TD S07 Réduction des endomorphismes
1 BEOS 8381
Soit \(u \in \mathcal{L}\left(\mathbb{C}^n\right)\) où \(n \in \mathbb{N}^*\).
1. Montrer que si \(u\) est diagonalisable dans \(\mathbb{C}\), alors \(u^2\) est diagonalisable dans \(\mathbb{C}\).
2. Montrer par un contre-exemple que la réciproque est fausse.
3. Montrer que si \(\lambda \in \mathbb{C}^*\), alors :
- Montrer que si \(u\) est bijective, la réciproque de 1 est vraie.
2 BEOS 7534
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) une matrice de rang 1 . Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\operatorname{tr}(A) \neq 0\).
3 BEOS 7509
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev de dimension \(n \in \mathbb{N}^*\).
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\).
1. On suppose qu'il existe \(x \in E\) tel que la famille \(\left(x, u(x), \ldots, u^{n-1}(x)\right)\) soit libre. Montrer que la famille \(\left(i d_E, u, \ldots, u^{n-1}\right)\) est libre.
Que peut-on dire de la famille \(\left(i d_E, u, \ldots u^n\right)\) ?
2. On suppose désormais que \(u\) est diagonalisable et ( \(i d_E, \ldots, u^{n-1}\) ) libre. Montrer qu'il existe \(x \in E\) tel que : \(\left(x, u(x), \ldots, u^{n-1}(x)\right)\) soit libre.
4 RMS23 1038
Montrer que toute matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est somme de deux matrices diagonalisables.
5 RMS23 1041
Soient \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\varphi: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mapsto A M-M A\).
a) Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
b) On suppose que \(A\) est nilpotente. Montrer que \(\varphi\) est nilpotente.
c) On suppose que \(A\) est diagonalisable. Montrer que \(\varphi\) est diagonalisable.
6 BEOS 7079
Soient \(\left(a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}\right) \in \mathbb{C}^n\).
On pose \(A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & \ddots & & \vdots & -a_1 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{n-1}\end{array}\right)\).
1) Déterminer \(\chi_A\)
2) Montrer que: \(A\) est diagonalisable \(\Longleftrightarrow \chi_A\) est scindé à racines simples.
Pour le sens direct on montrera l'implication par deux méthodes différentes.
7 BEOS 7451
Soit \(z \in \mathbb{C}\) et \(M(z)=\left(\begin{array}{lll}0 & z & z \\ 1 & 0 & z \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\). Donner le polynôme caractéristique de \(M(z)\). Pour quelles valeurs de \(z, M(z)\) est-elle diagonalisable?
8 RMS23 937
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3-A-I_n=0\).
a) Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) alors \(\lambda^3-\lambda-1=0\).
b) Montrer que \(\operatorname{det}(A)>0\).
9 RMS23 1036
Soit \(M\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) définie par \(M=\left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \vdots \\ 1 & \cdots & \cdots & 1\end{array}\right)\).
a) Montrer que \(M\) est diagonalisable.
b) Caractériser \(\operatorname{Ker}(M)\) en donnant une équation, sa dimension et une base.
c) Montrer que \(M\) admet deux valeurs propres non nulles.
d) Déterminer ces valeurs propres ainsi que leurs espaces propres respectifs.
e) Donner le polynôme caractéristique de \(M\).
10 RMS23 933
Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)\).
a) Donner le spectre de \(A\) et ses espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable.
b) Montrer qu'il existe \(P \in \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) tel que \(A=P T P^{-1}\) avec \(T=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\).
c) Trouver l'ensemble des matrices \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(M T=T M\).
d) Soit \(N \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(N^2=T\). Montrer que \(N T=T N\).
Trouver l'ensemble des matrices \(N\) telles que \(N^2=T\).
e) En déduire l'ensemble des matrices \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(A=M^2\).
11 RMS24 878
Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)\).
a) Donner le spectre de \(A\) et ses espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
b) Montrer qu'il existe \(P \in \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) tel que \(A=P T P^{-1}\) avec \(T=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)\).
c) Trouver l'ensemble des matrices \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telles que \(M T=T M\). Quelle est sa structure? sa dimension?
d) Trouver l'ensemble des matrices \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) qui commutent avec \(A\).
On trouve comme valeurs propres \(0\) et \(1\), \(1\) étant de multiplicité 2. On trouve deux sep de dimension 1 chacun : la matrice n'est pas diagonalisable. La matrice \(P\) est \(\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 0\end{pmatrix}\). L'ensemble des matrices qui commutent avec \(T\) est un sev de dimension \(3\) engendré par les matrices \(E_{11}-3E_{13}\), \(E_{23}\) et \(E_{22}+E_{33}\). L'ensemble des matrices qui commutent avec \(A\) est obtenu à travers l'application : \(M\mapsto PMP^{-1}\).