:|\:\right)$ est symétrique. On en déduit que $\left(\:|\:\right)$ est une forme bilinéaire symétrique.(*) Soit $f\in E$. $\left(f|f\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x$. Or $x\longmapsto f^2(x)$ est positive sur $\left[ a,b\right]$ et $a<b$ donc $\left(f|f\right)\geqslant 0$. Donc $\left(\:|\:\right)$ est positive.(**) Soit $f\in E$ telle que $\left(f|f\right)=0$. Alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x=0$. Or $x\longmapsto f^2(x)$ est positive et continue sur $\left[ a,b\right]$ . Donc, d’après 1., $f$ est nulle sur $\left[ a,b\right]$ . Donc $\left(\:|\:\right)$ est définie.(***) D’après (*), (**) et (***), $\left(\:|\:\right)$ est un produit scalaire sur $E$.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\displaystyle\int_{0}^{1} {\sqrt x {\mathrm{e}}^{ - x} \,{\mathrm{d}}x} \leqslant \sqrt {\displaystyle\int_{0}^{1} {x\,{\mathrm{d}}x} } \sqrt {\displaystyle\int_0^1 {{\mathrm{e}}^{ - 2x} \,{\mathrm{d}}x} } = \dfrac{{\sqrt {1 - {\mathrm{e}}^{ - 2} } }}{2}$.

Corrigé 32

On pose $\forall\:(f,g)\in E^2$, $\left( f|g\right) =\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(t)g(t)\text{d}t$. Par linéarité de l’intégrale, $\left(\:|\:\right)$ est linéaire par rapport à sa première variable. Par commutativité du produit sur $\mathbb{R}$, $\left(\:|\:\right)$ est symétrique. On en déduit que $\left(\:|\:\right)$ est une forme bilinéaire symétrique.(*) Soit $f\in E$. $\left(f|f\right)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f^2(t)\mathrm{d}t$. Or $t\longmapsto f^2(t)$ est positive sur $\left[ 0,2\pi\right]$ et $0<2\pi$, donc $\left(f|f\right)\geqslant 0$. Donc $\left(\:|\:\right)$ est positive.(**) Soit $f\in E$ telle que $\left(f|f\right)=0$. Alors $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f^2(t)\mathrm{d}t=0$. Or $t\longmapsto f^2(t)$ est positive et continue sur $\left[ 0,2\pi\right]$. Donc, $f$ est nulle sur $\left[ 0,2\pi\right]$. Or $f$ est $2\pi$-périodique donc $f=0$. Donc $\left(\:|\:\right)$ est définie.(***) D’après (*), (**) et (***), $\left(\:|\:\right)$ est un produit scalaire sur $E$.
On a $\forall x \in \mathbb{R},\sin ^2 x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos (2x)$. $x\longmapsto -\dfrac{1}{2}\cos (2x)$$\in F$. De plus, si on note $h$ l’application $x \mapsto \dfrac{1}{2}$, $\left(h|f\right)=\dfrac{1}{4\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos x \mathrm{d}x=0$ et $\left(h|g\right)=\dfrac{1}{4\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos (2x)\mathrm{d}x=0$ donc $h\in F^{\perp}$ (car $F=\mathrm{Vect}(f,g)$). On en déduit que le projeté orthogonal de $u$ sur $F$ est $x\longmapsto -\dfrac{1}{2}\cos (2x)$.

Corrigé 33

On a immédiatement ${\mathcal{F}} = \textrm{Vect} (\mathrm{I}_2,K)$ avec $K = \left( { \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right)\text{ }$. On peut donc affirmer que ${\mathcal{F}}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_2 (\mathbb{R})$.

${\mathcal{F}} = \textrm{Vect} (\mathrm{I}_2,K)$ donc $(\mathrm{I}_2,K)$ est une famille génératrice de $\mathcal{F}$. De plus, $\mathrm{I}_2$ et $K$ sont non colinéaires donc la famille $(\mathrm{I}_2,K)$ est libre. On en déduit que $(\mathrm{I}_2,K)$ est une base de $\mathcal{F}$.
Soit $M=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\in{\mathcal{M}}_2\left( \mathbb{R}\right)$. Comme $(\mathrm{I}_2,K)$ est une base de $\mathcal{F}$, $M\in\mathcal{F}^{\perp}\Longleftrightarrow$ $\varphi(M,\mathrm{I}_2)=0$ et $\varphi(M,K)=0$. C’est-à-dire, $M\in\mathcal{F}^{\perp}\Longleftrightarrow$ $a+d=0$ et $b-c=0$. Ou encore, $M\in\mathcal{F}^{\perp}\Longleftrightarrow$ $d=-a$ et $c=b$. On en déduit que $\mathcal{F}^{\perp}=\mathrm{Vect}\left( A,B\right)$ avec $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & { - 1} \\ \end{array} \right)\text{ et }B = \left( { \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} } \right)$. $(A,B)$ est une famille libre et génératrice de $\mathcal{F}^{\perp}$ donc $(A,B)$ est une base de $\mathcal{F}^{\perp}$.
On peut écrire $J = \mathrm{I}_2 + B\text{ avec }\mathrm{I}_2 \in {\mathcal{F}}\text{ et } B \in {\mathcal{F}}^ \bot$. Donc le projeté orthogonal de $J$ sur $\mathcal{F}^{\perp}$ est $B=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$.
On note $d(J,\mathcal{F})$ la distance de $J$ à $\mathcal{F}$. D’après le cours, $d(J,\mathcal{F})=||J-p_{\mathcal{F}}(J)||$ où $p_{\mathcal{F}}(J)$ désigne le projeté orthogonal de $J$ sur $\mathcal{F}$. On peut écrire à nouveau que $J = \mathrm{I}_2 + B\text{ avec }\mathrm{I}_2 \in {\mathcal{F}}\text{ et } B \in {\mathcal{F}}^ \bot$. Donc $p_{\mathcal{F}}(J)=\mathrm{I}_{2}$. On en déduit que $d(J,\mathcal{F})=||J-p_{\mathcal{F}}(J)||=||J-\mathrm{I}_2||=||B||=\sqrt{2}$.

Corrigé 34

On pose $E=\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Pour $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\in E$ et $A'=\begin{pmatrix} a'&b'\\c'&d'\\ \end{pmatrix}\in E$ , on pose $\left(A|A'\right)=aa'+bb'+cc'+dd'$. Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\in E$ , $A'=\begin{pmatrix} a'&b'\\c'&d'\\ \end{pmatrix}\in E$ , $B=\begin{pmatrix} a''&b''\\c''&d''\\ \end{pmatrix}\in E$ . Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. $\left(A+A'|B\right)=\left(\begin{pmatrix} a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\\ \end{pmatrix}|\begin{pmatrix} a''&b''\\c''&d''\\ \end{pmatrix} \right)=(a+a')a''+(b+b')b''+(c+c')c''+(d+d')d''$. Donc $\left(A+A'|B\right)=(aa''+bb''+cc''+dd'')+(a'a''+b'b''+c'c''+d'd'')=\left(A|B\right)+\left(A'|B\right)$. $\left(\alpha A|B\right)=\left(\begin{pmatrix} \alpha a& \alpha b\\ \alpha c&\alpha d\\ \end{pmatrix}|\begin{pmatrix} a''&b''\\c''&d'' \end{pmatrix}\right )= \alpha aa''+\alpha bb''+\alpha cc''+ \alpha dd''=\alpha\left(A|B\right )$. On en déduit que $\left( \,.\,|\,.\,\right)$ est linéaire par rapport à sa première variable. De plus, par commutativité du produit sur $\mathbb{R}$, $\left( \,.\,|\,.\,\right)$ est symétrique. Donc $\left( \,.\,|\,.\,\right)$ est une forme bilinéaire et symétrique.(*) Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\in E$ . $\left(A|A\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant 0$. Donc $\left( .\:|\:.\right)$ est positive.(**) Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\in E$ telle que $\left(A|A\right)=0$. Alors $a^2+b^2+c^2+d^2= 0$. Comme il s’agit d’une somme de termes tous positifs, on en déduit que $a=b=c=d=0$ donc $A=0$. Donc $\left( \,.\,|\,.\,\right)$ est définie.(***) D’après (*), (**) et (***), $\left( \,.\,|\,.\,\right)$ est un produit scalaire sur $E$.
$A=\begin{pmatrix} 1&0\\-1&2 \end{pmatrix}$. On a $A= \begin{pmatrix} 1&0\\0&2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0&0\\-1&0 \end{pmatrix}$. $\begin{pmatrix} 1&0\\0&2 \end{pmatrix}\in F$ et $\begin{pmatrix} 0&0\\-1&0 \end{pmatrix}\in F^{\perp}$ car $\forall (a,b,d)\in\mathbb{R}^3$, $\left(\begin{pmatrix} 0&0\\-1&0 \end{pmatrix}| \begin{pmatrix} a&b\\0&d \end{pmatrix}\right)=0$. On en déduit que le projeté orthogonal, noté $p_F(A)$, de $A$ sur $F$ est la matrice $\begin{pmatrix} 1&0\\0&2 \end{pmatrix}$. Ainsi, $d(A,F)=||A-p_F(A)||=||\begin{pmatrix} 0&0\\-1&0 \end{pmatrix}||=1.$

Corrigé 35

$\left\langle\:,\right\rangle$ est linéaire par rapport à sa première variable par linéarité de la trace, de la transposition et par distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans $E$. De plus, une matrice et sa transposée ayant la même trace, on a : $\forall(A,B)\in E^2$,$\left\langle A\:,B\right\rangle= \mathrm{tr}({}^t\! AB)=\mathrm{tr}({}^t\!\left( {}^t\! AB\right) ) =\mathrm{tr}({}^t\! BA)=\left\langle B\:,A\right\rangle$. Donc $\left\langle\:,\right\rangle$ est symétrique. On en déduit que $\left\langle\:,\right\rangle$ est bilinéaire et symétrique.(1) Soit $A=\left( A_{i,j}\right)_{ _{1\leqslant i,j \leqslant n}}\in E$. $\left\langle A\:,A\right\rangle =\mathrm{tr}({}^t\! AA)=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}({}^t\!AA)_{i,i} =\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}({}^t\!A)_{i,k}A_{k,i} =\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}A_{k,i}^2$ donc $\left\langle A\:,A\right\rangle\geqslant 0$.

Donc $\left\langle\:,\right\rangle$ est positive. (2) Soit $A=\left( A_{i,j}\right)_{ _{1\leqslant i,j \leqslant n}}\in E$ telle que $\left\langle A\:,A\right\rangle =0$. Alors $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{n}A_{k,i}^2=0$. Or, $\forall i\in \llbracket 1,n \rrbracket$, $\forall k\in \llbracket 1,n \rrbracket$, $A_{k,i}^2\geqslant 0$. Donc $\forall i\in \llbracket 1,n \rrbracket$, $\forall k\in \llbracket 1,n \rrbracket$, $A_{k,i}= 0$. Donc $A=0$. Donc $\left\langle\:,\right\rangle$ est définie.(3) D’après (1),(2) et (3), $\left\langle\:,\right\rangle$ est un produit scalaire sur $E$.

Remarque importante: Soit $(A,B)\in E^2$. On pose $A=\left( A_{i,j}\right)_{ _{1\leqslant i,j \leqslant n}}$ et $B=\left( B_{i,j}\right)_{ _{1\leqslant i,j \leqslant n}}$. Alors $\left\langle A\:,B\right\rangle= \mathrm{tr}({}^t\! AB) =\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}({}^t\! AB)_{i,i} =\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\left({}^t\!A\right)_{i,k}B_{k,i} =\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}A_{k,i}B_{k,i}$ . Donc $\left\langle\:,\right\rangle$ est le produit scalaire canonique sur $E$.
1. Soit $M\in S_n(\mathbb{R}) \cap A_n(\mathbb{R})$. alors ${}^t\!M=M$ et ${}^t\!M=-M$ donc $M=-M$ et $M=0$. Donc $S_n(\mathbb{R}) \cap A_n(\mathbb{R})=\{0\}$.(1) Soit $M\in E$. Posons $S=\dfrac{M+{}^t\!M}{2}$ et $A=\dfrac{M-{}^t\!M}{2}$. On a $M=S+A$. ${}^t\:S={}^t\!\left( \dfrac{M+{}^t\!M}{2}\right) =\dfrac{1}{2}\left({}^t\!M+{}^t({}^t\!M) \right) =\dfrac{1}{2}\left({}^t\!M +M\right)=S$, donc $S\in S_n(\mathbb{R})$. ${}^t\:A={}^t\!\left( \dfrac{M-{}^t\!M}{2}\right) =\dfrac{1}{2}\left({}^t\!M-{}^t({}^t\!M) \right) =\dfrac{1}{2}\left({}^t\!M -M\right)=-A$, donc $A\in A_n(\mathbb{R})$. On en déduit que $E=S_n(\mathbb{R}) + A_n(\mathbb{R})$.(2) D’après (1) et (2), $E=S_n(\mathbb{R}) \oplus A_n(\mathbb{R}).$
  
  Remarque: on pouvait également procéder par analyse et synthèse pour prouver que $E=S_n(\mathbb{R}) \oplus A_n(\mathbb{R}).$
2. Prouvons que $S_n(\mathbb{R})\subset A_n(\mathbb{R})^\perp$. Soit $S\in S_n(\mathbb{R})$. Prouvons que $\forall \:A\in A_n(\mathbb{R})$, $\left\langle S\:,A\right\rangle=0$. Soit $A\in A_n(\mathbb{R})$. $\left\langle S\:,A\right\rangle= \mathrm{tr}({}^t\! SA) =\mathrm{tr}(SA) =\mathrm{tr}(AS) =\mathrm{tr}(-{}^t\! AS) =-\mathrm{tr}({}^t\! AS) =-\left\langle A\:,S\right\rangle =-\left\langle S\:,A\right\rangle$. Donc $2\left\langle S\:,A\right\rangle=0$ soit $\left\langle S\:,A\right\rangle=0$. On en déduit que $S_n(\mathbb{R})\subset A_n(\mathbb{R})^\perp$ (1) De plus, $\text{dim} \:A_n(\mathbb{R})^\perp=n^2-\text{dim}\:A_n(\mathbb{R})$. Or, d’après 2.(a), $E=S_n(\mathbb{R}) \oplus A_n(\mathbb{R})$ donc $\text{dim}\:S_n(\mathbb{R})=n^2 -\text{dim}\:A_n(\mathbb{R})$. On en déduit que $\text{dim} \:S_n(\mathbb{R})=\text{dim}\:A_n(\mathbb{R})^\perp$.(2) D’après (1) et (2), $S_n(\mathbb{R})=A_n(\mathbb{R})^\perp$.
On introduit la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ en posant: $\forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket$, $\forall j\in\llbracket 1,n \rrbracket$, $E_{i,j}=\left( e_{k,l}\right)_{ _{1\leqslant k,l \leqslant n}}$ avec $e_{k,l}=\left\lbrace \begin{array}{ll} 1&\:\text{si}\: k=i\:\text{et} \:l=j\\ 0&\:\text{sinon} \end{array} \right.$ On a alors $F=\text{Vect}\left( E_{1,1},E_{2,2},...,E_{n,n}\right)$. Soit $M=\left( m_{i,j}\right)_{ _{1\leqslant i,j \leqslant n}}\in E$. Alors, en utilisant la remarque importante de la question 1., $M\in F^{\perp} \Longleftrightarrow \forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket,\: \left\langle M\:,E_{i,i}\right\rangle=0 \Longleftrightarrow \forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket,\: m_{i,i}=0$. Donc $F^\perp=\text{Vect}\left( E_{i,j}\:\text{telles que}\:(i,j)\in {\llbracket 1,n\rrbracket}^2\:\text{et}\:i\neq j\right)$. En d’autres termes, $F^\perp$ est l’ensemble des matrices comprenant des zéros sur la diagonale.

Corrigé 36

D'après le cours, $p(x)=<x|u>u$.

Un vecteur orthogonal à ce plan est $(1,-2,1)$ de norme $\sqrt 6$ : on pose $u=\frac 1{\sqrt 6}(1,-2,1)$. Notons $p$ la projection orthogonale sur $u$. Alors $q=id-p$. Or : $p(e_1)=<e_1|u>u=\frac1{\sqrt 6}u$, $p(e_2)=<e_2|u>u=-\frac2{\sqrt 6}u$ et $p(e_3)=<e_3|u>u=\frac1{\sqrt 6}u$. On a donc $mat(p)=\frac 1{6}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}$. On en déduit $mat(q)=I_3-mat(p)=\frac 16\begin{pmatrix} 5 & 2 & -1\\2 & 2 & 2 \\-1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

Corrigé 37

Posons $\displaystyle\varphi(x)=x+\sum_{i=1}^n(x|e_i)u_i$. $\varphi$ est évidemment une application linéaire de $E$ dans $E$. On remarque que pour $k\in\{1,\dots,n\}$, $\varphi(e_k)=e_k+u_k$. Ainsi la famille des $e_k+u_k$ est une base si et seulement si $\varphi$ est injective.

Soit $x\in\ker\varphi$. On a alors $x=-\displaystyle\sum_{i=1}^n(x|e_i)u_i$. On a alors :

\[\begin{align*} ||x|| &\le \sum_{i=1}^n\big|(x|e_i)\big|||u_i||\\ &\le \frac 1n\sum_{i=1}^n\big|(x|e_i)\big|\times 1\\ &\le \frac 1n||x||\sqrt n\\ &\le \frac{||x||}{\sqrt n} \end{align*}\]

Or $n>1$ a priori donc $||x||=0$. On en déduit que $\varphi$ est injective, c'est un endomorphisme donc un automorphisme : l'image d'une base est une base, donc $(e_1+u_1,\dots,e_n+u_n)$ est une base.

Corrigé 38

la fonction $x\mapsto \frac 1{\sqrt x}$ est décroissante. On a donc de façon assez classique $\int_{k}^{k+1}\frac 1{\sqrt x}dx\le \frac 1{\sqrt k}\le \int_{k-1}^k\frac 1{\sqrt x}dx$. En sommant de $n+1$ à $2n$, on obtient : $$ \int_{n+1}^{2n}\frac 1{\sqrt x}dx\le \sum_{k=n+1}^{2n}\frac 1{\sqrt k}\le \int_{n}^{2n-1}\frac 1{\sqrt x}dx $$

Or $\int_{n+1}^{2n}\frac 1{\sqrt x}dx=2(\sqrt{2n}-\sqrt{n+1})=2\sqrt n(\sqrt 2-\sqrt{1+\frac 1n})\sim2\sqrt n(\sqrt 2-1)$ et $\int_{n}^{2n-1}\frac 1{\sqrt x}dx=2(\sqrt{2n-1}-\sqrt n)=2\sqrt n(\sqrt{2-\frac 1n}-1)\sim2\sqrt n(\sqrt 2-1)$. Par conservation de l'équivalent par encadrement, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac 1{\sqrt k}\sim 2\sqrt n(\sqrt 2-1)$.

par les sommes de Riemann, on a :

\[ \begin{align*} \sum_{k=n+1}^{2n}\frac 1{\sqrt k}&=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{k+n}}\\ &=\frac 1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac 1{\sqrt{1+\frac kn} }\\ &=\sqrt n\frac 1n\sum_{k=1}^n\frac 1{\sqrt{1+\frac kn} }\\ \end{align*} \]

Or par somme de Riemann, $\frac 1n\sum_{k=1}^n\frac 1{\sqrt{1+\frac kn} }\to \int_0^1\frac1{\sqrt{1+x}}dx=2(\sqrt 2-1)$. On en déduit que $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac 1{\sqrt k}\sim2\sqrt n(\sqrt 2-1)$.

Corrigé 39

Posons $u=\tan(x)$, on a $du = (1+u^2)dx$. Appliquons ce changement de variable :

\[ \begin{align*} I_n&=\int_{0}^{\frac\pi4}(\tan x)^n dx\\ &=\int_{0}^1 \frac{u^n}{1+u^2}du\\ &=\left[\frac1{n+1}\frac{u^{n+1}}{1+u^2}\right]_0^1+\frac 2{n+1}\int_0^1\frac{u^{n+2}}{(1+u^2)^2}du \end{align*} \]

Or $\int_0^1\frac{u^{n+2}}{(1+u^2)^2}du\le\int_0^1\frac{1}{(1+u^2)^2}du$ ce qui assure la convergence de tous les termes vers $0$.

Ainsi $I_n$ converge vers $0$.

On essaye d'obtenir une raltion de récurrence sur $I_n$ :

\[ \begin{align*} I_n+I_{n+2} &= \int_0^{\frac\pi4}(\tan x)^n(1+\tan^2(x))dx\\ &=\left[\frac 1{n+1}(\tan x)^{n+1}\right]_0^{\frac\pi4}\\ &=\frac 1{n+1} \end{align*} \]

On doit maintenant utiliser la question précédente. On peut remarquer que $\frac 1{2n+1}=I_{2n}+I_{2n+2}$ et donc $\sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{2n+1}=\sum_{n=0}^N(-1)^n(I_{2n}+I_{2n+2})=I_0+I_2-I_2-I_4+I_4+I_6-\dots +(-1)^NI_2N+(-1)^NI_{2N+2}=I_0+(-1)^NI_{2N+2}$. Par ailleurs $I_{2N+2}\to 0$ donc $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=I_0=\frac\pi4$.

Enfin, $I_n$ est positive, décroissante et converge vers $0$. D'après le CSSA, $\sum(-1)^nI_n$ converge. Or on remarque $\sum(-1)^nI_n=I_0-I_1+I_2-I_3+I_4-...=(I_0+I_2)+(I_4+I_6)+\dots -(I_1+I_3)-(I_5+I_7)-\dots$ et donc $2\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nI_n=I_0-I_1+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}=\frac\pi4-\frac 12\ln(2)+\ln(2)=\frac \pi4+\frac 12\ln(2)$. D'où $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nI_n=\frac\pi8+\frac 12\ln(2)$.

Corrigé 40

Soit $z$ un complexe non nul. Posons $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ réels. Un argument de $z$ est un réel $\theta$ tel que $\frac{z}{|z|} =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
$z=0$ n’est pas solution de l’équation $z^n=1$. Les complexes solutions s’écriront donc sous la forme $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in\mathbb{R}$. On a $z^n=1 \: \Longleftrightarrow \:\left\lbrace \begin{array}{c} r^{n}=1 \\ \text{et}\\ n\theta=0\mod2\pi \end{array} \right.$ $\: \Longleftrightarrow \:\left\lbrace \begin{array}{c} r=1 \\ \text{et}\\ \theta=\dfrac{2k\pi}{n}\:\text{avec}\:k\in{\mathbb{Z}} \end{array} \right.$ Les réels $\dfrac{2k\pi}{n}$, pour $k\in\llbracket0,n-1\rrbracket$, sont deux à deux distincts et $\forall\:k\in\llbracket0,n-1\rrbracket$, $\dfrac{2k\pi}{n} \in\left[0,2\pi \right[$. Or $\begin{array}{lll} \left[0,2\pi \right[&\longrightarrow &\mathbb{C}\\ \theta&\longmapsto&\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \end{array}$ est injective. Donc, $\left\lbrace \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}\:\text{avec}\: k\in{\llbracket 0,n-1\rrbracket}\right\rbrace$ est constitué de $n$ solutions distinctes de l’équation $z^n=1$. Les solutions de l’équation $z^n=1$ étant également racines du polynôme $X^n-1$, il ne peut y en avoir d’autres. Finalement, l’ensemble des solutions de l’équation $z^n=1$ est $S=\left\lbrace \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}\:\text{avec}\: k\in{\llbracket 0,n-1\rrbracket}\right\rbrace$.
$z=i$ n’étant pas solution de l’équation $\left( z+\mathrm{i}\right)^{n}=\left(z-\mathrm{i}\right)^{n}$, $\begin{array}{lll} \left( z+\mathrm{i}\right)^{n}=\left(z-\mathrm{i}\right)^{n} & \Longleftrightarrow & \left( \dfrac{z+\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}\right) ^n=1 \\\\ & \Longleftrightarrow &\exists\: k \in{\llbracket 0,n-1\rrbracket} \:\text{tel que}\:\dfrac{z+\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}} \:\: \\\\ &\Longleftrightarrow&\exists\: k \in{\llbracket 0,n-1\rrbracket} \:\text{tel que}\: z\left( 1-\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}\right)=-\mathrm{i}\left(1+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}\right) \\\\ \end{array}$ En remarquant que $z\left( 1-\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}\right)=-\mathrm{i}\left(1+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}\right)$ n’admet pas de solution pour $k=0$, on en déduit que: $\begin{array}{lll} \left( z+\mathrm{i}\right)^{n}=\left(z-\mathrm{i}\right)^{n} & \Longleftrightarrow & \exists\: k \in{\llbracket 1,n-1\rrbracket} \:\text{tel que}\: z=\mathrm{i}\:\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}+1}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}-1} \end{array}$ En écrivant $\mathrm{i}\:\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}+1}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}2k\pi}{n}}-1}=\mathrm{i}\:\dfrac{\mathrm{e}^{\dfrac{\mathrm{i}k\pi}{n}}+\mathrm{e}^{-\dfrac{\mathrm{i}k\pi}{n}}}{\mathrm{e}^{\dfrac{\mathrm{i}k\pi}{n}}-\mathrm{e}^{-\dfrac{\mathrm{i}k\pi}{n}}}$ $= \mathrm{i}\dfrac{2\cos\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{2\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}= \dfrac{\cos\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}$ , on voit que les solutions sont des réels. On pouvait aussi voir que si $z$ est solution de l’équation $\left( z+\mathrm{i}\right)^{n}=\left(z-\mathrm{i}\right)^{n}$ alors $|z+\mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}|$ et donc le point d’affixe $z$ appartient à la médiatrice de $\left[A,B\right]$, $A$ et $B$ étant les points d’affixes respectives $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$, c’est-à-dire à la droite des réels.

Corrigé 41

$z^k-1 = e^{\mathrm{i}\,\dfrac{k2\pi}{n}} - 1 = \text{e}^{\mathrm{i}\,\dfrac{k\pi}{n}}\left(\text{e}^{\mathrm{i}\,\dfrac{k\pi}{n}} - \text{e}^{-\mathrm{i}\dfrac{k\pi}{n}}\right) = \text{e}^{\mathrm{i}\dfrac{k\pi}{n}}2\mathrm{i} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$ c’est-à-dire $z^k-1 = 2 \sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\;\text{e}^{\mathrm{i}(\dfrac{k\pi}{n}+ \dfrac{\pi}{2})}$

Pour $k\in{\llbracket 1,n-1 \rrbracket}$, on a $0 < \frac{k\,\pi}{n} < \pi$, donc $\sin\left(\dfrac{k\,\pi}{n}\right) > 0$. Donc le module de $z^k - 1$ est $\,2\: \sin\left(\dfrac{k\,\pi}{n}\right)$ et un argument de $\,z^k - 1$ est $\,\dfrac{k\pi}{n}+ \dfrac{\pi}{2}$.
On remarque que pour $k=0$, $|z^k-1|=0$ et $\sin\left(\dfrac{k\,\pi}{n}\right)=0$. Donc d’après la question précédente, on a $S = 2\:\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} \;\sin\left(\dfrac{k\,\pi}{n}\right).$ $S$ est donc la partie imaginaire de $\:T = 2 \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} e^{\mathrm{i}\,\dfrac{k\pi}{n}}$. Or, comme $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{n}}\neq 1$, on a $T = 2\dfrac{1 - \text{e}^{\mathrm{i}\pi}}{1 - e^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{n}}}=\dfrac{4}{1 - e^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{n}}}$. Or $1-\mathrm{e} ^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2n}}\left( \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2n}}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2n}}\right) =-2\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2n}}\sin\left( \dfrac{\pi}{2n}\right)$. On en déduit que $T= \dfrac{4\text{e}^{-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2n}}}{-2\mathrm{i}\,\sin \dfrac{\pi}{2n}} = \dfrac{2}{\sin \dfrac{\pi}{2n}}\;\mathrm{i}\;\text{e}^{-\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2n}}$. En isolant la partie imaginaire de $T$, et comme $\cos\left( \dfrac{\pi}{2n}\right)\neq 0$ ($n\geqslant 2$), on en déduit que $S = \dfrac{2}{\tan\dfrac{\pi}{2n}}$.

Corrigé 42

pour l'équation $z^n=e^{i\pi/3}$ on doit se ramener à une équation de la forme $Z^n=1$. On pose donc ici $Z=\frac z{e^{i\pi/3n}}$ et on a donc $Z\in\mathbb U_n$. Les solutions sont donc $Z=e^{2ik\pi/n}$ et $z=e^{2ik\pi/n+i\pi/(3n)}=e^{i\pi\frac{1+6k}{3n}}$.

Pour la seconde équation, on note que $z e1$ et $z \ne-1$, on pose $Z=(\frac{z-1}{z+1})^n$ et l'équation est équivalente à $Z^2-Z+1=0$ dont les racines sont $\frac{1\pm i\sqrt3}{2}=e^{\pm i\pi/3}$. On en déduit que $\frac{z-1}{z+1}=e^{i\pi\frac{\pm1+6k}{3n}}$.

Or si $\frac{z-1}{z+1}=e^{i\theta}$, alors $z=\frac{e^{i\theta}+1}{1-e^{i\theta}}=i\frac{2\cos\frac\theta2}{2\sin\frac\theta2}=\frac i{\tan\frac\theta2}$.

Dans le cas qui nous intéresse, on a donc les solutions : $\frac i{\tan\frac{\pm1+6k}{6n}\pi}$ pour $k\in\{0,\dots,n-1\}$.

Corrigé 43

La première question est triviale.

On a $A_{n+1}+iB_{n+1}=(3+4i)(A_n+iB_n)=(3A_n-4B_n)+i(3B_n+4A_n)$.

On montre facilement par récurrence grâce à la relation précédente que $A_n$ et $B_n$ sont des entiers.

On montre les histoires de restes par récurrence aussi.

La dernière question est plus intéressante : le complexe $(\frac {3+4i}5)^n$ est dans $\mathbb U$. Montrons que pour tout entier $n$, $(\frac {3+4i}5)^n \ne1$. On s'interesse pour cela à la valeur de $B_n$ : $B_n$ est un entier dont le reste modulo $5$ est $4$ : $B_n$ ne peut donc pas être nul. Or $(\frac {3+4i}5)^n=\frac {A_n}{5^n}+i\frac{B_n}{5^n}$ donc $(\frac {3+4i}5)^n \ne1$.

Corrigé 44

On passe en complexes en remplaçant $\cos(kx)$ par $e^{ikx}$.

\[ \begin{align*} \sum_{k=0}^n \binom nke^{ikx}&=(1+e^{ix})^n\\ &=e^{i\frac n2x}(2\cos(\frac x2))^n\\ \end{align*} \]

Et ainsi $\sum_{k=0}^n \binom nk \cos(kx)=2^n\cos(\frac{nx}2)\cos^n(\frac x2)$.

Corrigé 45

1. $P(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.
2. \[\begin{aligned} a\ \text{est une racine d'ordre }r\ \text{de }P &\Longleftrightarrow &\exists Q\in \mathbb{R}_{n-r}[X]\:\:\text{tel que}\: \:Q\left( a\right) \neq 0\ \text{et\ \ }P=\left( X-a\right) ^{r}Q \\ &\Longleftrightarrow &\exists \left( q_{0},\ldots ,q_{n-r}\right) \in \mathbb{R}^{n-r+1} \:\:\text{tel que}\:\: q_{0}\neq 0\ \text{et}\ P=\left( X-a\right) ^{r}\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n-r}q_{i}\left( X-a\right) ^{i} \\ &\Longleftrightarrow &\exists \left( q_{0},\ldots ,q_{n-r}\right) \in \mathbb{R}^{n-r+1}\:\text{tel que}\: \: q_{0}\neq 0\ \ \text{et\ \ }P=\displaystyle\sum% \limits_{i=0}^{n-r}q_{i}\left( X-a\right) ^{r+i} \\ &\Longleftrightarrow &\exists \left( q_{0},\ldots ,q_{n-r}\right) \in \mathbb{R}^{n-r+1} \:\text{tel que}\: \: q_{0}\neq 0\ \ \ \text{et\ \ }P=\displaystyle\sum% \limits_{k=r}^{n}q_{k-r}\left( X-a\right) ^{k}\end{aligned}\]
D’après la formule de Taylor (rappelée ci-dessus) et l’unicité de la décomposition de $P$ dans la base $\left( 1,\left( X-a\right) ,\ldots ,\left( X-a\right) ^{n}\right)$ de $\mathbb{R}_{n}[X]$ il vient enfin :

\[ a\ \text{est une racine d'ordre }r\ \text{de }P\Longleftrightarrow \forall k\in \left\{ 0,\ldots ,r-1\right\} \ \ P^{\left( k\right) }\left( a\right) =0\ \text{et\ \ }P^{\left( r\right) }\left( a\right) \neq 0\ \]
D’après la question précédente,

\[ \begin{aligned} 1\ \text{est racine double de }P =X^{5}+aX^{2}+bX&\Longleftrightarrow& P\left( 1\right) =P^{\prime }\left( 1\right) =0\ \text{et }P^{\prime \prime }\left( 1\right) \neq 0 \\ &\Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{c} 1+a+b=0 \\ 5+2a+b=0 \\ 20+2a\neq 0% \end{array}% \right. \\ &\Longleftrightarrow &a=-4\ \text{et }b=3\end{aligned} \]

On obtient $X^{5}-4X^{2}+3X=X(X-1)^{2}(X^{2}+2X+3)$ et c’est la factorisation cherchée car le discriminant de $X^{2}+2X+3$ est strictement négatif.

Corrigé 46

L’application $u$:$\begin{array} {lll} \mathbb{R}_{n}[X]&\rightarrow &\mathbb{R}^{n+1}\\ P& \mapsto & \left( P\left( a_{0}\right) ,P\left( a_{1}\right) ,\cdots ,P\left( a_{n}\right) \right) \end{array}$ est linéaire. Montrons que $\mathrm{Ker} u=\left\{ 0\right\} .$

Si $P\in \mathrm{Ker} u$, alors $P\left( a_{0}\right) =P\left( a_{1}\right) =\cdots =P\left( a_{n}\right) =0$ et le polynôme $P$, de degré inférieur ou égal à $n$, admet $n+1$ racines distinctes. Donc $P=0$. Ainsi $u$ est injective et comme $\dim \mathbb{R}_{n}[X]=n+1=\dim \mathbb{R}^{n+1}\ ,$ $u$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Enfin les conditions recherchées sont équivalentes à : $P\in \mathbb{R}_{n}[X]$ et $u\left( P\right) =\left( b_{0},\ldots ,b_{n}\right) .$

La bijectivité de $u$ dit que ce problème admet une unique solution $P$ et on a $P=u^{-1}\left(\left( b_{0},\ldots ,b_{n}\right)\right)$.
Pour ce choix de $b_{0},b_{1},\cdots ,b_{n}$ le polynôme $L_{k}$ vérifie les conditions :

\[\deg L_{k}\leqslant n \:\:\text{et}\: \: \forall i\in \llbracket0,n\rrbracket, \: L_k(a_i)=\left\lbrace \begin{array}{lll} 0&\text{si}&i\neq k\\ 1&\text{si}&i=k \end{array} \right.\]

Comme $a_{0},\ldots ,a_{k-1},a_{k+1},\ldots ,a_{n}$ sont $n$ racines distinctes de $L_{k}$ qui est de degré $\leqslant n$, il existe né cessairement $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que

\[L_{k}=\lambda \prod\limits_{\underset{i\neq k}{i=0}}^{n}\left( X-a_{i}\right)\]

La condition supplémentaire $L_{k}\left( a_{k}\right) =1$ donne $\lambda =\dfrac{1}{\displaystyle\prod\limits_{\underset{i\neq k}{i=0}}^{n}\left( a_{k}-a_{i}\right) }$ et finalement :

\[L_{k}=\prod\limits_{\underset{i\neq k}{i=0}}^{n}\frac{X-a_{i}}{a_{k}-a_{i}}\]
Soit $p\in \llbracket 0,n\rrbracket$. Les polynômes $\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n}a_{k}^{p}L_{k}$ et $X^{p}$ vérifient les mêmes conditions d’interpolation :

\[\deg P\leqslant n\ \ \text{et}\ \ \ \forall i\in \{0,\cdots,n\}\;\;\;P\left( a_{i}\right) =a_{i}^{p}\]

Par l’unicité vue en première question, on a $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}^{p}L_{k}=X^{p}$.

Corrigé 47

Les racines de $P$ sont les $w-1$ avec $w\in\mathbb U_n$. Or $e^{2ik\pi/n}-1=2ie^{ik\pi/n}\sin(k\pi n)$.

Or $P=(X+1)^n-1=\sum_{k=0}^n\binom nk X^k-1=X\sum_{k=1}^n\binom nk X^{k-1}$. Les racines de second membre sont donc les $2ie^{ik\pi/n}\sin(k\pi/n)$ pour $k\in\{1\dots n-1\}$ : le produit des racines se lit sur le coefficient de degré $0$ avec un coefficient multiplicatif de $(-1)^{n-1}$ : $(-1)^{n-1}n=\prod_{k=1}^{n-1}2ie^{ik\pi/n}\sin(k\pi/n)=(2i)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n) e^{i\sum_{k=1}^{n-1}k\pi/n}=(2i)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n) e^{in(n-1)\pi/2n}=(2i)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n) e^{i(n-1)\pi/2}=(-2)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)$.

On en déduit : $\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=\frac{n}{2^{n-1}}$.

Corrigé 48

Tout d'abord on a évdemment les relations : $(i)\Rightarrow(ii)$ et $(i)\Rightarrow (iii)$ ainsi que $(ii)\Rightarrow (iii)$. Nous allons montrer que $(ii)\Rightarrow (i)$ et que $(iii)\Rightarrow (i)$. Commençons par faire une remarque plutôt simple à démontrer : on a pour tout $p\in\mathbb Z$, $H_k(p)\in \mathbb Z$ avec en particulier $H_k(k)=1$. De plus, $(1,H_1,\dots,H_n)$ étant une famille de $n+1$ éléments échelonnés de $\mathbb Q_n[X]$, cette famille est une base de $\mathbb Q_n[X]$.

Supposons $(ii)$ vraie, alors en écrivant $P=q_0H_0+q_1H_1+\dots q_nH_n$, on obtient le système : $$\begin{cases} P(0)&=q_0\\ P(1)&=q_0H_0(1)+q_1H_1(1)\\ \vdots\\ P(n)&=q_0H_0(n)+q_1H_1(n)+\dots+q_nH_n(n) \end{cases}$$ système qui nous permet d'assurer que les $q_i$ sont des entiers.

Soit maintenant un entier $q$ quelconque, alors $P(i)=q_0H_0(i)+q_1H_1(i)+\dots+q_nH_n(i)$ qui est une somme d'entier et ainsi $P(i)\in\mathbb Z$. Ainsi $(ii)\Rightarrow (i)$.

Montrons maintenant que $(iii)\Rightarrow (i)$. Pour cela, posons $Q(X)=P(X+m)$. On a donc pour $k\in\{0,\dots n\}$, $Q(k)=P(m+k)\in\mathbb Z$. Alors d'après le cas précédent, on peut en déduire que $Q(\mathbb Z)\subset \mathbb Z$. Soit alors $k\in\mathbb Z$, $P(k)=Q(k-m)$. Or $k-m\in\mathbb Z$ donc $Q(k-m)\in\mathbb Z$. Ainsi $P(k)\in\mathbb Z$ et on en déduit que $P(\mathbb Z)\subset\mathbb Z$.

On a donc bien équivalence entre les trois propriétés.

Corrigé 49

Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé. Soit $B$ un événement de probabilité non nulle et $\left( A_i\right) _{i\in I}$ un système complet d’événements de probabilités non nulles. Alors, $\forall\: i_0 \in I$, $P_B(A_{i_0})=\dfrac{P(A_{i_0})P_{A_{i_0}}(B)}{\displaystyle\sum\limits_{i\in I}^{}P(A_i)P_{A_i}(B)}.$

Preuve: $P_B(A_{i_0})=\dfrac{P(A_{i_0}\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_{i_0})P_{A_{i0}}(B)}{P(B)}$.(1) Or $\left( A_i\right) _{i\in I}$ un système complet d’événements donc $P(B)=\displaystyle\sum\limits_{i\in I}^{}P(A_{i}\cap B)$. Donc $P(B)=\displaystyle\sum\limits_{i\in I}^{}P(A_i)P_{A_i}(B)$.(2). (1) et (2) donnent le résultat souhaité.
1. On tire au hasard un dé parmi les 100 dés. Notons $T$ l’événement: «le dé choisi est pipé». Notons $A$ l’événement :« On obtient le chiffre 6 lors du lancer ». On demande de calculer $P_A(T)$. Le système $(T,\overline{T})$ est un système complet d’événements de probabilités non nulles. On a d’ailleurs, $P(T)=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$ et donc $P(\overline{T})=\dfrac{3}{4}$. Alors, d’après la formule de Bayes, on a : $P_A(T)=\dfrac{P(T)P_T(A)}{P_T(A)P(T)+P_{\overline{T}}(A)P(\overline{T})} =\dfrac{\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}.$
2. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On choisit au hasard un dé parmi les 100 dés. $\forall \:k\in\llbracket1,n\rrbracket$, on note $A_k$ l’événement « on obtient le chiffre 6 au $k^{\text{ième}}$ lancer ». On pose $A=\displaystyle\bigcap \limits_{k=1}^{n}A_k$. On nous demande de calculer $p_n=P_A(T)$. Le système $(T,\overline{T})$ est un système complet d’événements de probabilités non nulles. On a d’ailleurs, $P(T)=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$ et donc $P(\overline{T})=\frac{3}{4}$. Alors d’après la formule de Bayes, on a :
  
  $p_n=P_A(T)=\dfrac{P(T)P_T(A)}{P_T(A)P(T)+P_{\overline{T}}(A)P\left( \overline{T}\right) }$ Donc $p_n=\dfrac{\dfrac{1}{4}\times\left( \dfrac{1}{2}\right) ^n}{\left( \dfrac{1}{2}\right) ^n\times\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{6}\right) ^n\times\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3^{n-1}}}.$
3. $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $p_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3^{n-1}}}$ Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}^{}p_n=1$. Ce qui signifie que, lorsqu’on effectue un nombre élevé de lancers, si on n’obtient que des 6 sur ces lancers alors il y a de fortes chances que le dé tiré au hasard au départ soit pipé.

Corrigé 50

Notons $U_1$ l’événement le premier tirage se fait dans l’urne $U_1$. Notons $U_2$ l’événement le premier tirage se fait dans l’urne $U_2$. $(U_1,U_2)$ est un système complet dévénements. Donc d’après la formule des probabilités totales, $p_1=P(B_1)=P_{U_1}(B_1)P(U_1)+P_{U_2}(B_1)P(U_2)$. Donc $p_1=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{7}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{17}{35}$ On a donc $p_1=\dfrac{17}{35}$.
Soit $n\in\mathbb{N}^*.$ $(B_n, \overline{B_n})$ est un système complet d’événements. Donc, d’après la formule des probabilités totales, $P(B_{n+1})=P_{B_n}(B_{n+1})P(B_n)+P_{\overline{B_n}}(B_{n+1})P(\overline{B_n})$. Alors en tenant compte des conditions de tirage, on a $p_{n+1}=\dfrac{2}{5}p_n+\dfrac{4}{7}(1-p_n)$. Donc, $\forall\:n\in\mathbb{N}^*.$ $p_{n+1}=-\dfrac{6}{35}p_n+\dfrac{4}{7}$.
$\forall n\in\mathbb{N}^*$, $p_{n+1}=-\dfrac{6}{35}p_n+\dfrac{4}{7}.$ Donc $(p_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite arithmético-géométrique. On résout l’équation $l=-\dfrac{6}{35}l+\dfrac{4}{7}$ et on trouve $l=\dfrac{20}{41}$. On considère alors la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par : $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$ , $u_n=p_n-l$. $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est géométrique de raison $-\dfrac{6}{35}$, donc, $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $u_n=\left( -\dfrac{6}{35}\right) ^{n-1}u_1$. Or $u_1=p_1-l=\dfrac{17}{35}-\dfrac{20}{41}=-\dfrac{3}{1435}.$ On en déduit que, $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $p_n=u_n+l$, c’est-à-dire $p_n=-\dfrac{3}{1435}\left( -\dfrac{6}{35}\right) ^{n-1}+\dfrac{20}{41}.$

Corrigé 51

On note $F=\left\lbrace (A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\subset B\right\rbrace$. Soit $p\in\llbracket 1,n\rrbracket$. On pose $F_p=\left\lbrace (A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\subset B\:\text{et}\: \text{card}B=p\right\rbrace$. Pour une partie $B$ à $p$ éléments donnée, le nombre de parties $A$ de $E$ telles que $A\subset B$ est $\text{card}\,\mathcal{P}(B)=2^p$. De plus, on a $\binom{n}{p}$ possibilités pour choisir une partie $B$ de $E$ à $p$ éléments. On en déduit que : $\forall \: p\in\llbracket 0,n\rrbracket$, $\text{card}\,F_p=\binom{n}{p}2^p$. Or $F=\bigcup\limits_{p=0}^{n}F_p$ avec $F_0,F_1,...,F_n$ deux à deux disjoints. Donc $a=\text{card}\,F=\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\text{card}\,F_p=\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\binom{n}{p}2^p=3^n$, d’après le binôme de Newton. Conclusion: $a=3^n$.
Autre méthode: Le raisonnement suivant (corrigé non détaillé) permet également de répondre à la question 1. Notons encore $F=\left\lbrace (A,B)\in\left( \mathcal{P}(E)\right) ^2\:/\:A\subset B\right\rbrace$. À tout couple $(A,B)$ de $F$, on peut associer l’application $\varphi_{A,B}$ définie par: $\varphi_{A,B}:\begin{array}{lll} E&\longrightarrow & \left\lbrace 1,2,3\right\rbrace \\ x&\longmapsto& \left\lbrace \begin{array}{ccc} 1&\:\text{si}\:&x\in A \\ 2&\:\text{si}\:& x\notin A \:\text{et}\: x \in B \\ 3&\:\text{si} &x \notin B \end{array}\right. \end{array}$ On note $\mathcal{A} \left( E,\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace \right)$ l’ensemble des applications de $E$ dans $\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace$. Alors l’application $\Theta: \begin{array}{lll} {F}&\longrightarrow &\mathcal{A} \left( E,\left\lbrace 1,2,3\right\rbrace \right) \\ (A,B)&\longmapsto &\varphi_{A,B} \end{array}$ est bijective. Le résultat en découle.
$\left\lbrace (A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\cap B=\emptyset \right\rbrace =\left\lbrace (A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\subset \overline{B}\right\rbrace$.

$\begin{array}{lll} \text{Or}\:\:\text{card}\,\left\lbrace (A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\subset \overline{B} \right\rbrace &=&\text{card}\, \left\lbrace (A,\overline{B})\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\subset \overline{B}\right\rbrace \\ &=&\text{card}\, \left\lbrace (A,C)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\subset C\right\rbrace\\ &=&a. \end{array}$

Donc $b =a.$
Compter tous les triplets $(A,B,C)$ tels que $A$, $B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et tels que $A\cup B\cup C=E$ revient à compter tous les couples $(A,B)$ tels que $A\cap B=\emptyset$ car, alors, $C$ est obligatoirement égal à $\overline{A\cup B}$. En d’autres termes, $c=\text{card} \,\left\lbrace (A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2 \:/\:A\cap B=\emptyset\right\rbrace=b=3^n$.

Corrigé 52

1. L’expérience est la suivante: l’épreuve "le tirage d’une boule dans l’urne" est répétée 5 fois. Comme les tirages se font avec remise, ces 5 épreuves sont indépendantes. Chaque épreuve n’a que deux issues possibles: le joueur tire une boule blanche (succès avec la probabilité $p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$) ou le joueur tire une boule noire (échec avec la probabilité $\dfrac{4}{5}$). La variable $X$ considérée représente donc le nombre de succès au cours de l’expérience et suit donc une loi binomiale de paramètre $(5,\dfrac{1}{5})$. C’est-à-dire $X(\Omega)=\llbracket0,5\rrbracket$ et : $\forall \:k\in \llbracket0,5\rrbracket$, $P(X=k)=\binom{5}{k}(\dfrac{1}{5})^k(\dfrac{4}{5})^{5-k}$. Donc, d’après le cours, $E(X)=5\times\dfrac{1}{5}=1$ et $V(X)=5\times\dfrac{1}{5}\times\left( 1-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{4}{5}=0,8$.
2. D’après les hypothèses, on a $Y=2X-3(5-X)$, c’est-à-dire $Y=5X-15$. On en déduit que $Y(\Omega)=\left\lbrace 5k-15\:\text{avec}\:k\in\llbracket0,5\rrbracket \right\rbrace$ . Et on a $\forall \:k\in \llbracket0,5\rrbracket$, $P(Y=5k-15)= P(X=k)=\binom{5}{k}(\dfrac{1}{5})^k(\dfrac{4}{5})^{5-k}$. $Y=5X-15$, donc $E(Y)=5E(X)-15=5-15=-10$. De même, $Y=5X-15$, donc $V(Y)=25V(X)=25\times\dfrac{4}{5}=20$.
Dans cette question, le joueur tire successivement, sans remise, 5 boules dans cette urne.
1. Comme les tirages se font sans remise, on peut supposer que le joueur tire les 5 boules dans l’urne en une seule fois au lieu de les tirer successivement. Cette supposition ne change pas la loi de $X$. $X(\Omega)=\llbracket0,2 \rrbracket$. Notons $A$ l’ensemble dont les éléments sont les 10 boules initialement dans l’urne. $\Omega$ est constitué de toutes les parties à 5 éléments de $A$. Donc $\mathrm{card}\,\Omega=\dbinom{10}{5}$. Soit $k\in\llbracket0,2\rrbracket$. L’événement $(X=k)$ est réalisé lorsque le joueur tire $k$ boules blanches et $(5-k)$ boules noires dans l’urne. Il a donc $\dbinom{2}{k}$ possibilités pour le choix des boules blanches et $\dbinom{8}{5-k}$ possibilités pour le choix des boules noires. Donc : $\forall\:k\in\llbracket0,2\rrbracket$, $P(X=k)=\dfrac{\dbinom{2}{k}\times\dbinom{8}{5-k}}{\dbinom{10}{5}}$.
2. On a toujours $Y=5X-15$. On en déduit que $Y(\Omega)=\left\lbrace 5k-15\:\text{avec}\:k\in\llbracket0,2\rrbracket \right\rbrace$ . Et on a $\forall \:k\in \llbracket0,2\rrbracket$, $P(Y=5k-15)= P(X=k)=\dfrac{\dbinom{2}{k}\times\dbinom{8}{5-k}}{\dbinom{10}{5}}$.

Corrigé 53

L’expérience est la suivante: l’épreuve de l’appel téléphonique de la secrétaire vers un correspondant est répétée $n$ fois et ces $n$ épreuves sont mutuellement indépendantes. De plus, chaque épreuve n’a que deux issues possibles: le correspondant est joint avec la probabilité $p$ (succès) ou le correspondant n’est pas joint avec la probabilité $1-p$ (échec). La variable $X$ considérée représente le nombre de succès et suit donc une loi binômiale de paramètres $(n,p)$. C’est-à-dire $X(\Omega)=\llbracket 0,n\rrbracket$ et $\forall k\in{\llbracket 0,n\rrbracket}$ $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$.
1. Soit $i$ $\in \llbracket 0,n \rrbracket$. Sous la condition $(X=i)$, la secrétaire rappelle $n-i$ correspondants lors de la seconde série d’appels et donc:
  
  $P(Y=k|X=i)=\left\lbrace \begin{array}{l}\dbinom{n-i}{k}p^{k}(1-p)^{n-i-k} \:\:\text{si}\:\: k\in \llbracket 0,n-i \rrbracket\\ 0 \:\:\text{sinon} \end{array} \right.$
2. $Z(\Omega)=\llbracket 0,n\rrbracket $ et $\forall k\in{\llbracket 0,n\rrbracket}$ $P(Z=k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}P(X=i\cap Y=k-i)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}P(Y=k-i|X=i)P(X=i)$.
  Soit $k$ $\in \llbracket 0,n \rrbracket $. D'après les questions précédentes, $P(Z=k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\dbinom{n-i}{k-i}\dbinom{n}{i}p^{k}(1-p)^{2n-k-i}$.
  Or, d'après l'indication, $\dbinom{n-i}{k-i}\dbinom{n}{i}=\dbinom{k}{i}\dbinom{n}{k}$.
  Donc $P(Z=k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\dbinom{k}{i}\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{2n-k-i}=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{2n-k}\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\dbinom{k}{i}\left( \dfrac{1}{1-p}\right) ^i$.
  Donc d'après le binôme de Newton, $P(Z=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{2n-k}\left(\dfrac{2-p}{1-p}\right)^{k}=\dbinom{n}{k}\left( p(2-p)\right)^k\left( (1-p)^2\right)^{n-k}$.
  On vérifie que $1-p(2-p)=(1-p)^2$ et donc on peut conclure que:
  $Z$ suit une loi binomiale de paramètre $(n,p(2-p))$.
3. D'après le cours, comme $Z$ suit une loi binomiale de paramètre $(n,p(2-p))$, alors: $E(Z)=np(2-p)$ et $V(Z)=np(2-p)\left( 1-p(2-p)\right)=np(2-p)(p-1)^{2} $.

Corrigé 54

Soit $i\in\llbracket1,N\rrbracket$. $X_i(\Omega)=\mathbb{N}^*$ et $\forall k\in{\mathbb{N}^*}$, $P(X_i=k)=p(1-p)^{k-1}=pq^{k-1}$. Alors on a $P(X_i\leqslant n)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}P(X_i=k)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}pq^{k-1}=p\dfrac{1-q^n}{1-q}=1-q^n$. Donc $P(X_i>n)=1-P(X_i\leqslant n)=q^n$.
1. $Y(\Omega)=\mathbb{N}^*$. Soit $n\in{\mathbb{N}^*}$. $P(Y>n)=P((X_1>n)\cap\cdots\cap (X_N>n))$ Donc $P(Y>n)=\displaystyle\prod\limits_{i=1}^{N}P(X_i>n)$ car les variables $X_1,\cdots,X_N$ sont mutuellement indépendantes. Donc $P(Y>n)=\displaystyle\prod\limits_{i=1}^{N}q^n=q^{nN}.$ Or $P(Y\leqslant n)=1-P(Y>n)$ donc $P(Y\leqslant n)=1-q^{nN}$. Calcul de $P(Y=n)$: Premier cas: si $n\geqslant 2$. $P(Y=n)=P(Y\leqslant n)-P(Y\leqslant n-1)$. Donc $P(Y=n)=q^{(n-1)N}(1-q^N)$. Deuxième cas: si $n=1$. $P(Y=n)=P(Y=1)=1-P(Y>1)=1-q^N$. Conclusion: $\forall n\in{\mathbb{N}^*}$, $P(Y=n)=q^{(n-1)N}(1-q^N)$.
2. D’après 2.(a), $\forall n\in{\mathbb{N}^*}$, $P(Y=n)=q^{(n-1)N}(1-q^N)$. C’est-à-dire $\forall n\in{\mathbb{N}^*}$, $P(Y=n)=\left( 1-(1-q^{N})\right) ^{n-1}(1-q^N)$. On en déduit que $Y$ suit une loi géométrique de paramètre $1-q^N$. Donc, d’après le cours, $Y$ admet une espérance et $E(Y)=\dfrac{1}{1-q^N}$.

Corrigé 55

$X(\Omega)=\llbracket 0,2\rrbracket$.
1. Pour que l’événement $(X=2)$ se réalise, on a $\dbinom{3}{2}$ possibilités pour choisir les 2 compartiments restant vides. Les deux compartiments restant vides étant choisis, chacune des $n$ boules viendra se placer dans le troisième compartiment avec la probabilité $\dfrac{1}{3}$. De plus les placements des différentes boules dans les trois compartiments sont indépendants. Donc $P(X=2)=\dbinom{3}{2}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n=3\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n=\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}$.
2. Déterminons $P(X=1)$. Pour que l’événement $(X=1)$ se réalise, on a $\binom{3}{1}$ possibilités pour choisir le compartiment restant vide. Le compartiment restant vide étant choisi, on note $A$ l’événement : «les $n$ boules doivent se placer dans les deux compartiments restants (que nous appellerons compartiment $a$ et compartiment $b$) sans laisser l’un d’eux vide». Soit $k\in\llbracket1,n-1\rrbracket$. On note $A_k$ l’événement : « $k$ boules se placent dans le compartiment $a$ et les $(n-k)$ boules restantes dans le compartiment $b$». On a alors $A=\displaystyle\bigcup \limits_{k=1}^{n-1}A_k$. On a $\forall\:k\in\llbracket1,n-1\rrbracket$, $P(A_k)=\dbinom{n}{k}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^k\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-k}=\dbinom{n}{k}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n$. Donc $P(X=1) = \dbinom{3}{1}P(\displaystyle\bigcup \limits_{k=1}^{n-1}A_k) =3\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{n-1}P(A_k)$ car $A_1,A_2,...,A_{n-1}$ sont deux à deux incompatibles. Donc $P(X=1)=3\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{n-1}\dbinom{n}{k}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n =\left( \frac{1}{3}\right) ^{n-1}\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{n-1}\dbinom{n}{k} =\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}\left(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}-2\right) = \left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}\left( 2^n-2\right).$ Donc $P(X=1)=\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}\left( 2^n-2\right).$ Enfin, $P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=1)$ donc $P(X=0)=1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n-1}-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n-1}\left( 2^n-2\right)$. Donc $P(X=0)=1- \left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}\left( 2^n-1\right)$.

Autre méthode: Une épreuve peut être assimilée à une application de $\llbracket1,n\rrbracket$ (ensemble des numéros des boules) dans $\llbracket1,3\rrbracket$ (ensemble des numéros des cases). Notons $\Omega$ l’ensemble de ces applications. On a donc : $\mathrm{card}\:\Omega=3^n$. Les boules vont se "ranger aléatoirement dans les trois compartiments", donc il y a équiprobabilité sur $\Omega$. (a) L’événement $(X=2)$ correspond aux applications dont les images se concentrent sur le même élément de $\llbracket1,3\rrbracket$, c’est-à-dire aux applications constantes. Donc $P(X=2)=\dfrac{3}{3^n}=\dfrac{1}{3^{n-1}}$. (b) Comptons à présent le nombre d’applications correspondant à l’événement $(X=1)$, c’est-à-dire le nombre d’applications dont l’ensemble des images est constitué de deux éléments exactement. On a 3 possibilités pour choisir l’élément de $\llbracket1,3\rrbracket$ qui n’a pas d’antécédent et ensuite, chaque fois, il faut compter le nombre d’applications de $\llbracket1,n\rrbracket$ vers les deux éléments restants de $\llbracket1,3\rrbracket$, en excluant bien sûr les deux applications constantes. On obtient donc $2^n-2$ applications. D’où $P(X=1)=\dfrac{3\times \left( 2^n-2\right) }{3^n}=\dfrac{1}{3^{n-1}}\left( 2^n-2\right)$. Enfin, comme dans la méthode précédente, $P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=1)$ donc $P(X=0)=1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n-1}-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n-1}\left( 2^n-2\right)$.

1. $E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)=\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}\left( 2^n-2\right)+2\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}$. Donc $E(X)=3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.$
2. D’après 3.(a), $\lim\limits_{n\to+\infty}^{}E(X)=\lim\limits_{n\to+\infty}^{}3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=0$. Quand le nombre de boules tend vers $+\infty$, en moyenne aucun des trois compartiments ne restera vide.

Corrigé 56

$X(\Omega)=\llbracket 1,3\rrbracket$. $\forall \: i\in\llbracket1,n\rrbracket$, on note $B_i$ la $i ^{\text{ème}}$ boule blanche. $\forall \: i\in\llbracket1,2\rrbracket$, on note $N_i$ la $i ^{\text{ème}}$ boule noire. On pose $E=\left\lbrace B_1,B_2,...,B_n,N_1,N_2 \right\rbrace$. Alors $\Omega$ est l’ensemble des permutations de $E$ et donc $\text{card}(\Omega)=(n+2)!$.

$(X=1)$ correspond aux tirages des $(n+2)$ boules pour lesquels la première boule tirée est blanche. On a donc $n$ possibilités pour le choix de la première boule blanche et donc $(n+1)!$ possibilités pour les tirages restants. Donc $P(X=1)=\dfrac{n\times(n+1)!}{(n+2)!}=\dfrac{n}{n+2}.$ $(X=2)$ correspond aux tirages des $(n+2)$ boules pour lesquels la première boule tirée est noire et la seconde est blanche. On a donc 2 possibilités pour la première boule, puis $n$ possibilités pour la seconde boule et enfin $n!$ possibilités pour les tirages restants. Donc $P(X=2)=\dfrac{2\times n\times(n)!}{(n+2)!}=\dfrac{2n}{(n+1)(n+2)}.$ $(X=3)$ correspond aux tirages des $(n+2)$ boules pour lesquels la première boule et la seconde boule sont noires. On a donc 2 possibilités pour la première boule, puis une seule possibilité pour la seconde et enfin $n!$ possibilités pour les boules restantes. Donc $P(X=3)=\dfrac{2\times 1\times(n)!}{(n+2)!}=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}.$

Autre méthode: Dans cette méthode, on ne s’interesse qu’aux "premières" boules tirées, les autres étant sans importance. $X(\Omega)=\llbracket 1,3\rrbracket$. $(X=1)$ est l’événement: "obtenir une boule blanche au premier tirage". Donc $P(X=1)=\dfrac{\text{nombre de boules blanches}}{\text{nombre de boules de l'urne}}=\dfrac{n}{n+2}$. $(X=2)$ est l’événement: " obtenir une boule noire au premier tirage puis une boule blanche au second tirage". D’où $P(X=2)=\dfrac{2}{n+2}\times\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{2n}{(n+2)(n+1)}$, les tirages se faisant sans remise. $(X=3)$ est l’événement : "obtenir une boule noire lors de chacun des deux premiers tirages puis une boule blanche au troisième tirage". D’où $P(X=3)=\dfrac{2}{n+2}\times\dfrac{1}{n+1}\times\dfrac{n}{n}=\dfrac{2}{(n+2)(n+1)}$, les tirages se faisant sans remise.

$Y(\Omega)=\llbracket 1,n+1\rrbracket$. Soit $k\in \llbracket 1,n+1\rrbracket$. L’événement $(Y=k)$ correspond aux tirages des $(n+2)$ boules où les $(k-1)$ premières boules tirées ne sont ni $B_1$ ni $N_1$ et la $k^{\text{ième}}$ boule tirée est $B_1$ ou $N_1$. On a donc, pour les $(k-1)$ premières boules tirées , $\dbinom{n}{k-1}$ choix possibles de ces boules et $(k-1)!$ possibilités pour leur rang de tirage sur les $(k-1)$ premiers tirages, puis 2 possibilités pour le choix de la $k^{\text{ième}}$ boule et enfin $(n+2-k)!$ possibilités pour les rangs de tirage des boules restantes. Donc $P(Y=k)=\dfrac{\dbinom{n}{k-1}\times (k-1)!\times 2\times (n+2-k)!}{(n+2)!} =\dfrac{2\dfrac{n!}{(n-k+1)!}\times(n+2-k)!}{(n+2)!}$ Donc $P(Y=k)=\dfrac{2(n+2-k)}{(n+1)(n+2)}$.

Autre méthode: $Y(\Omega)=\llbracket 1,n+1\rrbracket$. On note $A_k$ l’événement " une boule ne portant pas le numéro 1 est tirée au rang $k$". Soit $k\in \llbracket 1,n+1\rrbracket$. On a : $(Y=k)=A_1\cap A_2\cap....\cap A_{k-1}\cap \overline{A_k}$. Alors, d’après la formule des probabilités composées, $P(Y=k)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)...P_{A_1\cap A_2\cap...\cap A_{k-2}}(A_{k-1})P_{A_1\cap A_2\cap...\cap A_{k-1}}(\overline{A_k})$. $P(Y=k)=\dfrac{n}{n+2}\times\dfrac{n-1}{(n+2)-1}\times\dfrac{n-2}{(n+2)-2}\times ...\times\dfrac{n-(k-2)}{(n+2)-(k-2)}\times \dfrac{2}{(n+2)-(k-1)}$ $P(Y=k)=\dfrac{n}{n+2}\times\dfrac{n-1}{n+1}\times\dfrac{n-2}{n}\times...\times\dfrac{n-k+2}{n-k+4}\times \dfrac{2}{n-k+3}$. $P(Y=k)=2\:\dfrac{n!}{(n-k+1)!}\times \dfrac{(n-k+2)!}{(n+2)!}$. $P(Y=k)=\dfrac{2(n-k+2)}{(n+2)(n+1)}$.

Corrigé 57

On a :

\[ \begin{align*} P(X=i)&=\sum_{j=1}^{n+1}P(X=i\cap Y=j)\\ &=\frac 1{2^{2n}}\binom{n}{i-1}\sum_{j=1}^{n+1} \binom n{j-1}\\ &=\frac 1{2^{2n}}\binom{n}{i-1}\sum_{j=0}^{n} \binom n{}\\ &=\frac 1{2^{2n}}\binom{n}{i-1}2^n\\ &=\frac 1{2^{n}}\binom{n}{i-1}\\ \end{align*} \]

ce qui est bien la valeur cherchée.

La variable aléatoire $Z=X-1$ est à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$ avec $P(Z=i)=P(X=i+1)=\frac 1{2^n}\binom n i$. On a alors $E(Z)=\frac1{2^n}\sum_{i=0}^n i\binom ni=\frac1{2^n}\sum_{i=1}^nn\binom{n-1}{i-1}=\frac n{2^n}\sum_{i=0}^{n-1}\binom {n-1}i=\frac n2$. On calcul de même la variance.

Pour le calcul de $\mathbb E(e^X)$, on a :

\[ \begin{align*} \mathbb E(e^X) &= \sum_{i=1}^{n+1} e^i \mathbb P(X=i)\\ &=\frac 1{2^n}\sum_{i=1}^{n+1}\binom n{i-1} e^i\\ &=\frac e{2^n}\sum_{i=0}^{n}\binom ni e^i\\ &=\frac e{2^n}(1+e)^n \end{align*} \]

Sujets d'écrit

Sujet 1 - INSA ARCHI 2021 (2h)

Exercice (10 points)

À l'exception de la question 1.c), on ne demande pas de justification ou détail de calcul dans cet exercice. Seules les conclusions seront prises en compte.

On étudie dans cet exercice la fonction $f$ définie par

\[ f(x)=\frac{-x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x+1}{2 x^{2}-2 x-12} . \]

1. a) Donner l'ensemble de définition $D_{f}$ de la fonction $f$.

b) Factoriser le numérateur et le dénominateur de $f$.

c) La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en ses valeurs interdites?

Justifier brièvement la réponse pour chaque point.

2. On note toujours la fonction prolongée $f$. On admettra si besoin que, pour tout $x \neq 3$,

\[ f(x)=\frac{-2 x^{2}+x+1}{4 x-12} \]

a) Dériver la fonction $f$.

b) Factoriser $f^{\prime}(x)$.

c) Dresser le tableau de variations de $f$, sans afficher les valeurs aux points critiques.

3. a) Effectuer la division euclidienne du polynôme $P(X)=-2 X^{2}+X+1$ par $Q(X)=4 X-12$.

b) En déduire l'équation de l'asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ en l'infini.

4. Tracer l'allure de la courbe dans un repère orthonormé.

La figure doit être soignée, de taille raisonnable et repassée au stylo.

Valeurs approchées utiles: $\sqrt{7} \approx 2,6$; la fonction $f$ possède un minimum local $\alpha$ avec $f(\alpha) \approx-0,1$, et un maximum local $\beta$ avec $f(\beta) \approx-5,4$.

Fin de l'exercice.

Problème (30 points)

On s'intéresse dans ce problème aux applications $f$ bijectives d'un ensemble $A$ dans lui-même telles que

\[ \forall X \in A, \quad(f \circ f)(X)=f(f(X))=-X . \]

On résoudra ce problème en prenant, successivement,

$A=\mathbb{R}$ dans la partie $\mathbf{A}$, et on cherchera $f$ linéaire puis continue,
$A=\mathbb{C}$ dans la partie $\mathbf{B}$, et on cherchera $f$ linéaire,
et $A=\mathbb{R}^{2}$ dans la partie $\mathbf{C}$, et on cherchera $f$ linéaire, ce qui nous ramènera à un problème de matrices $2 \times 2$.

Les parties $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ et $\boldsymbol{C}$ sont indépendantes entre elles et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.

Enfin, la partie $\mathbf{D}$ reliera les parties $\mathbf{B}$ et $\mathbf{C}$.

Partie A. Fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$

Dans cette partie, les questions 1 et 2 sont indépendantes.

L'objectif de cette partie est de montrer qu'il n'existe aucune fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, bijective et continue qui vérifie

\[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad(f \circ f)(x)=f(f(x))=-x . \]

1. Le cas des fonctions linéaires.

Soit $a \in \mathbb{R}$ fixé, et $f_{a}$ la fonction définie par $f_{a}(x)=a x$.

a) Soit $y \in \mathbb{R}$ fixé. Résoudre l'équation $y=f_{a}(x)$.

À quelle condition sur $a$ la fonction $f_{a}$ est-elle bijective?

Exprimer alors la fonction réciproque $f_{a}^{-1}$.

b) Calculer $\left(f_{a} \circ f_{a}\right)(x)=f_{a}\left(f_{a}(x)\right)$.

À quelle condition sur $a$ a-t-on $\left(f_{a} \circ f_{a}\right)(x)=-x$ ?

Conclure qu'il n'existe aucune fonction linéaire de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui satisfait (2).

2. Le cas continu général.

Supposons, pour faire un raisonnement par l'absurde, qu'il existe une fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ bijective et continue qui vérifie (2).

On note $f^{-1}$ la réciproque de $f:$ pour tout $y \in \mathbb{R}$, il existe un unique $x \in \mathbb{R}$ tel que

\[ y=f(x) \Longleftrightarrow x=f^{-1}(y) . \]

La fonction réciproque vérifie:

\[ \forall x \in \mathbb{R},\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=x \text { et } \forall y \in \mathbb{R},\left(f \circ f^{-1}\right)(y)=y . \]

a) Montrer que, dans ces conditions, pour tout $y \in \mathbb{R}, f^{-1}(y)=-f(y)$.

Indication: injecter (3) dans l'égalité (2).

b) Justifier que la fonction $f$ est strictement monotone sur $\mathbb{R}$.

c) Déterminer le sens de variation des fonctions $f^{-1}$ et $-f$ par rapport à celui de $f$.

d) Conclure la partie.

Partie B. Fonctions linéaires complexes

Dans cette partie, nous allons montrer qu'il existe des applications $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ qui vérifient

\[ \forall z \in \mathbb{C}, \quad(f \circ f)(z)=f(f(z))=-z . \]

Nous allons, en plus, chercher leur interprétation en termes de transformations géométriques du plan complexe (homothéties, symétries, rotations, translations).

1. Si $g$ est une fonction complexe telle que, pour tout $z \in \mathbb{C}, g(z)=-z$, quel est l'effet géométrique de $g$ sur le plan complexe?

2. Soit $f_{\alpha}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ définie par $f_{\alpha}(z)=\alpha z$, avec $\alpha \in \mathbb{C}$.

a) Calculer $\left(f_{\alpha} \circ f_{\alpha}\right)(z)$.

b) En déduire les valeurs possibles de $\alpha$ pour que $f_{\alpha}$ soit solution du problème (4).

c) Écrire les valeurs possibles de $\alpha$ sous forme polaire (ou exponentielle).

d) Écrire $f_{\alpha}(z)$ avec cette notation pour identifier l'action géométrique des solutions $f_{\alpha}$ sur le plan complexe.

Partie C. Matrices $2 \times 2$

Une application linéaire $f$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ est représentée par une matrice $M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. Si l'application $f$ vérifie (1), c'est-à-dire, pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$,

\[ (f \circ f)(x, y)=-(x, y)=(-x,-y) \]

alors $f \circ f=-\mathrm{id}$, où id est l'application identité, et la matrice $M$ vérifie $M^{2}=-I_{2}$, où $I_{2}$ désigne la matrice identité, soit

\[ M^{2}=-I_{2}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \]

L'objectif de la partie est donc de trouver toutes les matrices qui vérifient cette propriété.

1. Calculer $A^{2}$ et $B^{2}$, où $A$ et $B$ sont les matrices

\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad \text { et } B=\left(\begin{array}{cc} 3 & 5 \\ -2 & -3 \end{array}\right) \text {. } \]

Pour cette question seulement, on exige de montrer le détail des calculs des coefficients.

2. Soient $(b, c) \in \mathbb{R}^{2}$ et $C$ une matrice de la forme

\[ C=\left(\begin{array}{ll} 0 & b \\ c & 0 \end{array}\right) \]

a) Calculer $C^{2}$.

b) En déduire les matrices de la forme de $C$ qui vérifient $C^{2}=-I_{2}$.

3. Soient $(a, d) \in \mathbb{R}^{2}$ et $D$ une matrice diagonale:

\[ D=\left(\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & d \end{array}\right) \]

a) Calculer $D^{2}$.

b) Montrer qu'il n'existe pas de matrice diagonale à coefficients réels telle que $D^{2}=-I_{2}$.

c) En déduire que si $M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ telle que $M^{2}=-I_{2}$, nécessairement $b \neq 0$ ou $c \neq 0$.

4. Désormais, $M$ désigne un élément de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ générique: $M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$.

Nous allons résoudre l'équation $M^{2}=-I_{2}$ en utilisant l'inverse de la matrice $M$.

Rappels: une matrice $M$ est inversible s'il existe une matrice $M^{-1}$ telle que $M M^{-1}=I_{2}$.

De plus, une matrice est non inversible si et seulement s'il existe $X=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$ tel que $M X=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$

a) En utilisant les rappels, montrer que si $M$ est non inversible, alors $M^{2}$ est aussi non inversible.

Conclure que si $M^{2}=-I_{2}, M$ doit être inversible.

b) En déduire que la propriété (5) équivaut à

\[ M^{-1}=-M \]

c) Montrer que l'inverse de la matrice $M$ est donnée par

\[ M^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right) . \]

Déduire de l'égalité (6) un système sur les coefficients $(a, b, c, d)$.

d) En s'aidant de la question 3, déterminer la valeur de $a d-b c$.

e) En déduire les deux relations entre les coefficients $(a, b, c, d)$, et conclure: quelle est la forme des matrices qui vérifient $M^{2}=-I_{2}$ ?

Partie D. $\mathbb{R}$-linéaire vs $\mathbb{C}$-linéaire

On peut identifier le plan complexe avec le plan $\mathbb{R}^{2}$ par la bijection suivante

\[ \varphi: z=a+i b \in \mathbb{C} \longmapsto(a, b) \in \mathbb{R}^{2} . \]

Dans les parties $\mathbf{B}$ et $\mathbf{C}$, nous avons cherché des solutions linéaires au problème (1) sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}^{2}$, avec des résultats différents, malgré cette identification qui est possible. On se donne pour objectif final dans ce problème de comprendre cette différence.

1. Soit $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ définie par $f_{i}(z)=i z$, une des solutions du problème de la partie $\mathbf{B}$.

On lui associe une fonction $g_{i}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ définie par

\[ g_{i}(x, y)=\left(\varphi \circ f_{i}\right)(x+i y) \]

a) Exprimer $g_{i}(x, y)$.

L'application $g_{i}$ est-elle linéaire?

b) Calculer $g_{i}(1,0)$ et $g_{i}(0,1)$.

En déduire la matrice associée à $g_{i}$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$.

c) Reprendre cette question avec l'autre solution de la partie $\mathbf{B}, f_{-i}(z)=-i z$.

2. Dans l'autre sens, considérons, pour $b \in \mathbb{R}^{*}$ avec $|b| \neq 1$, la matrice $C=\left(\begin{array}{cc}0 & b \\ \frac{-1}{b} & 0\end{array}\right)$, qui est solution du problème de la partie $\mathbf{C}$.

a) Soit $X=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$. Calculer $C X$.

En déduire l'expression de l'application linéaire $g_{C}(x, y)$ représentée par $C$.

b) L'application $\varphi^{-1}$ est la réciproque de $\varphi$, associant un vecteur de $\mathbb{R}^{2}$ à son affixe complexe. Exprimer $\varphi^{-1}(x, y)$.

c) Soit la fonction $f_{C}=\varphi^{-1} \circ g_{C} \circ \varphi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$.

Exprimer $f_{C}(x+i y)$.

d) L'application $f_{C}$ est-elle $\mathbb{R}$-linéaire?

Est-elle $\mathbb{C}$-linéaire?

Indication: comparer $f_{C}(x+i y)$ et $f_{C}(i(x+i y))$.

3. Expliquer la différence entre le nombre de solutions du problème dans la partie $\mathbf{B}$ et celui de la partie $\mathbf{C}$.

FIN DU SUJET

Sujet 2 - TPC 2004 (4h)

Dans tout le problème, $E$ désigne le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$ des polynômes à coefficients réels.

Pour tout entier naturel $n$, on note $E_{n}$ le sous-espace de $E$ formé par les polynômes de degré au plus égal à $n$.

Selon l'usage, on convient d'identifier un polynôme et la fonction polynomiale associée.

L'espace $E_{n}$ est muni de sa base canonique $\mathscr{B}_{n}=\left(1, X, X^{2}, \ldots, X^{n}\right)$.

Les coefficients binomiaux sont notés $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}(0 \leqslant k \leqslant n)$.

Partie A : Étude d'un endomorphisme

Étant donné un polynôme $P$ de $E$, on définit un polynôme $\phi(P)$ par :

\[ \phi(P)(X)=\left(X^{2}-1\right) P^{\prime \prime}(X)+2 X P^{\prime}(X) . \]

1) Justifier qu'on a ainsi défini un endomorphisme $\phi$ de $E$.

2) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le sous-espace vectoriel $E_{n}$ est stable par $\phi$.

On notera désormais $\varphi_{n}$ l'endomorphisme de $E_{n}$ induit par $\phi$ sur $E_{n}$ :

\[ \forall P \in E_{n}, \varphi_{n}(P)=\phi(P) \]

3) Dans cette question, on suppose que $n$ est égal à 3 .

a) Écrire la matrice $M_{3}$ de $\varphi_{3}$ dans la base canonique de $E_{3}$.

b) (hors programme) Justifier que $\varphi_{3}$ est diagonalisable.

c) (hors programme) Déterminer une base de $E_{3}$ diagonalisant $\varphi_{3}$, formée de polynômes de coefficients dominants égaux à 1.

4) On revient au cas général d'un entier naturel $n$ quelconque.

a) Montrer que la matrice $M_{n}$ de $\varphi_{n}$ dans la base canonique est triangulaire supérieure et préciser ses coefficients diagonaux.

b) (hors programme) En déduire que $\varphi_{n}$ est diagonalisable et préciser les dimensions de ses sous-espaces propres.

Partie B : Étude d'une famille de polynômes

Pour tout entier naturel $n$, on définit le polynôme $L_{n}$ par

\[ L_{n}(X)=\frac{1}{2^{n}} \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)^{2}(X-1)^{n-k}(X+1)^{k} . \]

1) Calculer sous forme simplifiée les polynômes $L_{0}, L_{1}, L_{2}$ et $L_{3}$.

2) Calculer $L_{n}(1)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3) Déterminer le degré de $L_{n}$ en fonction de $n(n \in \mathbb{N})$ et donner son coefficient dominant sous la forme d'une somme.

4) En utilisant un changement d'indice, montrer que $L_{n}$ a la même parité que $n$.

5) Vérifier, à l'aide de la formule de Leibniz, que :

\[ \forall n \in \mathbb{N}, L_{n}(X)=\frac{1}{2^{n} n !} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} X^{n}}\left[\left(X^{2}-1\right)^{n}\right] \]

6) En déduire explicitement le coefficient dominant de $L_{n}$, puis la relation

\[ \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right) \]

7) Montrer alors que

\[ \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R},\left|L_{n}(x)\right| \leqslant\left(\frac{1+|x|}{2}\right)^{n}\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right) . \]

8) On définit, pour tout entier naturel $n$, le polynôme $U_{n}(X)=\left(X^{2}-1\right)^{n}$.

a) Vérifier que :

\[ \left(X^{2}-1\right) U_{n}^{\prime}(X)=2 n X U_{n}(X) \]

b) En dérivant $n+1$ fois cette relation, montrer que

\[ \forall n \in \mathbb{N}, \phi\left(L_{n}\right)=n(n+1) L_{n} \]

Partie C : Définition d'un produit scalaire

On pose

\[ \forall(P, Q) \in E^{2},\langle P, Q\rangle=\int_{-1}^{1} P(x) Q(x) \mathrm{d} x . \]

1) Justifier que l'on a ainsi défini un produit scalaire sur $E$.

Dans toute la suite du problème, l'espace $E$ et ses sous-espaces $E_{n}(n \in \mathbb{N})$ seront systématiquement munis de ce produit scalaire.

2) a) Montrer que

\[ \forall(P, Q) \in E^{2},\langle\phi(P), Q\rangle=\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) P^{\prime}(x) Q^{\prime}(x) \mathrm{d} x . \]

b) Que peut-on dire déduire pour les endomorphismes $\varphi_{n}(n \in \mathbb{N})$ ?

c) En déduire, à l'aide d'un résultat de la partie $\mathbf{B}$, que les polynômes $L_{p}(p \in \mathbb{N})$ sont deux à deux orthogonaux.

3) Soit $n$ un entier naturel.

a) Établir par récurrence sur $k$ que

\[ \forall k \in[|0, n|],\left\langle Q, L_{n}\right\rangle=\frac{(-1)^{k}}{2^{n} n !} \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{~d} x^{k}}[Q(x)] \frac{\mathrm{d}^{n-k}}{\mathrm{~d} x^{n-k}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right] \mathrm{d} x . \]

b) En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}, L_{n}$ est orthogonal à $E_{n-1}$.

c) Retrouver ainsi que les polynômes $L_{p}(p \in \mathbb{N})$ sont deux à deux orthogonaux.

4) a) À l'aide de C.3) a), exprimer, pour tout entier naturel $n,\left\|L_{n}\right\|^{2}$ en fonction de

\[ I_{n}=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}-1\right)^{n} \mathrm{~d} x \]

b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que

\[ \forall n \in \mathbb{N}, I_{n+1}=-\frac{2 n+2}{2 n+3} I_{n} \]

c) En déduire, pour tout $n \in \mathbb{N}$, une expression de $I_{n}$ faisant intervenir des factorielles.

d) En déduire que

\[ \forall n \in \mathbb{N},\left\|L_{n}\right\|=\sqrt{\frac{2}{2 n+1}} \]

5) Donner, pour tout entier naturel $n$, une base orthonormée de $E_{n}$.

Partie D : Une relation de récurrence

Soit $n$ un entier naturel non nul.

1) Calculer le coefficient de $X^{n+1}$ dans $(n+1) L_{n+1}(X)-(2 n+1) X L_{n}(X)$.

2) En déduire l'existence et l'unicité de $n+1$ réels $\alpha_{k}$ tels que

\[ (n+1) L_{n+1}(X)-(2 n+1) X L_{n}(X)=\sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} L_{k}(X) . \]

3) Montrer que $\forall k \in[|0, n|], \alpha_{k}=-(2 n+1) \frac{\left\langle X L_{n}, L_{k}\right\rangle}{\left\|L_{k}\right\|^{2}}$.

4) Pour tout $k \in[|0, n-2|]$, vérifier que $\left\langle X L_{n}, L_{k}\right\rangle=\left\langle L_{n}, X L_{k}\right\rangle$ puis montrer que $\alpha_{k}=0$.

5) Par des considérations de parité, montrer que $\alpha_{n}=0$.

6) En utilisant la valeur des polynômes $L_{k}$ au point 1, déterminer alors $\alpha_{n-1}$.

7) En déduire que $\forall n \in \mathbb{N}^{*},(n+1) L_{n+1}(X)-(2 n+1) X L_{n}(X)+n L_{n-1}(X)=0$.

Partie E : Fonction génératrice (hors programme)

On fixe un réel $t$ et on considère la série entière $\sum_{n \in \mathbb{N}} L_{n}(t) x^{n}$, de la variable réelle $x$.

1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n \in \mathbb{N}}\left(\frac{1+|t|}{2}\right)^{n}\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right) x^{n}$.

2) En déduire que le rayon de convergence $R_{t}$ de la série entière $\sum_{n \in \mathbb{N}} L_{n}(t) x^{n}$ est strictement positif.

On donnera une minoration de $R_{t}$, mais on ne cherchera pas à le calculer.

On note $S_{t}$ la somme de cette série entière : $\left.\forall x \in\right]-R_{t}, R_{t}\left[, S_{t}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} L_{n}(t) x^{n}\right.$

3) En utilisant le résultat de D.7), montrer que $S_{t}$ est solution sur $]-R_{t}, R_{t}$ [ de l'équation différentielle suivante, d'inconnue $y$ fonction de $x$ :

\[ \left(\mathscr{E}_{t}\right)\left(1-2 t x+x^{2}\right) y^{\prime}(x)+(x-t) y(x)=0 \]

4) Pour $|t|<1$, en déduire l'expression de $S_{t}(x)$ en fonction de $x$.

Partie F : Projection orthogonale, calcul de distance

1) Calculer, pour tout entier naturel $k$, l'intégrale

\[ J_{k}=\int_{-1}^{1} x^{k} \mathrm{~d} x \]

2) Étant donnés deux entiers naturels $n$ et $r$, tels que $0 \leqslant r \leqslant n$, on note $p_{r}$ la projection orthogonale de $E_{n}$ sur son sous-espace vectoriel $E_{r}$.

Donner une expression générale de $p_{r}(P)$ utilisant le produit scalaire, pour tout polynôme $P$ de $E_{n}$.

3) On suppose désormais $n=3$ et $P=X^{3}$.

a) Déterminer $p_{0}(P), p_{1}(P)$ et $p_{2}(P)$.

b) Calculer les distances $d\left(P, E_{k}\right)$ de $P$ aux sous-espaces vectoriels $E_{k}$ pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant 2$.

4) On note $G$ l'ensemble des polynômes de degré 3 et de coefficient dominant égal à 1 .

Montrer l'existence de

\[ m=\min _{Q \in G} \int_{-1}^{1}(Q(x))^{2} \mathrm{~d} x \]

et préciser sa valeur, ainsi que les polynômes réalisant ce minimum.

Fin de l'énoncé

Sujet de DM obligatoire

Exercice 1

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. Calculer la somme $I_{n}=\sum_{(i, j) \in \llbracket 0, n \rrbracket^{2}} 2^{\min (i, j)} 3^{\max (i, j)}$.

Exercice 2 (Manipulation des indicatrices - Optionnel)

Les deux premières questions sont indépendantes.

Soit $E$ un ensemble.
(a) Soient $A, B, C$ trois parties de $E$. Montrer que : $\mathbb{1}_{A \cap B}=\mathbb{1}_{A} \mathbb{1}_{B}$ et $\mathbb{1}_{A \cup B}=\mathbb{1}_{A}+\mathbb{1}_{B}-\mathbb{1}_{A \cap B}$. En déduire une expression de $\mathbb{1}_{A \cap(B \cup C)}$ en fonction de $\mathbb{1}_{A}, \mathbb{1}_{B}$ et $\mathbb{1}_{C}$.
(b) Soit $A_{1}, \ldots, A_{n}$ des parties de $E$ (avec $n \in \mathbb{N}^{*}$ ). Montrer que : $\mathbb{1}_{A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}} \leqslant \mathbb{1}_{A_{1}}+\cdots+\mathbb{1}_{A_{n}}$.
Soit $X$ une variable aléatoire discrète finie telle que $X(\Omega) \subset \mathbb{R}_{+}$. Soit $a>0$.
(a) Vérifier que $\mathbb{1}_{[X \geqslant a]}$ est une variable de Bernoulli dont on précisera le paramètre puis justifier que $\mathbb{E}(X) \geqslant 0$.
(b) Établir que $: \mathbb{P}\left(a \mathbb{1}_{[X \geqslant a]} \leqslant X\right)=1$. En déduire que $\mathbb{P}(X \geqslant a) \leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{a}$.
Soient $A_{1}, \ldots, A_{n}$ des événements d'un même espace probabilisé ( $\Omega, \wp(\Omega), \mathbb{P}$ ). Montrer que :

\[ \mathbb{P}\left(A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}\right) \leqslant \mathbb{P}\left(A_{1}\right)+\cdots+\mathbb{P}\left(A_{n}\right) \]

Exercice 3

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}^{*}, \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}>0$.

On considère désormais la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln \left(\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\right) & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { si } x=0\end{array}\right.$. 2. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. 3. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et préciser $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$. 4. (a) Étudier les variations de la fonction $g$ définie par: $\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1$. (b) En déduire le signe de $g(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$ (limites comprises).

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la donnée de son premier terme $u_{0}>0$ et par la relation, valable pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$. 5. Montrer que: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>0$. 6. (a) Vérifier que: $\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)-x=f(-x)$. En déduire le signe de $f(x)-x$ sur $] 0,+\infty[$. (b) Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. En déduire que $\left(u_{n}\right)$ converge et donner sa limite. 7. Écrire un programme en Python permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $u_{n} \leqslant 10^{-3}$, dans le cas où $u_{0}=1$.

Exercice 4

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(t)=0$ si $t \leqslant 0$ et $f(t)=\mathrm{e}^{-1 / t}$ si $t>0$.

Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-\infty, 0[$ et sur $] 0,+\infty[$.
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Démontrer, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, qu'il existe un polynôme $P_{n} \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ tel que :

\[ \left.P_{n}(0)=1 \quad \text { et } \quad \forall t \in\right] 0,+\infty\left[, f^{(n)}(t)=\frac{P_{n}(t)}{t^{2 n}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{t}}\right. \]

Préciser le terme dominant de $P_{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$. 4. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et préciser $f^{(n)}(0)$ pour tout entier naturel $n$ puis donner le développement limité à l'ordre $n$ de $f$ au voisinage de 0 pour tout entier naturel $n$.

Exercice 5

Déterminer, par deux méthodes distinctes, les polynômes $P$ solutions de l'équation : $X P^{\prime \prime}+2 P^{\prime}=(X-1)^{2}$. Indication : Pour l'une des méthodes, on pourra multiplier d'abord l'équation par $X$.

Exercice 6

Déterminer, en fonction de l'entier naturel $n$, le reste de la division euclidienne :

de $n X^{n+1}-(n+1) X^{n}+X$ par $(X-1)^{2}$,
de $X^{n}$ par $X^{2}-3 X+2$.

Exercice 7

(a) Déterminer les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $X^{4}+X^{2}+1$.

(b) En déduire la factorisation de ce polynôme dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$. 2. Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ le polynôme $X^{2 n}+X^{n}+1$ (où $n \in \mathbb{N}^{*}$ ).

Exercice 8

Soit $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Déterminer les matrices $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ telles que $X^{n}=A$ (on pourra procéder par une méthode du type analyse-synthèse en remarquant d'une part que $A X=X A$ lorsque $X$ est solution et d'autre part que $\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & a\end{array}\right)$ est de la forme $a I+b N$ ).
Résoudre l'équation précédente dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$.

Exercice 9

Déterminer un équivalent de $n\left[\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}\right]+\mathrm{e}^{2}$ au voisinage de $+\infty$.

Exercice 10

Calculer $f(a)=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} \frac{1}{\mathrm{e}^{t}+a} \mathrm{~d} t$ en fonction du réel $a>-1$. On pourra poser $x=\mathrm{e}^{t}$.

Exercice 11

Calculer : $\int_{-1}^{0} \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2}+x-2}$ et $\int_{2}^{3} \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2}+x-2}$.
Calculer : $\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{~d} t}{t^{2}+t+1}$ pour $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$.

Exercice 12

Un call-center appelle des personnes indépendamment les unes des autres. À chaque appel, la personne appelée a la probabilité $p$ de prendre l'appel et la probabilité $q=1-p$ de refuser l'appel.

Le call-center appelle $n$ personnes une journée. On note $X$ le nombre aléatoire de personnes qui ont pris l'appel. Quelle est la loi de $X$, son espérance et sa variance?
Le lendemain, le call-center appelle à nouveau toutes les personnes qui n'ont pas répondu la veille. On note $Y$ le nombre aléatoire de personnes qui ont pris cet appel.

(a) Pour $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$ et $i \in \llbracket 0, n \rrbracket$, que vaut la probabilité : $\mathbb{P}_{[X=k]}(Y=i)$ ?

(b) En déduire que $Y$ suit une loi binomiale de paramètre $p q$.

Quelle est la loi de $X+Y$ ?

Exercice 13

Soit $S=\sup (X, Y)$ et $I=\inf (X, Y)$ où $X$ et $Y$ sont indépendantes et de même loi $\mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket)$ sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.

(a) Démontrer que : $\forall(i, s) \in \llbracket 1, n \rrbracket^{2}, \mathbb{P}((I, S)=(i, s))=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { si } i>s \\ \frac{1}{n^{2}} & \text { si } i=s \\ \frac{2}{n^{2}} & \text { si } i<s\end{array}\right.$.

(b) En déduire les lois de $I$ et $S$. Vérifier alors que $S$ a même loi que $n+1-I$.

(c) Montrer que $\mathbb{E}(I)=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6 n}$ puis que $\mathbb{V}(I)=\frac{(n+1)(n-1)\left(2 n^{2}+1\right)}{36 n^{2}}$. En déduire $\mathbb{E}(S)$ et $\mathbb{V}(S)$.

On admettra que : $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$.

(d) En déduire $\operatorname{Cov}(S, I)$. 2. Déterminer la loi de $X+Y$ puis celle de $X-Y$. Préciser leur espérance et leur variance. Sont-elles indépendantes? Quelle est leur covariance?

Exercice 14

Soit $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)$ et $\vec{v}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$. On pose : $D=\operatorname{Vect}(\vec{u})$ et $F=\left\{\left.\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\,-3 x_{1}+5 x_{2}+7 x_{3}=0\right\}$.

Montrer, de deux façons différentes, que $D$ et $F$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^{3}$.
Proposer un supplémentaire $D_{1}$ de $F$ et un supplémentaire $F_{1}$ de $D$ dans $\mathbb{R}^{3}$ qui contiennent tous les deux le vecteur $\vec{v}$. Quelle est la dimension de la somme $D_{1}+F_{1}$ ?

Exercice 15

Soient $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ avec $n \in \mathbb{N}^{*}$ deux matrices nilpotentes : il existe $r, s \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $A^{r}=B^{s}=\Theta$ où $\Theta$ désigne la matrice nulle de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. Soit $f$ l'application définie sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ par : $\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, $f(M)=A M+M B$.

Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
Montrer que : $\forall k \in \mathbb{N}, f^{k}: M \mapsto \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} A^{i} M B^{k-i}$.
En déduire que $f$ est un endomorphisme nilpotent et préciser un entier $k_{0} \geqslant 1$ tel que $f^{k_{0}}=\tilde{0}$ où $\tilde{0}$ désigne l'endomorphisme nul de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
Dans cette question, on suppose que $n=2, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.

Déterminer $\operatorname{Ker}(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$. Sont-ils supplémentaires dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$

Exercice 16

Calculer det $\left(\sin \left(a_{i}+a_{j}\right)\right)_{(i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket}$ en fonction de $n \in \mathbb{N}^{*}$ et de $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$.

Exercice 17

On considère l'équation différentielle $(E): t^{2} y^{\prime \prime}-t y^{\prime}+y=2 t$.

Première méthode.

(a) Soit $f$ et $g$ deux fonctions deux fois dérivables sur $] 0,+\infty[$ telles que $\forall t>0, f(t)=g(\ln (t))$.

Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ est solution sur $] 0,+\infty[$ de l'équation différentielle $(F)$ : $z^{\prime \prime}(x)-2 z^{\prime}(x)+z(x)=2 \mathrm{e}^{x}$.

(b) En déduire les solutions de ( $E$ ) sur $] 0,+\infty[$. 2. Seconde méthode.

(a) Soit $f$ et $g$ deux fonctions deux fois dérivables sur $] 0,+\infty[$ telles que $\forall t>0, f(t)=t g(t)$. Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g^{\prime}$ est solution sur $] 0,+\infty\left[\right.$ de l'équation différentielles $(G): t y^{\prime}+y=\frac{2}{t}$.

(b) En déduire les solutions de ( $E$ ) sur $] 0,+\infty[$.

Soit $f$ la solution de l'équation différentielle ( $E$ ) vérifiant les conditions initiales : $f(1)=1$ et $f^{\prime}(1)=-1$.

(a) Établir le tableau de variation complet de la fonction $f$.

(b) Préciser la position relative de la courbe représentative de $f$ par rapport à sa tangente en 1 .

Exercice 18 (Optionnel)

Notations

Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ tel que $a<b$. Soit $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$. On suppose de plus que : $\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t \neq 0$.
Pour tout couple $(P, Q)$ de polynômes de $\mathbb{R}[X]$, on pose : $\langle P, Q\rangle=\int_{a}^{b} P(t) Q(t) f(t) \mathrm{d} t$.
Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $\mathfrak{B}_{n}=\left(\mathbb{1}, X, \ldots, X^{n}\right)$ la base canonique de $\mathbb{R}_{n}[X]$.
On notera $\tilde{0}$ la fonction nulle sur $\mathbb{R}$ c'est-à-dire le polynôme nul.

Partie I : Un produit scalaire.

(a) Justifier qu'il existe un réel $t_{0} \in[a, b]$ tel que $f\left(t_{0}\right)>0$.

(b) En utilisant la continuité de $f$ est $t_{0}$, en déduire qu'il existe un segment $[\alpha, \beta]$ inclus dans $[a, b]$ tel que $f$ ne s'annule pas sur $[\alpha, \beta]$.

(a) Montrer que $\langle\cdot, \cdot\rangle$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$. On note alors $\|\cdot\|$ la norme associée.

(b) Soit $P, Q$ deux polynômes. Comparer les réels $\langle X P, Q\rangle$ et $\langle P, X Q\rangle$. 3. Soit $n \in \mathbb{N}$. Ce produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$ est aussi un produit scalaire sur $\mathbb{R}_{n}[X]$.

(a) Justifier que la base canonique $\mathfrak{B}_{n}$ de $\mathbb{R}_{n}[X]$ n'est pas orthonormale pour ce produit scalaire.

(b) Pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, on pose : $G_{k}=\sum_{i=0}^{n}\left\langle X^{k}, X^{i}\right\rangle X^{i}$. Montrer que ( $G_{0}, G_{1}, \ldots, G_{n}$ ) est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$.

Partie II : Un cas particulier et une suite particulière de polynômes.

Dans cette partie, on suppose que $a=0, b=1$ et $f(t)=1$ pour tout $t \in[0,1]$, c'est-à-dire que :

\[ \forall(P, Q) \in \mathbb{R}[X]^{2},\langle P, Q\rangle=\int_{0}^{1} P(t) Q(t) \mathrm{d} t \]

Par ailleurs, pour tout entier $k \geqslant 0$, on définit les polynômes $P_{k}$ et $Q_{k}$ de $\mathbb{R}[X]$ par :

\[ P_{k}=X^{k}(1-X)^{k} \quad \text { et } \quad Q_{k}=\left(P_{k}\right)^{(k)} \]

c'est-à-dire que $Q_{k}$ est le polynôme dérivé d'ordre $k$ du polynôme $P_{k}$. 4. Dans cette question seulement, on suppose que $n=2$. Déterminer la base ( $U_{0}, U_{1}, U_{2}$ ) obtenue par procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à partir de la base canonique $\mathfrak{B}_{2}$. 5. Pour tout couple $(i, j)$ d'entiers naturels, on pose : $I(i, j)=\int_{0}^{1} t^{i}(1-t)^{j} \mathrm{~d} t$.

(a) Montrer que: $\forall(i, j) \in \mathbb{N}^{2}, I(j, i)=I(i, j)$.

(b) Soit $(i, j) \in \mathbb{N}^{2}$ tel que $1 \leqslant j \leqslant i$. Montrer que : $I(i, j)=\frac{j}{i+1} I(i+1, j-1)$.

(c) En déduire que : $\forall(i, j) \in \mathbb{N}^{2}, I(i, j)=\frac{i!j!}{(i+j)!} I(i+j, 0)$. Quelle est alors la valeur de $I(i, j)$ en fonction de $i$ et de $j$ uniquement?

(a) Soit $k \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer par récurrence sur l'entier $i \in \llbracket 0, k \rrbracket$ que $\left(P_{k}\right)^{(i)}$ admet 0 et 1 pour racine d'ordre $k-i$ et admet $i$ racines simples toutes dans l'intervalle $] 0,1[$.

(b) En déduire que $Q_{k}$ admet $k$ racine simples toutes dans l'intervalle $] 0,1[$. 7. (a) Soit $k \in \mathbb{N}$. Quel est le degré de $P_{k}$ ? de $Q_{k}$ ? Quel est le coefficient dominant de $P_{k}$ ? de $Q_{k}$ ? Que vaut $\left(Q_{k}\right)^{(k)}$ ?

(b) Soit $(i, j, k, h) \in \mathbb{N}^{4}$ tel que $1 \leqslant i \leqslant k$ et $0 \leqslant j \leqslant h$, montrer que :

\[ \left\langle\left(P_{k}\right)^{(i)},\left(P_{h}\right)^{(j)}\right\rangle=-\left\langle\left(P_{k}\right)^{(i-1)},\left(P_{h}\right)^{(j+1)}\right\rangle \]

(c) En déduire que: $\forall(k, h) \in \mathbb{N}^{2},\left\langle Q_{k}, Q_{h}\right\rangle=(-1)^{k}\left\langle P_{k},\left(Q_{h}\right)^{(k)}\right\rangle$. 8. Soit $n \in \mathbb{N}$.

(a) Montrer que $\left(Q_{0}, Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right)$ est une famille orthogonale de $\mathbb{R}_{n}[X]$ et que $\left\|Q_{k}\right\|=\frac{k!}{\sqrt{2 k+1}}$ pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$.

(b) Donner une base orthonormale $\left(H_{0}, H_{1}, \ldots, H_{n}\right)$ de $\mathbb{R}_{n}[X]$.

(c) Lorsque $n=2$, comparer les bases $\left(H_{0}, H_{1}, H_{2}\right)$ et $\left(U_{0}, U_{1}, U_{2}\right)$.

Partie III : Le cas général et les suites de polynômes orthogonaux.

On revient au cas général où $a, b$ sont des réels quelconques tels que $a<b$ et $f$ est définie, continue et positive sur $[a, b]$ telle que $\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t \neq 0$. Soit $\left(Q_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ la suite de polynômes définis par :

\[ Q_{0}=\mathbb{1}, \quad Q_{1}=X-a_{1}, \quad \forall k \geqslant 2, Q_{k}=\left(X-a_{k}\right) Q_{k-1}-b_{k} Q_{k-2} \]

avec $a_{k}=\frac{\left\langle X Q_{k-1}, Q_{k-1}\right\rangle}{\left\langle Q_{k-1}, Q_{k-1}\right\rangle}$ pour tout entier $k \geqslant 1$ et $b_{k}=\frac{\left\langle X Q_{k-1}, Q_{k-2}\right\rangle}{\left\langle Q_{k-2}, Q_{k-2}\right\rangle}$ pour tout entier $k \geqslant 2$. 9. (a) Montrer que, pour tout entier $k \in \mathbb{N}, Q_{k}$ est un polynôme de degré $k$ et de coefficient dominant 1.

(b) En déduire que : $\forall k \in \mathbb{N}$, $\operatorname{Vect}\left(Q_{0}, Q_{1}, \ldots, Q_{k}\right)=\mathbb{R}_{k}[X]$.

(c) Montrer que, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$, la famille $\left(Q_{0}, Q_{1}, \ldots, Q_{k}\right)$ est orthogonale.

(d) En déduire que, pour tout entier $k \in \mathbb{N}^{*}: \forall P \in \mathbb{R}_{k-1}[X],\left\langle Q_{k}, P\right\rangle=0$. 10. L'objet de cette question est d'établir la réciproque du résultat de la question qui précède.

(a) On pose $P_{0}=1$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $k \in \mathbb{N}^{*}$, il existe un unique polynôme $P_{k} \in \mathbb{R}_{k}[X]$ tel que $P_{k}$ est de terme dominant $X^{k}$ et $P_{k} \in \operatorname{Vect}\left(P_{0}, \ldots, P_{k-1}\right)^{\perp}$ (supplémentaire orthogonal dans $\mathbb{R}_{k}[X]$ ).

(b) En déduire que, pour tout $k \in \mathbb{N},\left(P_{0}, \ldots, P_{k}\right)$ est une base orthogonale de $\mathbb{R}_{k}[X]$.

(c) Soit $k \in \mathbb{N}^{*}$. Vérifier que : $P_{k+1}-X P_{k} \in \mathbb{R}_{k}[X]$. En écrivant ce polynôme dans une base orthonormale, prouver qu'il existe des réels $a_{k}$ et $b_{k}$ (que l'on précisera) tels que :

\[ P_{k+1}=\left(X-a_{k}\right) P_{k}-b_{k} P_{k-1} \]

Soit $k \in \mathbb{N}^{*}$. L'objet de cette dernière question est d'étudier les racines réelles du polynôme $Q_{k}$ qui est de degré $k$ et qui, d'après le théorème de factorisation dans $\mathbb{R}[X]$, peut s'exprimer sous la forme :

\[ Q_{k}(x)=\lambda_{k}\left(\prod_{i=1}^{r}\left(x-x_{i}\right)^{m_{i}}\right)\left(\prod_{i=r+1}^{r+r^{\prime}}\left(x-x_{i}\right)^{m_{i}}\right)\left(\prod_{j=1}^{s}\left(x^{2}+\alpha_{j} x+\beta_{j}\right)\right) \]

où l'on a:

$\lambda_{k}$ est le coefficient dominant de $Q_{k}$ (on rappelle que $\lambda_{k}>0$ par construction);
$x_{1}, \ldots, x_{r}$ sont les racines réelles distinctes deux à deux de $Q_{k}$ qui sont dans l'intervalle $[a, b]$, ces racines sont de multiplicités respectives $m_{1}, \ldots, m_{r}$ (entiers strictement positifs s'ils existent c'est-à-dire si $r \geqslant 1$ );
$x_{r+1}, \ldots, x_{r+r^{\prime}}$ sont les racines réelles distinctes deux à deux de $Q_{k}$ qui ne sont pas dans l'intervalle $[a, b]$, ces racines sont de multiplicités respectives $m_{r+1}, \ldots, m_{r+r^{\prime}}$ (entiers strictement positifs s'ils existent c'est-à-dire si $r^{\prime} \geqslant 1$ );
les polynômes $x^{2}+\alpha_{j} x+\beta_{j}$ n'admettent pas de racine réelle (les discriminants $\Delta_{j}=\alpha_{j}^{2}-4 \beta_{j}$ sont négatifs strictement s'ils existent c'est-à-dire si $s \geqslant 1$ );
enfin, pour des raisons de degré, on a : $m_{1}+\cdots+m_{r}+m_{r+1}+\cdots+m_{r+r^{\prime}}+2 s=k$.

On note $I=\left\{i \in \llbracket 1, r \rrbracket \mid a_{i}\right.$ est impair $\}$ l'ensemble des indices $i$ pour lesquels la racine $x_{i}$ de $Q_{k}$ correspondante (élément de $[a, b]$ ) a sa multiplicité $a_{i}$ qui est impaire. On pose alors :

\[ P(x)= \begin{cases}1 & \text { si } I=\varnothing \\ \prod_{i \in I}\left(x-x_{i}\right) & \text { si } I \neq \varnothing\end{cases} \]

(a) Montrer que la fonction polynôme $Q_{k} P$ est de signe constant sur $[a, b]$.

(b) En déduire, à l'aide du produit scalaire $\left\langle Q_{k}, P\right\rangle$, que $r=k$.

(c) Quelle est la forme factorisée finale de $Q_{k}$ ? Préciser la position de ses racines dans $\mathbb{R}$.

Cahier de vacances pour la PSI

Énoncés

Corrigés

Sujets d'écrit

Sujet 1 - INSA ARCHI 2021 (2h)

Exercice (10 points)

Problème (30 points)

Partie A. Fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\)

Partie B. Fonctions linéaires complexes

Partie C. Matrices \(2 \times 2\)

Partie D. \(\mathbb{R}\)-linéaire vs \(\mathbb{C}\)-linéaire

Sujet 2 - TPC 2004 (4h)

Partie A : Étude d'un endomorphisme

Partie B : Étude d'une famille de polynômes

Partie C : Définition d'un produit scalaire

Partie D : Une relation de récurrence

Partie E : Fonction génératrice (hors programme)

Partie F : Projection orthogonale, calcul de distance

Sujet de DM obligatoire

Exercice 1

Exercice 2 (Manipulation des indicatrices - Optionnel)

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18 (Optionnel)

Notations

Partie I : Un produit scalaire.

Partie II : Un cas particulier et une suite particulière de polynômes.

Partie III : Le cas général et les suites de polynômes orthogonaux.