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TD S4 (Intégrale sur un intervalle)

1 (BEOS 7755)

On définit pour tout \(t>0, f(t)=\frac{\ln t}{(1+t)^2}\).
1) Montrer que \(f\) est intégrable sur \(] 0,1]\), puis sur \([1,+\infty[\).
2) Calculer \(\int_0^1 f(t) \mathrm{d} t\) et \(\int_1^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t\).

2 (BEOS 6686)

1) Soit \(\alpha \in \mathbb{R}_{+}^*\). Montrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{i t}}{t^\alpha} \mathrm{d} t\) converge.
2) En déduire la nature de \(\int_1^{+\infty} \sin \left(t^2\right) \mathrm{d} t\).
3) Montrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\sqrt{t} \sin t}{t+\cos t} \mathrm{~d} t\) converge.

3 (BEOS 4779)

a) Justifier que la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^2}-\frac{1}{[\operatorname{Arctan}(t)]^2}\) est intégrable sur \([0,1[\).
b) En déduire un équivalent simple de \(\Phi(\alpha)=\int_\alpha^1 \frac{1}{[\operatorname{Arctan}(t)]^2} \mathrm{~d} t\) quand \(\alpha \rightarrow 0^{+}\).

4 (BEOS 8036)

Soit \(f: \mathbb{R}_{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(\left(f^{\prime}\right)^2\) soit intégrable.
Montrer que \(t \longmapsto \frac{f^2(t)}{t^2}\) est intégrable sur \([1,+\infty[\).

5 (BEOS 6911)

  1. Soit \(M>0\) et \(u:\left[1,+\infty\left[\rightarrow \mathbb{R}\right.\right.\) de classe \(\mathcal{C}^1\) tel que \(\forall x \in[1,+\infty[,|u(x)| \leqslant M\).

Montrer que \(\int_1^{\infty} \frac{u^{\prime}(t)}{t} \mathrm{~d} t\) converge.
2. Montrer que \(\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\) et \(\int_1^{\infty} \sin \left(t^2\right) \mathrm{d} t\) convergent.
3. Montrer que \(\int_1^{\infty} \sin \left(t^3\right) \mathrm{d} t\) converge.

6 (BEOS 7576)

Justifier la convergence de l'intégrale \(\int_0^{+\infty}\left(1-t \arctan \left(\frac{1}{t}\right)\right) \mathrm{d} t\) puis calculer sa valeur.

7 (BEOS 4721)

  1. Démontrer la convergence de l'intégrale \(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin t) d t\).
  2. Calculer \(J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos t) d t\) et \(K=\int_0^\pi \ln (\sin t) d t\) en fonction de \(I\).
  3. Déterminer \(L=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin t \cos t) d t\) en fonction de \(I, J, K\).

En déduire les valeurs de \(I, J, K, L\).

8 (RMS23 962)

Existence et calcul de \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x)^3}{x^2} \mathrm{~d} x\).

9 (RMS23 1348)

  1. On pose \(F(x)=\int_x^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2} \mathrm{~d} t\).
    a) Montrer que \(F\) est définie sur \(] 0,+\infty[\).
    b) Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\).
    c) Montrer qu'en \(+\infty\), on a \(F(x)=\frac{\cos x}{x^2}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{x^3}\right)\).
    d) Montrer qu'en zéro, on a \(F(x) \sim-\ln x\).

10 (BEOS 1579)

Convergence puis calcul de \(\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}(1-x)^{3 / 2}} \mathrm{~d} x\).